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Wellengleichung
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Als Wellengleichung bezeichnet man eine partielle Differentialgleichung, die die Ausbreitung von Wellen modelliert und darüber hinaus (zusammen mit zahlreichen Varianten) auch als unabhängiger Forschungsgegenstand von Interesse ist.
Inhaltsverzeichnis |
Die homogene Wellengleichung
Unter einer homogenen Wellengleichung versteht man eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine Funktion
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u(x_1, ..., x_n, t)
im n-dimensionalen Raum
der Form
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c^2 \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} \right) - \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0
.
Unter einer inhomogenen Wellengleichung versteht man die Differentialgleichung, die man durch Ersetzen der rechten Seite durch eine Funktion von xi und t aus obiger Gleichung ersetzt. Die Wellengleichung ist vom hyperbolischen Typ.
Oft wird der Begriff "Wellengleichung" darüber hinaus auch auf andere lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung angewendet, deren Lösungen als Linearkombinationen ebener Wellen geschrieben werden können.
Die Funktion u kann dabei in die reellen oder komplexen Zahlen, aber auch auf Vektoren, Tensoren oder Spinoren abbilden.
Lösungen der homogenen Wellengleichung in einer Dimension
Die homogene Wellengleichung in einer Dimension lautet
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
(hierbei ist die Funktion u natürlich zweidimensional, aber üblicherweise wird t hier nicht mitgezählt). Sie hat als allgemeine Lösung
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u\left(x,t\right) = f(x + ct) + g(x - ct)
mit beliebigen zweimal differenzierbaren Funktionen f(x) und g(x). Dabei beschreibt der erste Summand eine mit Geschwindigkeit c nach links laufende, der zweite Summand eine mit derselben Geschwindigkeit nach rechts laufende ebene Welle.
Mit Hilfe der Fouriertransformation lassen sich die Funktionen f und g als Linearkombination von Sinus-Funktionen oder auch komplexen Exponentialfunktionen schreiben, wobei diese Funktionen die Form
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u(x,t) = A\sin(k x \pm \omega t + \phi)
bzw.
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u(x,t) = A\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x \pm \omega t)}
haben (in der zweiten Schreibweise steckt die Phase Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \phi
im komplexen Vorfaktor A), wobei
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega = k\cdot c\,
Die Wellengleichung in mehreren Dimensionen
In mehreren Dimensionen lässt sich die allgemeine Lösung nicht mehr so einfach hinschreiben, aber auch hier können alle Lösungen als Linearkombination der ebenen Wellen
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A\sin(\vec k\vec x \pm \omega t + \phi)
bzw.
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u(\vec x,t) = A\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\vec k \vec x \pm \omega t)}
mit
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega = \left|\vec k\right| c
geschrieben werden. Diese Wellen haben alle die Geschwindigkeit c und bewegen sich in Richtung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec k .
Allgemeine Wellengleichung
Im allgemeinen (4-dimensionalen) Fall lautet die Wellengleichung
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left( \Delta - \frac {1}{c^2} \frac{\partial ^2}{\partial t^2} \right) u = 0 .
Dabei ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c
die Ausbreitungsgeschwindigkeit und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta der Laplaceoperator.
Die Wellengleichung kann man mit dem d'Alembertoperator oder Quablaoperator ("Viereckoperator") vereinfacht als
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Box u =0
schreiben.
Die Wellengleichung für elektromagnetische Wellen
Die Herleitung der Wellengleichung aus der Telegraphengleichung
Die Herleitung der Wellengleichung findet unter Anwendung der maxwellschen Gleichungen in differentieller Form statt.
- im folgenden gilt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu = \mu_r \cdot \mu_0
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \epsilon = \epsilon_r \cdot \epsilon_0
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c = \frac{1}{\sqrt{\mu \cdot \epsilon}}
und im Falle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu_r=1 , \epsilon_r=1 ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c die Vakuumlichtgeschwindigkeit.
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \kappa = \frac {1}{\rho}
und entspricht der Leitfähigkeit (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \rho ist jetzt spez. Widerstand)
- mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu_0 = 4 \cdot \pi \cdot 10^{-7}\mathrm{\frac{V\,s}{A\,m}}
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \epsilon_0 = 8{,}8542 \cdot 10^{-12}\mathrm{\frac{A\,s}{V\,m}}
Herleitung der Telegraphengleichung, um daraus die Wellengleichung zu bestimmen.
