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Wellenfunktion
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Die Wellenfunktion beschreibt in der Quantenmechanik den quantenmechanischen Zustand eines Elementarteilchens oder eines Systems von Elementarteilchen im Ortsraum und bestimmt seine Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Nach der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik enthält die Wellenfunktion eine Beschreibung aller Informationen einer Entität oder eines ganzen Systems.
Die Wellenfunktion ist die - meist komplexe - Lösung einer Wellengleichung, die sowohl für einzelne gebundene Teilchen wie Elektronen im Orbitalmodell oder freie Teilchen (z.B. als Wellenpaket), als auch für ganze Teilchensysteme aufgestellt werden kann. In der Klassischen Physik hat der Begriff eine deutlich andere Bedeutung.
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Quant als Welle
Während unter Welle (Physik) die allgemeine Beschreibung der Wellengleichung zu finden ist, wird hier hauptsächlich auf die Eigenschaften der Wellenfunktion eines Quantenteilchens eingegangen. Die komplexe Natur der (hier besprochenen) Wellenfunktion spiegelt wider, dass Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \psi(\mathbf{r},t)
nicht die reale physikalische Bedeutung zukommt wie etwa der elektrischen Feldstärke Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbf{\Epsilon}(\mathbf{r},t)
einer Lichtwelle.
In der Quantenmechanik dienen Wellenfunktionen zur mathematischen Beschreibung des quantenmechanischen Zustands eines physikalischen Systems. Die Wellenfunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \psi(\mathbf{r},t)
eines Quantenteilchens kann etwa die Form einer ebenen Welle besitzen (freies Teilchen):
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \psi(\mathbf{r},t) = A_0 \cos\left(\omega t - \mathbf{k}\mathbf{r} \right)
wobei
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbf{r}
der Ortsvektor,
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A_0
die (komplexwertige) Amplitude,
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbf{k}
der Wellenvektor und
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega
die Kreisfrequenz.
In der schrödingerschen Quantenmechanik ergeben sich Wellenfunktionen als Lösung der Schrödingergleichung bzw. muss die Wellenfunktion stets eine Lösung der Schrödingergleichung sein. Teilchen mit inneren Eigenschaften werden durch Wellenfunktionen mit mehreren Komponenten beschrieben. Nach dem Transformationsverhalten der Wellenfunktionen bei Lorentztransformationen unterscheidet man in der relativistischen Quantenfeldtheorie skalare, tensorielle und spinorielle Wellenfunktionen bzw. Felder.
Normierungsbedingung und Aufenthaltswahrscheinlichkeit
Im Unterschied zur Klassischen Physik ist eine exakte Aussage über den Aufenthaltsort Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbf{r}
eines Teilchens im Allgemeinen nicht möglich (Heisenbergsche Unschärferelation). Ausgehend von der Existenz des Quantenteilchens muss es sich (zu jeder Zeit) irgendwo aufhalten, weshalb dessen Wellenfunktion die Normierungsbedingung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_{Raum}^{} \psi\psi^*\, \mathrm dV=1 (wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \psi* die konjugiert komplexe Funktion zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \psi
) erfüllen muss. Dies führt zur differentiellen Wahrscheinlichkeit dP, das Teilchen am Ort Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbf{r}=(x, y, z) , im Volumenelement Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm dV\, =\, \mathrm dx\, \mathrm dy\, \mathrm dz
anzutreffen: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm dP(x, y, z)=\psi\psi^*\, \mathrm dV
.
Für eine normierte Wellenfunktion gibt das Betragsquadrat Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |\psi|^2=\psi\psi*
also die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Aufenthalt am Ort Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbf{r} zur Zeit t an.
Für Teilchen-Wellenfunktionen im Ortsraum ergibt die Integration der Wahrscheinlichkeitsdichte über einen Ortsbereich (ein Intervall im Raum) die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen (z.B. Elektron) in diesem Raumbereich zu finden.
Definition
Eine Wellenfunktion bezieht sich auf jeden Vektor oder jede Funktion, die den Zustand eines physikalischen Systems beschreibt, indem sie es als Entwicklung nach anderen Zuständen desselben Systems darstellt.
Typische Wellenfunktionen sind entweder:
- Ein Vektor aus komplexen Zahlen mit endlich vielen Komponenten:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}
,
- Ein Vektor aus komplexen Zahlen mit abzählbar unendlich vielen Komponenten (diskreter Index):
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \\ \vdots \end{bmatrix}
,
- oder eine komplexwertige Funktion einer oder mehrerer stetig veränderlicher reeller Variablen:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \psi(x_1, \, \ldots \, x_n)
.
