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Windung oder Torsion ist in der Differentialgeometrie ein Maß für die Abweichung einer Kurve vom ebenen Verlauf. Die Windung beschreibt zusammen mit der Krümmung das lokale Verhalten der Kurve und kommt wie die Krümmung als Koeffizient in den frenetschen Formeln vor.

Definition

Die betrachtete Kurve sei durch die Bogenlänge s parametrisiert:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{r} = \vec{r}(s) \,.

Für einen Kurvenpunkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{r}(s)

erhält man

durch Ableiten nach s den Tangenteneinheitsvektor

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{t}(s) = \vec{r}\,'(s) \,.

Erneutes Ableiten und Normieren liefert den Hauptnormaleneinheitsvektor

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{n}(s) = \frac{\vec{t}\,'(s)}{|\vec{t}\,'(s)|} = \frac{\vec{r}\,''(s)}{|\vec{r}\,''(s)|} \,.

Zusätzlich wird mit Hilfe des Vektorprodukts der Binormaleneinheitsvektor

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{b}(s) = \vec{t}(s) \times \vec{n}(s)

festgelegt. Die Windung (Torsion) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tau(s)\,

der Kurve

an der Stelle s ist nun festgelegt durch das Skalarprodukt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tau(s) = -\vec{b}\,'(s) \cdot \vec{n}(s) \,.

Berechnung

Für die praktische Berechnung eignet sich die oben gegebene Definition der Windung nicht besonders gut, da eine Parametrisierung durch die Bogenlänge vorausgesetzt wird. Die folgende Formel bezieht sich auf eine Kurve im dreidimensionalen Raum (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}^3 ), die als Funktion r eines beliebigen Parameters t (in der Praxis üblicherweise die Zeit) in der Form

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{r} = \vec{r}(t)

gegeben ist:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tau(t) = \frac{\left(\vec{r}\,'(t) \times \vec{r}\,''(t)\right) \cdot \vec{r}\,'''(t)} {\left|\vec{r}\,'(t) \times \vec{r}\,''(t)\right|^2}

Im Falle einer ebenen Kurve gibt es nichts zu berechnen, da die Windung den Wert 0 hat.

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