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Zeitdilatation
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Bei der Zeitdilatation handelt es sich um ein Phänomen der Relativitätstheorie. Befindet sich ein Beobachter im Zustand der gleichförmigen Bewegung, geht nach der speziellen Relativitätstheorie jede relativ zu ihm bewegte Uhr aus seiner Sicht langsamer. Diesem Phänomen unterliegen nicht nur Uhren sondern jeder beliebige Vorgang und damit die Zeit im bewegten System selbst. Die Zeitdilatation ist umso stärker, je größer die Relativgeschwindigkeit der Uhr ist. Sie ist allerdings für Geschwindigkeiten, die im Alltag eine Rolle spielen, so gering, dass sie nicht bemerkt wird. Erst bei Geschwindigkeiten, die im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit nicht vernachlässigbar klein sind, wird sie beobachtbar.
Die Zeitdilatation wird aus jedem Inertialsystem heraus beobachtet. Damit sehen zwei mit konstanter Geschwindigkeit relativ zueinander bewegte Beobachter jeweils die Zeit des anderen langsamer verstreichen. Dies ist jedoch nur ein scheinbarer Widerspruch, der durch die Relativität der Gleichzeitigkeit aufgelöst wird (näheres siehe im Artikel spezielle Relativitätstheorie und Minkowski-Diagramm).
Bei der gravitativen Zeitdilatation handelt es sich um ein Phänomen der allgemeinen Relativitätstheorie. Mit der gravitativen Zeitdilatation bezeichnet man den Effekt, dass eine Uhr, und auch jeder physikalische Prozess, in einem Gravitationsfeld langsamer geht als außerhalb desselben. So läuft die Zeit auf der Erdoberfläche relativ um 6,95317 · 10-10 langsamer ab als im fernen Weltraum. Anders als bei der Zeitdilatation durch Bewegung ist die gravitative Zeitdilatation nicht gegenseitig: Während der im Gravitationsfeld weiter oben befindliche Beobachter die Zeit des weiter unten befindlichen Beobachters langsamer ablaufen sieht, sieht der untere Beobachter die Zeit des oberen Beobachters entsprechend schneller ablaufen.
Die gravitative Zeitdilatation wurde 1960 in dem Experiment von Robert Pound und Glen Rebka nachgewiesen.
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Zeitdilatation durch relative Bewegung
Mathematische Definition
Die Zeitdilatation in einem Inertialsystem, welches sich relativ zu einem anderen Inertialsystem mit der Geschwindigkeit v bewegt, ist
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta t' = \gamma \Delta t
wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta t'
die Zeitdifferenz im bewegten und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta t
die Zeitdifferenz im ruhenden Inertialsystem ist. Außerdem ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}
mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \beta = \frac{v}{c}
der Lorentzfaktor.
Myonen in der Erdatmosphäre
Beim Auftreffen der kosmischen Strahlung auf die Moleküle der oberen Luftschichten entstehen in 9 bis 12 Kilometern Höhe Myonen. Diese bewegen sich in Richtung Erdoberfläche mit nahezu Lichtgeschwindigkeit weiter und können dort detektiert werden. In einem von B. Rossi und D. B. Hall durchgeführten Experiment wurde die Anzahl der Myonen, die in verschiedenen Höhen ankommen, gemessen. Durch eine spezielle Filteranordnung ist es möglich, die Messung auf solche Myonen zu beschränken, die sich mit 99,4 % der Lichtgeschwindigkeit bewegen. Der Vergleich der gemessenen Anzahlen ermöglicht es, die Halbwertszeit der schnell bewegten Myonen zu bestimmen. Diese ist mit 13 · 10−6 s um ein Vielfaches höher als die Halbwertszeit von ruhenden Myonen mit 1,5 · 10−6 s. Die schnell bewegten Myonen zerfallen also langsamer als ihre unbewegten Gegenstücke.
Reise zu entfernten Sternen
Ein anderes (etwas hypothetisches) Beispiel wäre die Bewegung eines Raumschiffes, das von der Erde startet, einen entfernten Planeten ansteuert, und wieder zurückkommt. Ein Raumschiff startet von der Erde und fliegt mit der konstanten Beschleunigung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1g = 9{,}81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}
zur Wega (Entfernung 28 Lichtjahre). Die Beschleunigung von 1g wurde gewählt, da hierdurch irdische Gravitationsverhältnisse an Bord eines Raumschiffes simuliert werden können. Auf halber Strecke ändert das Raumschiff das Vorzeichen der Beschleunigung und verzögert mit 1g. Nach Abschluss einer 6-monatigen Aufenthaltsdauer kehrt das Raumschiff auf gleiche Weise zur Erde zurück. Die Auswertung der in verschiedenen Lehrbüchern zur Relativitätstheorie angegebenen Formeln zur Berechnung der vergangenen Zeiten ergibt, dass für den Reisenden die Reise 13 Jahre, 9 Monate und 11 Tage dauerte (Messung mit an Bord befindlicher Uhr). Auf der Erde sind bei der Rückkehr des Raumschiffes dagegen 60 Jahre, 3 Monate und 4 Tage vergangen.
