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Wiensches Verschiebungsgesetz
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Das nach Wilhelm Wien benannte wiensche Verschiebungsgesetz gibt an, bei welcher Wellenlänge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda_{\rm max}
bzw. Frequenz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nu_{\rm max} ein nach dem planckschen Strahlungsgesetz strahlender Schwarzer Körper die größte Strahlungsleistung oder die größte Photonenrate abgibt.
Es lassen sich verschiedene Versionen des Gesetzes herleiten. Die im Folgenden zuerst dargestellte ist meist gemeint, wenn ohne weitere Spezifikation vom „wienschen Verschiebungsgesetz“ gesprochen wird.
Inhaltsverzeichnis |
Maximale Strahlungsleistung
Einfach ausgedrückt sagt die Temperatur eines Körpers genau aus, 'welche Art' Wärme er bevorzugt abstrahlt.
Beispiel: Heißer flüssiger Stahl glüht sehr hell (fast weiß), warmer glühender Stahl ist dunkelrot und kühler Stahl strahlt unsichtbares infrarotes Licht als Wärme ab.
Dieses Prinzip machen sich unter anderem auch Wärmebildkameras zu nutze.
Wellenlänge maximaler Strahlungsleistung
Die physikalische Formulierung hierzu besagt: Je höher die Temperatur eines Körpers ist, desto kürzer ist die Wellenlänge, bei der das Strahlungsmaximum ausgesandt wird. Also:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b = 2897{,}8\,\mathrm{\mu m \, K}
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda_{\rm max}
= Wellenlänge maximaler Intensität in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu m
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T
= Temperatur in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K
Die Konstante Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b = 2897{,}8\,\mathrm{\mu m \, K}
wird auch als wiensche Verschiebungskonstante bezeichnet. Der gemäß CODATA 2002 empfohlene Wert beträgt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (2897{,}7685\pm0{,}0051)\,\mathrm{\mu m \, K}\ .
Wellenlängendarstellung
Die spektrale spezifische Ausstrahlung eines Schwarzen Körpers der Temperatur Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T
wird durch das plancksche Strahlungsgesetz beschrieben und lautet in der Wellenlängendarstellung:
Gesucht ist die Wellenlänge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda_{\rm max} , bei welcher diese Funktion das Maximum annimmt. Nullsetzen der Ableitung nach Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda
liefert:
Die Substitution Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x := \frac{hc}{\lambda kT}
vereinfacht den Ausdruck zu
Die numerische Lösung ergibt
und die Rücksubstitution führt auf das wiensche Verschiebungsgesetz in der Wellenlängendarstellung:
| Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda_{\rm max} = \frac{hc}{xkT} = \frac{2897{,}8\,\mathrm{\mu m \, K}}{T} |
Die Wellenlänge maximaler Strahlungsleistung verschiebt sich also einfach umgekehrt proportional zur absoluten Temperatur des Schwarzen Strahlers: verdoppelt sich die Temperatur des Strahlers, so tritt die größte Strahlungsleistung bei der halben Wellenlänge auf.
Die spektrale spezifische Ausstrahlung des Maximums ist proportional zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T^5
Frequenzdarstellung
In der Frequenzdarstellung ist die spektrale spezifische Ausstrahlung gegeben durch
Nullsetzen der Ableitung nach Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nu
liefert:
Die Substitution Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tilde x := \frac{h\nu}{kT}
vereinfacht den Ausdruck zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 3 - \frac{\tilde x}{1-e^{- \tilde x}} = 0
.
Die numerische Lösung ergibt
und Rücksubstitution führt auf das wiensche Verschiebungsgesetz in der Frequenzdarstellung:
| Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nu_{\rm max} = \frac{\tilde x k T}{h} = 5{,}878933 \cdot 10^{10} \,\mathrm{Hz \, K^{-1}} \cdot T |
Die Frequenz maximaler Strahlungsleistung verschiebt sich also proportional zur absoluten Temperatur des Strahlers.
