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Wellenvektor
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Der Wellenvektor wird mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{k}
bezeichnet. Dieser zeigt in die Ausbreitungsrichtung einer Welle
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \psi = A e^{i\vec k\vec r}
Mit den Komponenten in x-, y- und z-Richtung
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{k} = (k_x, k_y, k_z)
zeigt der Wellenvektor im 3-dimensionalen k-Raum, auch reziproker Raum genannt, in eine bestimmte Richtung.
Der Betrag des Wellenvektors ist die Kreis-Wellenzahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k , daher auch die Bezeichnung Wellenzahlvektor:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |\vec{k}|=\frac{2\cdot\pi}{\lambda}
wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda
die Wellenlänge ist.
Wellenvektor und Quantenzahlen
Der Wellenvektor ist nicht immer quantisiert. So kann die Wellenlänge eines Photons im Vakuum „jeden“ Wert annehmen, entsprechend existiert auch keine Quantenzahl, mit der dieses Teilchen beschrieben werden könnte. Denn eine Quantenzahl ist eine ganze Zahl, mit der die diskreten Eigenzustände eines Systems charakterisiert werden. Da Quantenzahlen höchstens abzählbar unendlich sind, kann das Kontinuum der Zustände eines solchen Photons nicht indiziert werden.
Anders verhält es sich beispielsweise mit Teilchen in einem Potentialtopf oder einem Elektron in einem endlich ausgedehnten Festkörper. Hier sind die erlaubten Wellenvektoren quantisiert, wenngleich sie selbst keine Quantenzahlen darstellen. Der Wellenvektor ist vielmehr eine Funktion von Quantenzahlen, bzw. können seine möglichen Werte durch Quantenzahlen abgezählt werden. Dies ist in Analogie zu den Eigenenergien Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E_n
eines quantenmechanischen Problems zu sehen: Der Index der diskreten Energie ist die Quantenzahl, nicht jedoch die Energie selbst.
Veranschaulichung: Die Lösungen der Schrödingergleichung eines dreidimensionalen, unendlich hohen Potentialtopfs lauten
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Psi_{n_x,n_y,n_z}(x,y,z)\propto\sin\left( k_x x \right) \cdot \sin\left( k_y y\right) \cdot \sin\left( k_z z \right)
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{mit}\quad k_i=\frac{n_i\pi}{a_i}\quad\mathrm{f\ddot{u}r}\quad i=x,y,z.
Die Zustände des Teilchens, das als Welle beschrieben wird, sind also durch die Quantenzahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n_x , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n_y
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n_z charakterisiert. Anstatt einen Zustand durch dieses Zahlentripel zu benennen, kann auch der Wellenvektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbf k=(k_x,k_y,k_z) verwendet werden. Jedoch darf dieser oder einer seiner Komponenten nicht als Quantenzahl bezeichnet werden, weil der Wellenvektor zum einen dimensionsbehaftet ist und zum anderen durch reelle Zahlen dargestellt ist.
Bei einem Potentialtopf mit N Teilchen ergeben sich N Vektoren im k-Raum. Wenn es sich um Elektronen, also Fermionen handelt, gibt es pro Wellenvektor zwei Zustände, die sich im Spin unterscheiden.
Siehe auch: Wellenfunktion, Wellenzahl
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