Wesentlich extremere Unterschiede bekommt man bei einem Flug zum Andromedanebel, der etwa 2 Millionen Lichtjahre entfernt ist (bei gleichen Beschleunigungs- und Verzögerungsphasen). Für die Erde vergehen etwa 4 Millionen Jahre, während für den Reisenden nur ungefähr 56 Jahre vergangen sind.
Näheres hierzu siehe Artikel Zwillingsparadoxon.
Bewegung mit konstanter Beschleunigung
Der zurückgelegte Weg nach einer in einem ruhenden Inertialsystem vergangenen Zeit t bei der Anfangsgeschwindigkeit v0 und konstanter Beschleunigung a ist
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x = \left( \sqrt{1 + \frac{(a t + v_0)^2}{c^2}} - \sqrt{1 + \frac{v_0^2}{c^2}} \right) \frac {c^2}{a}
Die Momentangeschwindigkeit beträgt
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v=\frac{a t + v_0}{\sqrt{1 + \frac{ \left(a t + v_0 \right)^2}{c^2}}}
Die im ruhenden Inertialsystem vergangene Zeit beläuft sich auf
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t=\frac{1}{a} \left(-v_0 + \frac{1}{c} \sqrt{v_0^2 c^2 + x^2 a^2 + 2 x a c \sqrt{c^2 + v_0^2}} \right)
wenn sich das Objekt an der Stelle x befindet.
Die im beschleunigten Objekt vergangene Zeit in Abhängigkeit der im ruhenden Inertialsystem vergangenen Zeit ist
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t'=\frac{c}{a} \ln \left[ \left(\sqrt{c^2 + v_0^2} - v_0 \right) \frac{\sqrt{c^2 + (a t + v_0)^2} + a t + v_0}{c^2} \right]
Zeitdilatation in verschiedenen Bezugssystemen
Man betrachte zwei Inertialsysteme, die sich relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. Das eine System wird als „ruhend“ betrachtet. Es wird im folgenden mit S bezeichnet. Hier befindet sich ein Beobachter, der die Bewegung des anderen Systems verfolgt. Für den Beobachter ruht sein Inertialsystem, während sich das für ihn bewegte System mit der Geschwindigkeit v entfernt.
Das für den Beobachter bewegte System wird im folgenden mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S'
bezeichnet.
Ereignisse in dem sich entfernenden System werden durch die Koordinaten (t′, x′) beschrieben, Ereignisse in dem „zurückgebliebenen System“ durch die Koordinaten (t, x).
Ein solches Ereignis ist zum Beispiel die Ortskoordinate einer Uhr zu einem bestimmten Zeitpunkt. Eine in dem bewegten System ruhende Uhr hat zu allen Zeiten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t'
die gleiche Ortskoordinate Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x'
. In S hat sie zu verschiedenen Zeiten t unterschiedliche Koordinaten x, da sich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S'
relativ zu S bewegt.
t bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t'
sind die Zeitkoordinaten in den Systemen S bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S'
, x bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x'
die Ortskoordinaten in S bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S'
.
In Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S'
befinde sich ebenfalls ein Beobachter, er werde im Folgenden als Reisender bezeichnet.
Insbesondere bedeutet diese Wahl der Koordinaten, dass nur eindimensionale Bewegungen betrachtet werden. Das System Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S'
bewege sich entlang der x-Achse des Systems S in positive Richtung.
Zum Zeitpunkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t = t' = 0
sollen beide Systeme übereinanderliegen. Zum Zeitpunkt dt hat sich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S' für den Beobachter in S um die Strecke v*dt entfernt.
Mit dem Ursprung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S'
sei eine Uhr verknüpft, die zu irgendeinem früheren Zeitpunkt mit einer Zwillingsuhr in S geeicht wurde, hierfür wird insbesondere angenommen, dass beide Systeme zu diesem früheren Zeitpunkt relativ zueinander in Ruhe waren. Das System Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S' wurde dann relativ zu S auf die Geschwindigkeit v beschleunigt.