Die spektrale spezifische Ausstrahlung des Maximums ist proportional zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T^3
Man beachte, dass wegen der nichtlinearen Umrechnung zwischen Wellenlängen- und Frequenzintervallen nicht die folgende Gleichung:
sondern folgende Gleichung gilt:
Maximale Photonenrate
Wellenlängendarstellung
Die spektrale spezifische Ausstrahlung, ausgedrückt durch die Abstrahlungsrate der Photonen, ist in der Wellenlängendarstellung gegeben durch
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tilde M^o_{\lambda}(\lambda, T) \, = \frac{2 \pi c}{\lambda^4} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1}
.
Nullsetzen der Ableitung nach Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nu
liefert:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{hc}{\lambda kT} \cdot \frac{1}{1-e^{- \frac{hc}{\lambda kT}}} - 4 = 0
.
Die Substitution Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x := \frac{hc}{\lambda kT}
vereinfacht den Ausdruck zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{x}{1-e^{-x}}-4 = 0
.
Die numerische Lösung ergibt
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \hat x = 3{,}9206903948...
,
und Rücksubstitution führt auf das wiensche Verschiebungsgesetz für die Photonenrate in der Wellenlängendarstellung:
| Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda_{\rm max} = \frac{hc}{\hat xkT} = \frac{3669{,}7\,\mathrm{\mu m \, K}}{T} |
Die spektrale Photonenrate des Maximums ist proportional zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T^4 .
Frequenzdarstellung
In der Frequenzdarstellung ist die spektrale spezifische Ausstrahlung, ausgedrückt durch die Abstrahlungsrate der Photonen, gegeben durch
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tilde M^o_{\nu}(\nu, T) \, = \frac{2 \pi \nu^{2}}{c^2} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1} .
Nullsetzen der Ableitung nach Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nu
liefert:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2 - \frac{h\nu}{kT}~~\frac{1}{1-e^{-~\frac{h\nu}{kT}}} = 0
.
Die Substitution Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \check x := \frac{h\nu}{kT}
vereinfacht den Ausdruck zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2 - \frac{\check x}{1-e^{- \check x}} = 0
.
Die numerische Lösung ergibt
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \check x = 1{,}5936242600...
,
und Rücksubstitution führt auf das wiensche Verschiebungsgesetz für die Photonenrate in der Frequenzdarstellung:
| Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nu_{\rm max} = \frac{\check x k T}{h} = 3{,}320578 \cdot 10^{10} \,\mathrm{Hz \, K^{-1}} \cdot T |
Die spektrale Photonenrate des Maximums ist proportional zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T^2 .
Anwendungsbeispiele
Nimmt man für die Sonne Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda_{\rm max}\approx 500
nm an und betrachtet sie näherungsweise als Schwarzen Strahler, so ergibt sich ihre Oberflächentemperatur zu 5796 K.
Glutfarben geben Aufschluss über die Temperatur heißer Materialien.
Siehe auch
Andere die Strahlung des Schwarzen Körpers betreffende Gesetze sind das plancksche Strahlungsgesetz, das Stefan-Boltzmann-Gesetz, das wiensche Strahlungsgesetz und das Rayleigh-Jeans-Gesetz. Näherungsweise gelten diese Gesetze oft auch für die von nicht-schwarzen Strahlern abgegebene Wärmestrahlung.
Weblinks
- http://www.greier-greiner.at/hc/planck.htm
- http://www.geographie.uni-muenchen.de/iggf/Multimedia/Klimatologie/Nebenseiten/Strahlung_Gesetze.htm
- http://klimt.iwr.uni-heidelberg.de/PublicFG/ProjectB/CFT/dipluschimpf/node5.html
- http://physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt
- WEBGEO-Modul: Physik der Wärmestrahlung -- WEBGEO: Das eLearning Portal für Geographie und Nachbarwissenschaften
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