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Wendepunkt
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Ein Wendepunkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): W\left(x_W|f(x_W)\right)
ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an welchem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. Ein Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in einer Linkskurve oder umgekehrt.
Dieser Wechsel wird auch Bogenwechsel genannt. Die Ermittlung von Wendepunkten ist Bestandteil einer Kurvendiskussion.
Ein Wendepunkt an der Stelle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_W
liegt vor, wenn die erste Ableitungsfunktion der differenzierbaren Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f an der Stelle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_W ein relatives Extremum besitzt. Daraus lassen sich mehrere Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten einer Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f ableiten.
Die Tangente durch einen Wendepunkt wird Wendetangente genannt (Im Bild rot).
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Notwendiges Kriterium zur Bestimmung von Wendepunkten
Voraussetzungen:
1. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
ist bei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_W zweimal differenzierbar
2. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_W
ist Wendestelle
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f''(x_W)=0 \,
Hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten
Die Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
sei in einer Umgebung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_W dreimal differenzierbar. Falls gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f''(x_W)=0 \wedge f'''(x_W) \neq 0
, so ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_W
Wendestelle. Wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f''' > 0
, dann ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_W
Rechts-Links-Wendestelle und wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f''' < 0
, dann ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_W
Links-Rechts-Wendestelle.
Falls die erste Ableitung an der Stelle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_W
existiert und die zweite Ableitungsfunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f''(x) an der Stelle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_W das Vorzeichen wechselt, so ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_W ein Wendepunkt. Wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f '(x_W) an Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_W vom Positiven in das Negative wechselt, so ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_W eine Links-Rechts-Wendestelle oder wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f '(x_W) vom Negativen in das Positive wechselt, so ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_W Rechts-Links-Wendestelle.
Ein Spezialfall der Wendestelle ist der Sattelpunkt.
Beispiel
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): { f(x) } = { 1 \over 3 } \cdot x^3 - 2 \cdot x^2 + 3 \cdot x
Dann ist die zweite Ableitung der Funktion:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {f''(x)} = {2 \cdot x - 4}
Dann muss
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {f''(x)} = 0 = {2 \cdot x - 4}
gesetzt werden. Das Ergebnis ist x=2. Zugleich ist
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {f'''(x)} = 2 \,
und daher ungleich 0, also handelt es sich um einen Wendepunkt.
Siehe auch: Kurvendiskussion
Besondere Fälle
1. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): { f(x) } = (x-2)\cdot e^{|x|}
Der Graph dieser Funktion ändert bei x=0 sein Krümmungsverhalten (Übergang von Rechts- in Linkskrümmung).
Dennoch hat die Funktion bei x=0 keinen Wendepunkt, da die erste Ableitung an der Stelle x=0 nicht existiert. Der Graph von f' hat daher für x=0 kein Extremum.
2. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): { f(x) } = x \cdot|x|
Diese Funktion besitzt in x=0 einen Wendepunkt, obwohl die 2. Ableitung dort nicht existiert.
Jedoch hat der Graph der 1. Ableitungsfunktion f ' bei x=0 ein Minimum.
Weblinks
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