Die Zeit in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S'
bezeichnet man auch als die Eigenzeit von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S'
. Für einen Beobachter in S misst also die Uhr in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S'
die Eigenzeit des Systems Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S'
.
Während der Zeit dt (gemessen in S) bewege sich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S'
gleichförmig mit der Geschwindigkeit v. Für den Beobachter in S legt das System Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S' während der Zeit dt die Entfernung vdt zurück.
Für den Reisenden in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S'
stellen sich die Verhältnisse anders dar. Für ihn vergeht die Zeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): d \tau = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\cdot dt
. Man bezeichnet dieses Phänomen als Zeitdilatation.
c ist das Symbol für die konstante Vakuum-Lichtgeschwindigkeit. Für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v \to c
konvergiert die Eigenzeit gegen Null.
Der Reisende trifft auch eine andere Aussage über den zurückgelegten Weg, für ihn erscheinen Entfernungen, die der Beobachter in S misst, verkürzt, und zwar im gleichen Verhältnis wie die Zeitdilatation. Daher messen beide die gleiche Geschwindigkeit. Man bezeichnet dieses Phänomen als Längenkontraktion. Dies erklärt zum Beispiel, dass er weniger Eigenzeit braucht um einen Weg zurückzulegen, als der Beobachter in S vermutet.
Die mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S'
mitbewegte Uhr ist die „innere Uhr“ dieses Systems.
Für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v \to c
konvergieren für den Reisenden alle Entfernungen gegen Null.
Wichtig ist bei diesen Überlegungen Folgendes:
Die Beschleunigung, die das System Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S'
relativ zu S erfahren hat, wird nur von dem Reisenden in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S' wahrgenommen (die dadurch hervorgerufenen Trägheitskräfte wirken ausschließlich in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S'
). Der Beobachter in S sieht zwar das System Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S'
beschleunigt, spürt aber keine Trägheitskraft. In diesem Sinne sind die beiden Systeme nicht gleichwertig, wenn sie sich relativ zueinander mit der Geschwindigkeit v bewegen.
In dem früher beschleunigten System wird eine Längenkontraktion hinsichtlich zurückzulegender Entfernungen beobachtet (für den Beobachter in S ändern sich Entfernung, die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S'
zurückzulegen hat, nicht). Dafür scheint die bewegte Uhr in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S' für den Beobachter in S langsamer zu gehen, für den Reisenden ruht seine Uhr, er merkt keinen Unterschied.
Zeitdilatation durch Gravitation
Die gravitative Zeitdilatation beschreibt den relativen Zeitablauf von Systemen, die in verschiedenen Entfernungen eines Gravitationszentrums (beispielsweise eines Sterns oder Planeten) relativ zu diesem ruhen. Zu beachten ist, dass die gravitative Zeitdilatation nicht etwa durch eine mechanische Einwirkung auf die Uhren entsteht, sondern eine Eigenschaft der Raumzeit selbst darstellt. Ein Effekt, der auf der gravitativen Zeitdilatation beruht, ist die Gravitationsrotverschiebung.
Beschleunigung und Gravitation: Die rotierende Scheibe
Diese Problemstellung wird auch als Ehrenfestsches Paradoxon bezeichnet.
Nach dem Äquivalenzprinzip der allgemeinen Relativitätstheorie kann man lokal nicht zwischen einem ruhenden System in einem Gravitationsfeld und einem beschleunigten System unterscheiden. Deshalb kann man den Effekt der Gravitations-Zeitdilatation anhand der Zeitdilatation durch Bewegung erläutern.