In allen Fällen liefert die Wellenfunktion eine vollständige Beschreibung des betreffenden physikalischen Systems. Es ist allerdings wichtig anzumerken, dass eine einem bestimmten System zugeordnete Wellenfunktion das System nicht eindeutig bestimmt, vielmehr können viele verschiedene Wellenfunktionen das gleiche physikalische Szenario beschreiben.
Teilcheninterpretation
Die physikalische Interpretation einer Wellenfunktion ist kontextabhängig. Mehrere Beispiele werden unten angeführt, gefolgt von einer Interpretation der oben beschriebenen drei Fälle.
Ein Teilchen in einer Raumdimension
Die Wellenfunktion eines Teilchens im eindimensionalen Raum ist eine komplexe Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \psi(x)\,
über der Menge der reellen Zahlen. Das Betragsquadrat der Wellenfunktion, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |\psi|^2\,
, wird als Wahrscheinlichkeitsdichte der Teilchenposition interpretiert.
Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung das Teilchen im Intervall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [a, b]
zu finden, ist folglich
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_{a}^{b} |\psi(x)|^2\, \mathrm dx \quad
.
Dies führt zu der Normierungsbedingung
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2\, \mathrm dx = 1 \quad
da eine Messung der Teilchenposition eine reelle Zahl ergeben muss. Das heißt: Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen an irgendeinem Ort zu finden, ist gleich 1.
Ein Teilchen in drei Raumdimensionen
Der dreidimensionale Fall ist analog zum Eindimensionalen; Die Wellenfunktion ist eine komplexe Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \psi(x, y, z)\,
definiert über dem dreidimensionalen Raum, und ihr Betragsquadrat wird als dreidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung das Teilchen im Volumen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R zu finden, ist deshalb
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_R |\psi(x, y, z)|^2\, \mathrm dV
.
Die Normierungsbedingung ist analog zum eindimensionalen Fall
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int |\psi(x, y, z)|^2\, \mathrm dV = 1
wobei das Integral sich über den gesamten Raum erstreckt.
Zwei unterscheidbare Teilchen in drei Raumdimensionen
In diesem Fall ist die Wellenfunktion eine komplexe Funktion von sechs Raumvariablen,
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \psi(x_1, y_1, z_1, x_2, y_2, z_2)\,
,
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |\psi|^2\,
ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Positionen beider Teilchen. Die Wahrscheinlichkeit einer Positionsmessung beider Teilchen in den beiden jeweiligen Regionen R und S ist dann
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_R \int_S |\psi|^2 \, \mathrm dV_2\,\mathrm dV_1
wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm dV_1 = \mathrm dx_1 \mathrm dy_1 \mathrm dz_1
und ebenso für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm dV_2
. Die Normierungsbedingung ist deshalb
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int |\psi^2| \, \mathrm dV_2\,\mathrm dV_1 = 1
,
wobei das vorgestellte Integral über den gesamten Bereich aller sechs Variablen reicht.
Dabei ist von entscheidender Bedeutung, dass im Fall von Zwei-Teilchen-Systemen nur das System, das aus beiden Teilchen besteht, eine wohldefinierte Wellenfunktion haben muss. Daraus ergibt sich, dass es unmöglich sein kann, eine Wahrscheinlichkeitsdichte für Teilchen EINS zu definieren, welche nicht ausdrücklich von der Position von Teilchen ZWEI abhängt. Die Moderne Physik nennt dieses Phänomen Quantenverschränkung bzw. Quanten-Nichtlokalität.
Ein Teilchen im eindimensionalen Impulsraum
Die Wellenfunktion eines eindimensionalen Teilchens im Impulsraum ist eine komplexe Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \psi(p)\,
definiert über die Menge der reellen Zahlen. Die Größe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |\psi|^2\, wird als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion im Impulsraum interpretiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Impulsmessung einen Wert im Intervall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [a, b] ergibt, ist folglich
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_{a}^{b} |\psi(p)|^2\, \mathrm dp\quad
.
Dies führt zur Normierungsbedingung
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(p)|^2\, \mathrm dp = 1
,
weil eine Messung des Teilchenimpulses immer eine reelle Zahl ergibt.
Spin 1/2- Teilchen (z.B. Elektron)
Die Wellenfunktion eines Teilchens mit Spin 1/2 (ohne Berücksichtigung seiner räumlichen Freiheitsgrade) ist ein Spalten-Vektor
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix}
.
