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Wurzel (Mathematik)
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In der Mathematik versteht man unter Wurzelziehen oder Radizieren die Bestimmung der Unbekannten x in der Potenz
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a = x^n,\,
wobei zunächst a eine nichtnegative reelle Zahl und n eine natürliche Zahl sein soll. Das Ergebnis des Wurzelziehens bezeichnet man als Wurzel oder Radix (v. lat. Radix „Wurzel“). Das Radizieren ist (neben dem Logarithmieren) eine Umkehrung des Potenzierens.
Der Operator Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt[]{}
stammt von dem kleinen Buchstaben r ab und steht für radizieren. Er wurde erstmalig 1525 vom deutschen Mathematiker Thomas Rudolff verwendet. Die Verlängerung des r über den vollständigen Term wurde erst später eingeführt.
Schreibweise und Bezeichnungen
Man schreibt die nichtnegative Lösung der Gleichung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a = x^n\,
in der Form
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x = \sqrt[n\,]{a}
und liest: x ist die n-te Wurzel aus a. Man nennt
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\,
Wurzel oder Radix,
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n\,
Wurzelexponent,
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\,
Radikand.
Quadrat- und Kubikwurzel
Üblicherweise wird die zweite Wurzel als Quadratwurzel oder einfach nur als die Wurzel bezeichnet und der Wurzelexponent weggelassen. Die einfachen Quadratwurzeln, deren Radix natürliche, positive Zahlen von 1-20 sind (kleines und großes Einmaleins) werden manchmal als höheres Allgemeinwissen betrachtet und in sogenannten Eignungstests für Personalauswahlverfahren unter Stress kurz abgefragt (z.B.: Was ist die Wurzel aus 121?)
| Radikand | Radix Quadratwurzel | Radikand | Radix Quadratwurzel |
| 4 | 2 | 121 | 11 |
| 9 | 3 | 144 | 12 |
| 16 | 4 | 169 | 13 |
| 25 | 5 | 196 | 14 |
| 36 | 6 | 225 | 15 |
| 49 | 7 | 256 | 16 |
| 64 | 8 | 289 | 17 |
| 81 | 9 | 324 | 18 |
| 100 | 10 | 361 | 19 |
Für weitere Informationen hierzu, siehe den ausführlichen Artikel Quadratwurzel.
Des weiteren bezeichnet man Wurzeln mit dem Wurzelexponenten 3 (dritte Wurzeln) speziell als Kubikwurzeln.
Beispiel:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt[3]{8} = 2 \Leftrightarrow 2^3 = 8
(sprich: „Dritte Wurzel aus 8“)
Eindeutigkeit von Wurzeln aus positiven Zahlen
Obwohl die eingangs genannte Fragestellung bei geradzahligen Wurzelexponenten und positiven Radikanden zwei Lösungen mit unterschiedlichen Vorzeichen besitzt, steht die Schreibweise mit dem Wurzelzeichen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt[]{}
grundsätzlich für die positive Lösung. Beispielsweise hat die Gleichung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x^2 = 4 die beiden Lösungen 2 und −2. Der Term Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt[2]{4} hat jedoch den Wert 2 und nicht den Wert −2. Allgemein gilt daher für geradzahlige Wurzelexponenten
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|\,.
Wurzeln aus negativen Zahlen
Die Behandlung von Wurzeln aus negativen Zahlen ist nicht einheitlich. Es gilt beispielsweise
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (-2)^3=-8\,,
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -2
ist die einzige reelle Zahl, deren dritte Potenz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -8 ist. Allgemein ergeben sich für ungerade Potenzen negativer Zahlen wieder negative Zahlen.
Bezüglich der ungeraden Wurzeln aus negativen Zahlen werden folgende Positionen vertreten:
- Wurzeln aus negativen Zahlen sind generell "verboten". Beispielsweise ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt[3]{-8}
also undefiniert. Die Lösung der Gleichung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x^3 = -8
wird geschrieben als Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x = -\sqrt[3]{8}
.
- Wurzeln aus negativen Zahlen sind erlaubt, wenn der Wurzelexponent eine ungerade Zahl ist (3, 5, 7, …). Für ungerade Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2n-1
gilt generell
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt[2n-1]{-a}=-\sqrt[2n-1]{a}
.
