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Torus
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Ein Torus (Plural: Tori) ist ein geometrisches Gebilde, das die Form eines Schwimmreifens oder Schmalzkringels besitzt. Genauer wird unterschieden zwischen
- eingebetteten Tori
- Sie entsprechen der Oberfläche eines Volltorus (s.u.) (beispielsweise eines Reifens oder Schmalzkringels) als Teilmenge des dreidimensionalen Raumes.
- flache Tori
- Sie unterscheiden sich aus topologischer Sicht nicht von eingebetteten Tori, sind jedoch nicht gekrümmt und lassen sich deshalb auch nicht als Teilmenge des dreidimensionalen Raumes beschreiben, sondern als Quotientenraum der Ebene oder als kartesisches Produkt zweier Kreise.
- Volltori
- Sie entsprechen einem gefüllten eingebetten Torus (s.o.) (beispielsweise einem gefüllten Reifen) als Teilmenge des dreidimensionalen Raumes. Sie sind also geometrische Körper.
Daneben gibt es noch Tori in der Theorie der Liegruppen, siehe Torus (Liegruppe), und algebraischen Gruppen, siehe Algebraischer Torus.
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Eingebettete Tori
Ein eingebetteter Torus kann als Menge der Punkte beschrieben werden, die von einem Kreis mit Radius Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R
den Abstand Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r<R haben.
Toruskoordinaten
Man kann in der Torusoberfläche, die topologisch eine Fläche von Geschlecht 1 ist (d.h. sie besitzt ein Loch), eine toroidale Koordinate t und eine dazu senkrechte poloidale Koordinate p einführen. Man kann sich die Oberfläche durch einen Kreis entstanden vorstellen, der um eine Achse, die in der Kreisebene liegt, rotiert wird. Den Radius des ursprünglichen Kreises nennen wir r, dieser Kreis bildet auch gleichzeitig eine Koordinatenlinie von p. Der Abstand des Kreismittelpunkts von der Achse wird hier R genannt, die Koordinatenlinien von t sind Kreise um die Drehachse. Beide Koordinaten sind Winkel und laufen von 0 bis 2π.
Eine mögliche Umrechnung in kartesische (dreidimensionale) Koordinaten ist (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec X
ist hier der Ortsvektor)
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = R \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(p) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \left[R + r \cdot \cos(p)\right] \cos(t) \\ \left[R + r \cdot \cos(p)\right] \sin(t) \\ r \cdot \sin(p) \end{pmatrix}
Volumen und Oberfläche
Die nach außen zeigende Flächennormale ist in kartesischen Koordinaten
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec n \ = \ \frac{d\vec X}{dt} \ \times \ \frac{d\vec X}{dp} \ = \ R \cdot r \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(p) \end{pmatrix} \ + \ r^2 \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \cdot \cos^2(p) \\ \sin(t) \cdot \cos^2(p) \\ \sin(p) \cdot \cos(p) \end{pmatrix}
Das Flächenelement ist
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): dA = |\vec n| \cdot dt \cdot dp = r \cdot \ (r \cdot \cos(p) + R) \cdot dt \cdot dp
Durch Integration erhält man die Oberfläche des Torus:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A_O = \int_{t=0}^{2\pi} \int_{p=0}^{2\pi} \mathrm dA = 4\pi^2 \cdot R \cdot r
Zur Berechnung des Volumens des Volltorus setzen wir statt r die Variable r' ein und lassen sie von 0 (zu Kreis entarteter Torus, kein Volumen) bis r variieren:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): V = \int_{r'=0}^r O(r') \mathrm dr' = 4\pi^2 \cdot R \ \int_{r'=0}^r r' \mathrm dr' = 2\pi^2 \cdot R \cdot r^2
Da der Torus ein Rotationskörper ist, kann man Volumen und Oberfläche auch ohne Integration mittels der Guldinschen Regel berechnen.
Algebraische Gleichung
Der Rotationstorus lässt sich auch durch die folgende Gleichung in den Koordinaten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x,y,z
beschreiben:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (R^2-r^2)^2+2R^2(z^2-x^2-y^2)-2r^2(x^2+y^2+z^2)+(x^2+y^2+z^2)^2=0.