Die Bedeutung der Komponenten des Vektors hängt von der verwendeten Basis ab, typischerweise entsprechen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c_1
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c_2
den Koeffizienten für eine Ausrichtung des Spins in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z
-Richtung (spin up) und entgegen der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z -Richtung (spin down). In der Dirac Notation ist dies:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): | \psi \rangle = c_1 | \uparrow_z \rangle + c_2 | \downarrow_z \rangle
Die Werte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |c_1|^2 \,
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |c_2|^2 \, werden dann als die Wahrscheinlichkeiten interpretiert, dass der Spin bei einer Messung in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z
-Richtung oder entgegen der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z -Richtung orientiert ist.
Dies führt zur Normierungsbedingung
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |c_1|^2 + |c_2|^2 = 1\,
.
Grundsätzliche Interpretation Vektoren
Wellenfunktionen bilden einen verallgemeinerten Vektorraum (Hilbertraum). Eine Wellenfunktion, die den Zustand eines physikalischen Systems beschreibt, kann durch Linearkombination von anderen Zuständen desselben Systems beschrieben werden. Wir bezeichnen den Zustand des betrachteten Systems als Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): | \psi \rangle\,
und die Zustände, in die es entwickelt wird, als Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): | \phi_i \rangle
. Die letzteren Zustände müssen eine vollständige Basis des Vektorraums darstellen. Im folgenden werden alle Wellenfunktionen als normiert angenommen.
Endliche Vektoren
Eine vektorielle Wellenfunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec \psi
mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n Komponenten, beschreibt wie man den Zustand des physikalischen Systems Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): | \psi \rangle als lineare Kombination endlich vieler Grundelemente Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): | \phi_i \rangle
, welche Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): i
von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1 zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n laufen, ausdrückt. Insbesondere ist die Gleichung
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}
,
welche eine Relation zwischen Spaltenvektoren ist, gleichwertig mit
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |\psi \rangle = \sum_{i = 1}^n c_i | \phi_i \rangle
,
welche eine Relation zwischen den Zuständen eines physikalischen Systems ist. Zu beachten ist dass man beim Wechsel zwischen diesen Ausdrücken die verwendete Basis kennen muss, und folglich zwei Spaltenvektoren mit den gleichen Komponenten zwei verschiedene Systemzustände repräsentieren, wenn die zugrundegelegten Basiszustände verschieden sind. Ein Beispiel einer endlichen, vektoriellen Wellenfunktion ist gegeben durch den Spinzustand eines Teilchens mit Spin 1/2, wie oben beschrieben.
Die physikalische Bedeutung der Komponenten von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec \psi
ist durch das Postulat des Zusammenbruchs der Wellenfunktion gegeben:
- Wenn die Zustände Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): | \phi_i \rangle
eindeutige, endliche Werte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda_i einiger dynamischer Variablen haben ( z. B. Impuls, Position usw.), und diese Variablen in einem System im Zustand
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |\psi \rangle = \sum_i c_i | \phi_i \rangle
gemessen werden,
- dann ist die Wahrscheinlichkeit, den Wert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda_i
zu messen, gegeben durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |c_i|^2
, und wenn die Messung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda_i
ergibt, dann verbleibt das System im Zustand Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): | \phi_i \rangle
.
Unendliche Vektoren
Der Fall unendlicher Vektoren mit diskretem Index wird genauso behandelt wie ein endlicher Vektor, mit der Ausnahme dass die Summe über alle (unendlich viele) Basiselemente ausgedehnt wird. Folglich ist
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \\ \vdots \end{bmatrix}
äquivalent zu
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |\psi \rangle = \sum_{i} c_i | \psi_i \rangle
,
wobei in der obenstehenden Summe alle Komponenten von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec \psi
berücksichtigt sind. Die Interpretation der Komponenten ist die gleiche wie im endlichen Fall (ebenso wie das Kollapspostulat).
Stetig indizierte Vektoren (Funktionen)
Im Fall eines stetigen Index wird die Summe durch ein Integral ersetzt; ein Beispiel dafür ist die räumliche Wellenfunktion eines Teilchens in einer Dimension, welche den physikalischen Zustand des Teilchens Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): | \psi \rangle
in Ausdrücke von Zuständen mit definierten Positionen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): | x \rangle entwickelt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): | \psi \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) | x \rangle\,\mathrm dx
.