- Diese Festlegung ist mit manchen Eigenschaften der Wurzeln, die für positive Radikanden gelten, nicht vereinbar. Beispielsweise ist
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -2=\sqrt[3]{-8}\ne\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=+2.
Wurzeln zu geraden Exponenten aus negativen Zahlen können keine reellen Zahlen sein, weil gerade Potenzen reeller Zahlen nie negativ sind. Der Bedarf für Wurzeln aus negativen Zahlen führte zur Einführung der komplexen Zahlen; allerdings gibt es auch im Bereich der komplexen Zahlen Wurzeln aus negativen Zahlen nur mit gewissen Einschränkungen, siehe unten.
Zusammenhang mit Potenzen
Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten n und das Potenzieren mit dem Exponenten n heben sich gegenseitig auf, es gilt gemäß obenstehender Definition der Wurzel:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (\sqrt[n]{a})^n = a \quad \forall\ a \geq 0, n \geq 1\,.
Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten n wirkt also wie das Potenzieren mit dem Exponenten 1/n. Nach den Rechenregeln für Potenzen gilt nämlich:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \big(a^{\frac{1}{n}}\big)^n = a^{\frac{n}{n}} = a^1 = a
Daher kann das Radizieren mit dem Wurzelexponenten n auch als Potenzieren mit dem Exponenten 1/n interpretiert werden:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}
Die Wurzelgesetze
Die Rechenregeln für Wurzeln ergeben sich aus jenen für Potenzen.
Für positive Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b gelten die folgenden Rechengesetze:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left(\sqrt[n]{a} \right)^m=\sqrt[n]{a^m}
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}
Bei negativen Zahlen können diese Rechengesetze nur angewendet werden, wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n ebenfalls ungerade Zahlen sind. Bei anderen komplexen Zahlen sind sie gänzlich zu vermeiden.
Wurzelfunktionen
Funktionen der Form
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f: \mathbb{R}_0^+\to\mathbb{R}_0^+, x\mapsto\sqrt[n]x
oder allgemeiner Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\mapsto\sqrt[n]{x^m}
heißen Wurzelfunktionen. Sie sind Potenzfunktionen, es gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt[n]{x^m}=x^\frac{m}{n} .
Berechnung
Wurzeln können durch schriftliches Wurzelziehen bestimmt werden; dieses Verfahren ist jedoch von geringer praktischer Bedeutung.
Rückführung auf andere Funktionen
Höhere Wurzeln aus positiven Zahlen x kann man wie jede Potenz durch Exponentialfunktion und Logarithmus ausdrücken:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt[n]{x} = x^{1/n} = \exp\left(\frac{\ln(x)}{n}\right)
Numerische Berechnung
Um einen Näherungswert für eine Wurzel zu erhalten, kann man mehrere Verfahren anwenden. Dazu gehören unter anderem das Intervallhalbierungsverfahren.
Ein weiteres Näherungsverfahren zur Berechnung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt[n]{x}
ergibt sich, indem man mit dem Newtonverfahren eine Nullstelle der Funktion
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y \mapsto y^n-x, \quad n \ge 1
annähert:
- Wähle einen (möglichst guten) Startwert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y > 0
- Iteriere nach der Vorschrift
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y \mapsto \frac{(n-1)y^n + x}{n \cdot y^{n-1}}
Für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n = 2
erhält man gerade das Heronverfahren.
Beispiel für eine Näherung für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt[3]{2}
nach dem obigen Iterationsverfahren:
Die Iterationsvorschrift lautet mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x=2
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n=3
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y \mapsto \frac{2 \, y^3 + 2}{3 \, y^2}
.