Betrachten wir eine mit konstanter Winkelgeschwindigkeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega
rotierende Scheibe, so bewegt sich ein Punkt im Abstand Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r vom Zentrum mit der Geschwindigkeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v = r\omega
. Dementsprechend wird im Abstand r vom Mittelpunkt der Scheibe die Zeitdilatation
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta_t = \Delta t_0\sqrt{1-\frac{r^2\omega^2}{c^2}}
auftreten. Für hinreichend kleine Abstände (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r^2\omega^2 \ll c^2 ) ist dieser Ausdruck näherungsweise
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta t = \Delta t_0\left(1 - \frac{r^2\omega^2/2}{c^2}\right)
Ein auf der Scheibe befindliches, mitrotierendes Objekt erfährt nun die Zentrifugalkraft Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F = m \omega^2 r . Aufgrund des Äquivalenzprinzips kann man diese Kraft auch als Gravitationskraft deuten, zu der ein Gravitationspotential
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \phi = -\omega^2 r^2/2
gehört. Dies ist aber gerade der Term, der bei der Zeitdilatation im Zähler auftritt. Somit ergibt sich für „kleine“ Abstände:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta t = \Delta t_0 \left(1 + \frac{\phi}{c^2}\right)
(Hinweis: Das hier angegebene Potential entspricht nicht dem üblichen Zentrifugalpotential, da hier eine Anpassung an die lokale Drehgeschwindigkeit der Scheibe vorgenommen wird, während beim üblichen Zentrifugalpotential stattdessen Drehimpulserhaltung gilt)
Zeitdilatation im Schwerefeld der Erde
In einem schwachen Gravitationsfeld wie dem der Erde kann die Gravitation und somit die Zeitdilatation näherungsweise durch das Newtonsche Gravitationspotential beschrieben werden:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta t = \Delta t_0 \left(1+\frac{\phi}{c^2}\right)
Hierbei ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta t_0
die Zeit bei Potential Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \phi=0
, und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \phi
das Newtonsche Gravitationspotential (Multiplikation mit der Masse eines Körpers ergibt dessen potentielle Energie an einem bestimmten Ort)
Auf der Erde kann (solange die Höhe klein ist gegen den Erdradius von ca. 6100 Kilometern) das Gravitationspotential durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \phi=gh
genähert werden. In 300 Kilometern Höhe (das ist eine typische Höhe, in der Space Shuttles fliegen) vergehen somit in jeder „Erdbodensekunde“ Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1+3{,}27 \cdot 10^{-11}\,\mathrm{s}
, das ist etwa eine Millisekunde pro Jahr mehr. Das heißt, ein Astronaut, der in 300 Kilometern höhe über der Erde ruhen würde (zum Beispiel mit Unterstützung eines Raketenantriebs), würde in jedem Jahr etwa eine Millisekunde schneller altern als jemand, der auf der Erde ruht. Zu beachten ist hierbei, dass diese Zahl nicht angibt, wie ein Shuttle-Astronaut altert, da das Shuttle sich zusätzlich bewegt (es kreist um die Erde), was zu einem zusätzlichen Effekt in der Zeitdilatation führt.
Wenn man die durch die Höhe verursachte Verringerung der gravitativen Zeitdilatation relativ zur Erdoberfläche, und die durch die für diese Höhe erforderliche Kreisbahngeschwindigkeit bedingte Zeitdilatation mit einander vergleicht, zeigt sich, dass sich bei einem Bahnradius vom 1,5-fachen des Erdradius, also in einer Flughöhe von einem halben Erdradius, die beiden Effekte genau aufheben, und daher die Zeit auf einer solchen Kreisbahn genau so schnell vergeht, wie auf der Erdoberfläche.
Für Berechnungen hierzu siehe hier.
Zeitdilatation und externer Beobachter
Zwei Beobachter, die sich im Lagrange-Punkt zwischen Erde und Mond befinden (NULL- Gravitation), betrachten zwei baugleiche Uhren auf diesen Himmelskörpern. Einer stellt fest, dass die Uhr auf dem Mond langsamer geht als die auf der Erde. Daraus schließt er, dass die Zeit auf dem Mond langsamer vergeht. Der andere Beobachter stellt fest, dass die Uhr auf dem Mond langsamer geht als die auf der Erde (er stimmt in seiner Beobachtung mit der des ersten Beobachters hundertprozentig überein). Daraus schließt der zweite Beobachter, dass die physikalischen Prozesse auf der Erde schneller ablaufen als auf dem Mond. Die allgemeine Relativitätstheorie ist der Gedankengang des ersten Beobachters, der zweite Beobachter repräsentiert nur die Gedanken der newtonschen Zeit. Für ihn existiert keine Zeitdilatation, nur ein unterschiedlich schneller Ablauf physikalischer Prozesse.
Links
- Beispiel-Applet, das demonstriert, dass die Uhr im Raumschiff langsamer geht als die beiden Uhren des Systems, in dem Erde und Pluto unbewegt sind.
- Myonenexperiment zu Nachweis der Zeitdilatation
- Videos von Vorlesungen der Universität Tübingen über die Zeitdilatation
- Video eines Vortrags aus Physikwiki, der freien Wissensdatenbank "Video Zeit, Zeitpfeile und Zeitreisen"
Literatur
- Thomas Cremer: Interpretationsprobleme der speziellen Relativitätstheorie. Verlag Harri Deutsch, 1990
- Walter Greiner, Johann Rafelski: Spezielle Relativitätstheorie. Verlag Harri Deutsch, 1989
- Harald Fritzsch: "E=mc²: Eine Formel verändert die Welt", Piper Verlag, 1990
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