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nabla \times \vec E=-\frac{\part \vec B}{\partial t}
(3. Maxwell)
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nabla \times \vec E=-{\mu}\frac{\part}{\partial t} \vec H
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nabla \times (\nabla \times \vec E)=-{\mu}\frac{\part}{\partial t} \nabla \times \vec H
und mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nabla \times \vec H = \vec J +\frac{\part \vec D}{\partial t}
(4. Maxwell)
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nabla \times (\nabla \times \vec E) = -{\mu}\frac{\part }{\partial t} \frac{\part \vec D}{\partial t}-\mu \frac{\part }{\partial t } \vec J
nun mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec J = \kappa \vec E
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nabla \times (\nabla \times \vec E)=-{\mu}\epsilon \frac{\part^2 }{\partial t^2} \vec E -\mu \kappa \frac{\part }{\partial t } \vec E
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nabla \times (\nabla \times \vec E)=-\frac{1}{c^2} \cdot \frac{\part^2 \vec E}{\partial t^2} -\frac{\kappa}{c^2 \epsilon} \frac{\part }{\partial t } \vec E
(vgl. hier auch die Telegraphengleichung)
an dieser Stelle lassen sich mit Hilfe der Vektoranalysis bzw der Graßmann-Identität verschiedene Vereinfachungen vornehmen:
- kann Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nabla \times (\nabla \times \vec E)
(auch bekannt als rot rot E) umgeschrieben werden zu:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nabla \times (\nabla \times \vec E)=\nabla(\nabla \vec E) -(\nabla \nabla)\vec E .
- Unter der Bedingung, dass gilt: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nabla \vec E = 0
(3. Maxwell: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nabla \vec D= \rho und der Raumladungsdichte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \rho = 0
)
- kann vereinfacht geschrieben werden:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nabla \times (\nabla \times \vec E)=-\nabla^2 \vec E
Für einen metallischen Leiter gilt somit:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \kappa
ist groß. (dies entspricht einer hohen Leitfähigkeit)
- In dem Falle ist die Raumladung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \rho
zu vernachlässigen (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \rho = 0
),
- da sie mit der Zeitkonstanten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tau= \frac{\epsilon}{\kappa}
abklingt. (vergleiche auch die Elektrostatik)
- mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \rho = 0
und 3. Maxwell: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nabla \vec D= \rho folgt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nabla \vec E = 0
,
- womit aus der Telegraphengleichung die Diffusionsgleichung folgt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nabla^2 \vec E =\frac{\kappa}{c^2 \epsilon} \frac{\part }{\partial t } \vec E
oder Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nabla^2 \vec E =\kappa \mu \frac{\part }{\partial t } \vec E
Für einen Isolator gilt im materiefreien Raum (näherungsweise auch Luft) allerdings:
- Raumladungsdichte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \rho = 0
- und mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \kappa = 0
bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec J = 0
- erhält man aus der Telegraphengleichung unmittelbar die Wellengleichung :
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nabla^2 \vec E =\frac{1}{c^2} \cdot \frac{\part^2 \vec E}{\partial t^2}
oder Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nabla^2 \vec E =\mu \epsilon \frac{\part^2 \vec E}{\partial t^2}
Wellengleichung für anisotrope Körper
In anisotropen Körpern ist die elektrische Feldstärke Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec E
und die elektrische Verschiebungsdichte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec D nicht mehr gleich gerichtet. Damit kann die dielektrische Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varepsilon
, welche die beiden Formelgrößen verknüpft, nicht mehr als Skalar aufgefasst, sondern muss als Tensor zweiter Stufe behandelt werden. Wie sich eine elektromagnetische Welle im anisotropen Medium ausbreitet, lässt sich durch Lösen der Wellengleichung für anisotrope Körper berechnen:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varepsilon \cdot \vec{E} = n^2 (\vec E -\vec{k}(\vec E \cdot \vec k))
Die Lösung dieser Gleichung ist Thema der Kristalloptik.
Akustische Wellengleichung in Flüssigkeiten und Gasen
Die akustische Wellengleichung wird abgeleitet aus der Newtonschen Kraftgleichung in differentieller Form
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -\operatorname{grad}\, p =-\nabla\, p=\rho_0 \frac{\part \vec{v}} {\part t}
mit dem Druck Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p
, der Dichte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \rho
und der Schallschnelle (Partikelgeschwindigkeit) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{v}
.
Die zweite Grundgleichung ist die Kontinuitätsgleichung
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \operatorname{div}\, \vec{v}= \nabla\cdot \vec{v}= -\frac 1 {\rho_0}\frac{\part \rho} {\part p}\frac{\part p} {\part t}= -\frac 1 {\rho_0 c^2}\frac{\part p} {\part t}
mit der Schallgeschwindigkeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c=\sqrt{\frac{\part p} {\part \rho}} .
Aus beiden Gleichungen zusammen folgt
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \operatorname{div}\, \operatorname{grad}\, p = \nabla \, \nabla\ p= \Delta\, p= -\rho_0\, \operatorname{div}\, \frac{\part \vec{v}} {\part t}= \frac 1 {c^2} \frac {\part ^2 p}{\part t^2}
, die in der Form genau der elektromagnetischen Wellengleichung entspricht. Weil aber der Schalldruck Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p
anders als die elektrische Feldstärke Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E eine skalare Größe ist, gibt es bei akustischen Wellen keine Polarisation.
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