Mit dem Startwert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y = 2
erhält man:
| Startwert: | 2,000000000000 |
| Schritt 1: | 1,500000000000 |
| Schritt 2: | 1,296296296296 |
| Schritt 3: | 1,260932224741 |
| Schritt 4: | 1,259921860565 |
| Schritt 5: | 1,259921049895 |
| Schritt 6: | 1,259921049894 |
„Rechenkünstler“
Man kann, wie das Rechenkünstler machen, eine Wurzel auch durch Abschätzung und Anwendung elementarer Zahlentheorie berechnen, sofern bekannt ist, dass die Wurzel eine natürliche Zahl ist. Das lässt sich gut am Beispiel der dritten Wurzel zeigen. Dazu muss man zwei Dinge wissen, nämlich die Größenordnung der Kubikzahlen, und wie die letzte Ziffer endet:
|
|
Beispiele:
- Die dritte Wurzel von 103.823:
Die Zahl liegt zwischen 64.000 und 125.000, deshalb muss die Zehnerstelle der dritten Wurzel 4 sein. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 3, und demnach ist die dritte Wurzel von 103.823 abgeschätzt 47. - Die dritte Wurzel von 12.167:
Die Zahl liegt zwischen 8.000 und 27.000, deshalb muss die Zehnerstelle der dritten Wurzel 2 sein. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 7, und demnach ist die dritte Wurzel von 12.167 abgeschätzt 23.
Das Ganze funktioniert aber nur dann, wenn man davon ausgehen kann, dass es sich bei der vorgegebenen Zahl um die dritte Potenz einer natürlichen Zahl handelt.
Bei den Rechenkünstlern handelt es sich natürlich um viel höhere Potenzen mehrstelliger Zahlen – zum Beispiel: Was ist die 25. Wurzel von 880794982218444893023439794626120190780624990275329063400179824681489784873773249 (Lösung: 1729) und extremere Aufgaben.
Wurzeln aus komplexen Zahlen
Als die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n -ten Wurzeln einer komplexen Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\in\Bbb C
bezeichnet man die Lösungen der Gleichung
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z^n-a = 0
.
Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\neq 0
in der Exponentialform Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a=|a|\,\mathrm e^{\mathrm i\alpha}
dargestellt, so sind die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n
-ten Wurzeln aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a
genau die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n komplexen Zahlen
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z_k=\sqrt[n]{|a|}\cdot\exp\left(\frac{\mathrm i\alpha}{n} + k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n}\right)\quad(k=0,1,\dots,n-1) .
Der Sonderfall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a=1
wird als n-te Kreisteilungsgleichung bezeichnet, die Lösungen als Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n
-te Einheitswurzeln. Die Bezeichnung „Kreisteilungsgleichung“ erklärt sich, wenn man ihre Lösungen in der Gaußschen Ebene betrachtet: die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n -ten Einheitswurzeln teilen den Kreis mit dem Radius Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1
und dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n gleiche Teile, sie bilden die Eckpunkte eines in den Kreis einbeschriebenen regulären Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n
-Ecks.
Anders als bei reellen Zahlen kann man nicht so einfach eine der Wurzeln als die Wurzel auszeichnen; dort wählt man die einzige nichtnegative Wurzel. Man kann jedoch eine (holomorphe) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n -te Wurzelfunktion für komplexe Zahlen, die keine nichtpositiven reellen Zahlen sind, über den Hauptzweig des komplexen Logarithmus definieren:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z^{1/n} = \exp{\frac{\ln z}{n}} \quad (z\in\mathbb C\setminus\{x\in\mathbb R\mid x\leq0\})
Man kann den Logarithmus auch (unstetig) auf die negative reelle Achse fortsetzen, es gilt dann aber mit der so definierten Wurzelfunktion beispielsweise Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt[3]{-8} = 2\,\exp{(\mathrm{i}\,60^\circ)} = 1+\mathrm i\sqrt3
und nicht Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): =-2
.
Andere Bedeutungen des Wortes
Für die veraltete Bedeutung der Wurzel als Lösung einer Gleichung, siehe den Artikel Nullstelle.
Für die spezielle Bedeutung in der Darstellungstheorie, siehe den Artikel Wurzelsystem.
Für die außermathematische Verwendung des Wortes siehe Wurzel.
Literatur
- Ulrich Felgner: Über den Ursprung des Wurzelzeichens. In: Mathematische Semesterberichte. Bd. 52, Nr. 1, 2005, Springer, S. 1-7, ISSN 0720-728X
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(doi:10.1007/s00591-004-0083-4
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)
Weblinks
 | Wiktionary: Radikand – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme und Übersetzungen |
- Rechentool zum Ermitteln der Quadratwurzel oder der 2er-Potenz
- Schriftliches Wurzelziehen
- Schriftliches Wurzelziehen in der englischen Wikipedia
- Interaktive Bildschirmübungen zur Wurzelrechnung (dwu-Unterrichtsmaterialien)
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