Dabei ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): | \psi \rangle
nicht das Gleiche wie Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \psi(x)\,
. Der erstere Ausdruck gibt den tatsächlichen Zustand des Teilchens, während der letztere einfach eine Wellenfunktion ist, die beschreibt, wie der Zustand als Superposition der Zustände mit definierten Positionen auszudrücken ist. In diesem Fall können die Basiszustände als
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): | x_0 \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x - x_0) | x \rangle\,\mathrm dx
geschrieben werden, und folglich ist die zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): | x_0 \rangle
gehörende räumliche Wellenfunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \delta(x - x_0)
. Siehe dazu auch: Delta-Distribution.
Formalismus
Bei einem gegebenen isolierten physikalischen System sind die erlaubten Zustände (also die Zustände, die das System einnehmen kann, ohne die Gesetze der Physik zu verletzen) eine Teilmenge eines Vektorraums H, des Hilbert-Raums. Konkret ist diese Teilmenge die Menge aller Vektoren mit der Länge 1, also die Einheitskugel um den Ursprung. Dies folgt aus der Tatsache das alle physikalisch erlaubten Zustände normiert sind. Daraus folgt:
- Wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): | \psi \rangle
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): | \phi \rangle zwei erlaubte Zustände sind, dann ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha | \psi \rangle + \beta | \phi \rangle ebenfalls ein erlaubter Zustand genau dann wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |\alpha|^2 + |\beta|^2 =1 gilt (Normierung).
- Wegen der Normierung kann für den Vektorraum H stets eine Orthonormalbasis aus physikalisch erlaubten Zuständen gefunden werden.
In diesem Zusammenhang kann die Wellenfunktion eines bestimmten Zustands als Entwicklung des Zustandes auf einer Basis des Vektorraums Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H
betrachtet werden. Zum Beispiel ist
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \{ |\uparrow_z \rangle, |\downarrow_z \rangle \}
eine Basis des Raums, der ein Teilchen mit Spin 1/2 beschreibt, und daraus folgt,dass der Spinzustand eines solchen Teilchens durch
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a|\uparrow_z \rangle + b|\downarrow_z \rangle
eindeutig beschrieben wird.
Es ist üblich, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H
mit einem inneren Produkt (Skalarprodukt) zu versehen, wobei die Art des inneren Produkts von der verwendeten Basis abhängt. Wenn es abzählbar viele Basiselemente Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \{ | \phi_i \rangle \}\,
, welche alle zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H
gehören, gibt, dann ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H mit dem eindeutigen inneren Produkt, welches diese Basis orthonormal macht, versehen, z. B.:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \langle \phi_i | \phi_j \rangle = \delta_{ij}.
Wenn das geschehen ist, ist das innere Produkt von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): | \phi_i \rangle
mit der Entwicklung eines beliebigen Vektors
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \langle \phi_i | \sum_j c_j | \phi_j \rangle = c_i
.
Der Koeffizient Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c_i
der Entwicklung des Zustandes Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |\psi>
in die Basis Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \{ | \phi_i \rangle \}\,
ergibt sich also durch Projektion auf den Basisvektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): | \phi_i \rangle
.
Wenn die Eigenwerte ein Kontinuum bilden, was zum Beispiel bei der Orts- oder Koordinaten-Basis der Fall ist, lässt sich aus den entsprechenden Eigenzuständen kein Hilbertraum aufbauen, da diese Eigenzustände nicht quadratintegrabel sind. Durch Verwendung der Dirac'schen Delta-Distribution lässt sich jedoch für diese Basiszustände eine verallgemeinerte Orthonormalisierungsbedingung formulieren. Derartige Basen werden auch als uneigentliche Basen bezeichnet. Ein Beispiel dafür ist die oben erwähnte Entwicklung der räumlichen Wellenfunktion eines Teilchens in Zustände Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \{ | x \rangle \}
mit bestimmter Position Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x
, mit der Dirac-Normalisierung
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \langle x | x' \rangle = \delta(x - x')
so dass die analoge Identität
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \langle x | \int \psi(x') | x' \rangle \,\mathrm dx' = \int \psi(x') \delta(x - x')\,\mathrm dx' = \psi(x)
erfüllt ist.
Quelle
Der Text ab dem Abschnitt Definition basiert auf einer Übersetzung des Artikels [1] - Version vom 12.März 2006.
Siehe auch
- Wellenpaket
- Boson- Teilchen mit symmetrischer Wellenfunktion unter Permutation.
- Fermion- Teilchen mit asymmetrischer Wellenfunktion unter Permutation.
- Quantenmechanik
- Schrödingergleichung
- Dimension (Physik)
- Dimension (Mathematik)
- Austauschwechselwirkung
Weblinks
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