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Wirkungsquerschnitt
Aus Fotonexus.
Der Wirkungsquerschnitt ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen einem einfallenden Teilchen und einem anderen Teilchen eine bestimmte Wechselwirkung stattfindet. Der Begriff findet vornehmlich in der Atomphysik, Kern- und Teilchenphysik Verwendung.
Formelzeichen für den Wirkungsquerschnitt ist der griechische Buchstabe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma
(sigma). Der Wirkungsquerschnitt hat die Größenart (siehe Dimension) Fläche; in der Kern- und Teilchenphysik werden Wirkungsquerschnitte meist in der Einheit Barn angegeben.
Der Wirkungsquerschnitt (im Folgenden als WQ abgekürzt) hängt ab von der jeweils interessierenden Wechselwirkung, von Art und kinetischer Energie des einfallenden Teilchens und von der Art des getroffenen Teilchens (z. B. Atoms, Atomkerns). Die letztgenannte Abhängigkeit bedeutet, dass WQ Materialeigenschaften sind. Beispielsweise sind zur Berechnung von Kernreaktoren oder Kernfusionsreaktoren umfangreiche Kerndatenbibliotheken erforderlich, die die WQ der verschiedenen Materialien für einfallende Neutronen verschiedener Energien für verschiedene mögliche Streuprozesse und Kernreaktionen enthalten.
Insbesondere bei Kernreaktionen wird der WQ, betrachtet als Funktion der Energie des einfallenden Teilchens/Quants, manchmal auch als Anregungsfunktion bezeichnet.
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Definition
Jedem Zielteilchen (Targetteilchen) wird eine Fläche σ als gedachte "Zielscheibe" zugeordnet. Deren Größe wird so gewählt, dass die interessierende Wechselwirkung stattfindet, wenn ein einfallendes - punktförmig, also ausdehnungslos gedachtes - Teilchen diese Scheibe trifft, und dass sie nicht stattfindet, wenn es die Zielscheibe verfehlt. Diese hypothetische Fläche ist der WQ für diese Wechselwirkung bei der gegebenen Energie der einfallenden Teilchen.
Die Vorstellung vom WQ als einer den Targetteilchen zugeordneten Fläche bietet ein anschauliches Maß für die Stärke einer Wechselwirkung. Starke Wechselwirkungen ergeben große WQ, schwache Wechselwirkungen kleine WQ.
Die Wahrscheinlichkeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w , dass ein einfallendes Teilchen mit einem Targetteilchen wechselwirkt, errechnet sich also aus
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w=\frac{\sigma N}{F}
,
wobei N/F die Anzahl der Targetteilchen je Flächeneinheit ist. Hierbei wird vorausgesetzt, dass N/F << 1 ist, damit sich die Targetteilchen nicht gegenseitig abschatten.
Die Wahrscheinlichkeit kann auch ausgedrückt werden als das Zahlenverhältnis von wechselwirkenden zu einlaufenden Teilchen:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w = \frac{N_W}{N_0}
.
Unter der Annahme, dass das Target nur infinitesimal dick ist, erhält man aus der obigen Gleichung, wenn man "Teilchen pro Fläche" durch "Teilchendichte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \rho_T
mal Dicke Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): d x " ersetzt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{N_W}{N_0} = \sigma \, \rho_T \, dx
.
Die wechselwirkenden Teilchen sind, da sie von ihrer ursprünglichen Bahn abgelenkt wurden, nicht mehr Teil des ursprünglichen Teilchenstrahls. Nach dem Durchlaufen einer infinitesimalen Targetschicht sind nur noch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): N_0 - N_W
Teilchen im Strahl vorhanden.
Löst man die letzte Gleichung nach Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): N_W
auf und setzt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): N_W = -dN
, erhält man für die Schwächung des Strahls die Differentialgleichung
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -dN = N(x) \, \rho_T \, \sigma \, dx
.
Die Lösung hierfür ist
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): N(x) = N_0 e^{-\sigma \rho_T x}
.
Hat man ein bestimmtes Volumen, in dem man die Wechselwirkungen beobachtet, so ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x = l , wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): l
die Länge dieses Volumens ist. Setzt man dieses ein, kann man zur Berechnung des WQ die Gleichung direkt umstellen, da Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): N(l) = N_0 - N_W ist:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma = \frac{1}{l \cdot \rho_T} \ln\left(\frac{N_0}{N_0 - N_W}\right)
Es gilt offenbar auch
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma \cdot \rho_T = \frac{1}{\lambda},
wo Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda
die mittlere freie Weglänge ist. Eingesetzt sieht man sofort, dass dieses die Länge ist, nach der die Intensität des einfallenden Strahls auf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{1}{e} ihres ursprünglichen Wertes abgefallen ist. Hieraus folgt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma = \frac{1}{\lambda \cdot \rho_T}
.