Sie lässt sich beispielsweise aus der Gleichung
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left(\sqrt{x^2+y^2}-R \right)^2+z^2 = r^2
herleiten, die sich aus dem Satz des Pythagoras ergibt.
Videos
- Gluing a Torus (Video das zeigt wie ein Torus aus einem Rechteck durch verkleben konstruiert werden kann)
- The fundamental Group of a Torus is abelian (Video das zeigt warum die Fundamentalgruppe des Torus abelsch ist)
Torus berechnen
Flache Tori
Ein flacher Torus kann beschrieben werden durch ein Parallelogramm, dessen gegenüberliegende Seiten zusammengeklebt werden. Äquivalent dazu können flache Tori als topologische Faktorgruppen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb R^2/(\mathbb Z\cdot v+\mathbb Z\cdot w)
für zwei linear unabhängige Vektoren Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v,w\in\mathbb R^2 beschrieben werden. Im Spezialfall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v=(1,0) und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w=(0,1) erhält man den Quotienten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb R^2/\mathbb Z^2\cong(\mathbb R/\mathbb Z)^2
.
Diese Tori heißen flach, weil ihre Metrik lokal der Metrik der Ebene entspricht und ihre Krümmung deshalb verschwindet.
Elliptische Kurven über den komplexen Zahlen sind (mit einer translationsinvarianten Metrik) Beispiele für flache Tori.
Torustopologie
Im Gegensatz zur Oberfläche einer Kugel kann der Torus ohne Singularitäten auf einer ebenen, rechteckigen Fläche abgebildet werden.
Dabei wird die rechte Kante des Rechtecks oder Quadrates mit seiner linken Kante verheftet, und seine untere Kante wird mit seiner oberen Kante verheftet. Diese Topologie besitzen auch viele Computerspiele, zum Beispiel Pacman oder das Game of Life.
Volltori
Eingebettete Volltori lassen sich wie eingebettete Tori beschreiben, in der oben angegebenen Parameterdarstellung ist lediglich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r
durch einen Parameter Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \rho mit Wertebereich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0\leq\rho\leq r zu ersetzen. Topologisch ist ein Volltorus homöomorph zum kartesischen Produkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D^2\times S^1 der Kreisscheibe mit der Kreislinie.
Die 3-Sphäre, also der dreidimensionale Raum zusammen mit einem unendlich fernen Punkt, lässt sich als Vereinigung zweier Volltori, die sich lediglich in ihrer Oberfläche überlappen, darstellen. Man erhält sie beispielsweise aus der Hopf-Faserung, indem man den Basisraum Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S^2
als Vereinigung von Nord- und Südhalbkugel auffasst; über beiden Hälften ist die Faserung trivial. Die Zerlegung der 3-Sphäre in zwei Volltori wird beispielsweise bei der Konstruktion der Reeb-Blätterung ausgenutzt.
Höherdimensionale Tori
Beim 3-dimensionalen Torus oder 3-Torus handelt es sich um einen Quader oder Würfel, dessen 6 gegenüberliegende Flächen paarweise miteinander verheftet sind.
Beim 4-dimensionalen Torus oder 4-Torus handelt es sich um einen Tesserakt, dessen 8 gegenüber liegende Würfel paarweise miteinander verheftet sind.
Allgemein ist der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n -dimensionale Torus ein n-dimensionaler Würfel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [0,1]^n , dessen gegenüberliegende (n-1)-Hyperwürfel paarweise miteinander identifiziert sind. Man kann ihn auch als Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb R^n/\mathbb Z^n
darstellen.
Bild:WUERFEL6 Verheftungen des Tesseraktes zum 4-Torus.png
Das (n+1) - dimensionale "Volumen" eines n-Torus ist
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2 \cdot R \cdot r^n \frac{\pi^{\frac{n}{2}+1}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)} ,
die n - dimensionale "Oberfläche"
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2 \cdot n \cdot R \cdot r^{n-1} \frac{\pi^{\frac{n}{2}+1}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)} .
Siehe auch
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