Spezielle Wirkungsquerschnitte
Je nach Art der betrachteten Wechselwirkung werden verschiedene Bezeichnungen für den WQ verwendet wie beispielsweise:
- Streuquerschnitt für Streuung, also Ablenkung des einfallenden Teilchens;
- Elastischer Wirkungsquerschnitt (oft auch nur "elastischer Querschnitt") für elastischen Stoß, also einen Stoß, bei dem die kinetische Energie erhalten bleibt;
- Inelastischer Wirkungsquerschnitt ("inelastischer Querschnitt") für inelastischen Stoß, also einen Stoß, bei dem kinetische Energie in andere Energieformen übergeht, z.B. wird ein Teilchen angeregt (d.h. in einen Zustand höherer Energie versetzt) oder es werden neue Teilchen erzeugt;
- Ionisationsquerschnitt für die Ionisation des getroffenen Atoms;
- Spaltquerschnitt für die induzierte Kernspaltung.
Totaler Wirkungsquerschnitt
Die Bezeichnung "totaler WQ" wird in zwei Bedeutungen verwendet:
(1) Manchmal ist damit der WQ für das Eintreten irgendeiner von mehreren möglichen, einander ausschließenden Wechselwirkungen gemeint, z.B. Absorption oder Streuung des einfallenden Teilchens. Dieser totale WQ ist die Summe der Einzel-WQ. Er wird beispielsweise dann benötigt, wenn es nur um die Abschwächung des einfallenden Teilchenstroms geht.
(2) Manchmal wird "Totaler WQ" auch nur im Sinne des oben definierten WQ verwendet, um ihn vom differenziellen WQ (s. unten) zu unterscheiden; eine bessere Bezeichnung ist in diesem Fall "Integraler WQ".
Differenzielle Wirkungsquerschnitte
Winkelverteilung
Die Ableitung des WQ nach dem Raumwinkel Ω ist proportional der Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der Wechselwirkung das gestreute Teilchen (oder Reaktionsprodukt usw.) in einen infinitesimalen Raumwinkelbereich (Kegel) dΩ hinein fliegt, der in einer bestimmten Richtung gelegen ist:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\mathrm{d}\sigma} {\mathrm {d}\Omega}
Dieser differenzielle WQ hat die Größenart Fläche pro Raumwinkeleinheit und als Maßeinheit z.B. Millibarn/Steradiant. Er hängt (außer, wie jeder WQ, von der Primärenergie, der Energie des einfallenden Teilchens) auch von der Richtung ab, d.h. vom Winkel, um den das Teilchen z.B. gestreut wird. Als Funktion dieses Winkels betrachtet heißt er auch Winkelverteilung. Die Summe (das Integral) dieses differenziellen WQ über alle Richtungen ist der (im Sinne von integrale) totale WQ.
Mit der Bezeichnung "Differenzieller WQ" ohne weiteren Zusatz ist fast immer dσ /dΩ gemeint.
Sekundärenergieverteilung
Seltener benötigt wird der nach der Energie Es des Sekundärteilchens, also des gestreuten Teilchens oder Reaktionsproduktes abgeleitete WQ, dσ /dEs, der die Energieverteilung der Sekundärteilchen beschreibt. Er hängt ab von der Primär- und der Sekundärenergie.
Doppelt differenzieller Wirkungsquerschnitt
Bei komplexen Vorgängen wie etwa dem Eindringen (Transport) schneller Neutronen in dicke Materieschichten, wo ein Neutron an verschiedenen Streuprozessen und Kernreaktionen nacheinander teilnehmen kann, wird auch der doppelt differenzielle WQ d2σ /dΩdEs betrachtet, da er die detaillierteste physikalische Beschreibung erlaubt.
Geometrischer Wirkungsquerschnitt
Im Fall der klassischen Mechanik ist der WQ durch die Geometrie gegeben; eine Wechselwirkung findet genau dann statt, wenn sich Projektil und Targetteilchen berühren. Für zwei Kugeln der Radien Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R_1
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R_2 ist der (totale) geometrische Wirkungsquerschnitt die Fläche eines Kreises mit Radius Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R_1+R_2
, also:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma_{geom} = \pi \, (R_1+R_2)^2
Makroskopischer Wirkungsquerschnitt
In der Physik der Kernreaktoren wird neben dem oben definierten mikroskopischen (d.h. auf 1 Targetteilchen, meist 1 Atom bezogenen) WQ auch der makroskopische, auf 1 cm³ Material bezogene WQ mit dem Formelzeichen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Sigma (großes Sigma) verwendet. Er ergibt sich aus dem mikroskopischen WQ durch Multiplikation mit der Atomzahldichte N, also der Zahl der jeweiligen Atome pro cm³. Die übliche Einheit des makroskopischen WQ ist cm²/cm³ = 1/cm.
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