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Als Tiefpass bezeichnet man in der Elektronik Filter, die Signalanteile mit Frequenzen unterhalb ihrer Grenzfrequenz annähernd ungeschwächt passieren lassen, Anteile mit hohen Frequenzen dagegen abschwächen.

Tiefpassfunktionen kommen auch z.B. in der Mechanik (Schwingungsdämpfung), Akustik (die Schallausbreitung tiefer Frequenzen ist verlustärmer), Optik (Kantenfilter), Hydraulik oder der Lichtausbreitung in der Atmosphäre vor, werden dort jedoch nicht so genannt.

Tiefpässe können wie andere Filterfunktionen auch, digital nachgebildet werden und spielen auch in der Computergrafik (Anti-Aliasing) eine Rolle.

Tiefpass-Filter werden anwendungsbezogen auch als Höhensperre, Höhenfilter, Treble-Cut-Filter, High-Cut-Filter, oder Rauschfilter bezeichnet. Diese Begriffe sind in der Tontechnik gebräuchlich; sie weisen darauf hin, dass ein solches Filter, z.B in einem Equalizer, die „Höhen“ des Signals bzw. das Rauschen, welches vorwiegend hohe Freuenzen enthält, abschwächt. (siehe auch: Entzerrung (Tontechnik)).

Man unterscheidet aktive und passive Tiefpässe, letztere bestehen aus Widerstand (R) bzw. Induktivität (L) und Kondensator (C) und werden dementsprechend als RC- bzw. LC-Filter bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis 1 Anwendung 2 Tiefpass 1. Ordnung 3 Herleitung der Formel 3.1 komplexe Umformung 3.2 Rücktransformation 3.3 Gleichung zur Darstellung im Bode-Diagramm 3.4 Umformung zur hier verwendeten Formel 4 Tiefpass 2. Ordnung 5 Tiefpass n-ter Ordnung 6 Emphasis und Deemphasis 7 Literatur 8 Siehe auch 9 Weblinks

Anwendung

RC-Tiefpässe werden häufig zur Klangbeeinflussung im Zusammenhang mit Audioverstärkern eingesetzt. Zur Einstellung der Durchlasskurve bzw. dem Frequenzgang kann der Widerstand veränderbar ausgeführt sein (es ist im Vergleich zum Kondensator einfacher, diesen zu ändern). Auch eine spannungsgesteuerte Beeinflussung, wie z.B. bei der Klangerzeugung in Synthesizern oder der Klangbeeinflussung mit Klangregelschaltkreisen ist möglich.

RC- und LC-Tiefpässe werden häufig vor Signaleingängen eingesetzt, um das Eintreten von Störungen zu verhindern.

LC-Tiefpässe finden sich an den Lastausgängen von Frequenzumrichtern, Klasse-D-Verstärkern, Schaltnetzteilen und in Netzfiltern.

Vor dem Basslautsprecher in Lautsprecherboxen befindet sich ein LC-Tiefpass.

Tiefpassfilter spielen bei der additiven Klangerzeugung im Elektrophon eine Rolle.

Tiefpass 1. Ordnung

Im einfachsten Fall besteht ein Tiefpass aus einer Widerstand-Kondensator-Kombination (RC-Glied). Ein solcher passiver Tiefpass 1. Ordnung sieht folgendermaßen aus:

Bild:Tiefpass.PNG

Von der Eingangsspannung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U_e\

erscheint am Ausgang gemäß der Spannungsteilerformel nur der Anteil Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U_a\ 

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U_a = U_e \cdot \frac{\vert X_C \vert}{\sqrt{X_C^2 + R^2}} = U_e \cdot \frac {1} {\sqrt{ 1 + (\omega CR)^2}}

, wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U_a\

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U_e\ 
die Beträge der Ein- und Ausgangsspannung bezeichnen.

Unter der Grenzfrequenz f_c (cutoff frequency) versteht man diejenige Frequenz, bei der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U_{a} = U_{e}/\sqrt{2}\approx U_{e} \cdot 0{,}707
(d. h. U_a gegenüber U_e um etwa 3 Dezibel abgeschwächt) ist. Die Grenzfrequenz berechnet sich zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_c=\frac{1}{2\,\pi\,R\cdot C}

Da X_C mit steigender Frequenz kleiner wird,

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_C = \frac{-1}{\omega\,C}

mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega = 2\,\pi\,f

,

geht das Teilungsverhältnis mit sinkender Frequenz gegen 1, für Gleichspannung (Frequenz f = 0) wird Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U_a = U_e\ .

In logarithmischer Darstellung nimmt die Dämpfung oberhalb der Grenzfrequenz um 6 dB/Oktave bzw. 20 dB/Dekade zu.

Mit Operationsverstärkern können aktive Tiefpässe realisiert werden. Diese haben den Vorteil, dass der Frequenzgang unabhängig von der am Ausgang angeschlossenen Last ist. Der Betrag der Ausgangsspannung dieses Tiefpasses ist

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U_a = -U_e \cdot \frac {R_2} {R_1} \cdot \frac{\vert X_C \vert}{\sqrt{X_C^2 + R_2^2}}\

.

Die Grenzfrequenz ist hier die Frequenz, bei der die Verstärkung auf das Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1/\sqrt{2} -fache der Gleichspannungsverstärkung (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R_2/R_1 ) abgefallen ist.

Herleitung der Formel

laut Spannungsteiler gilt: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U_a = U_e \cdot \frac{Z_c}{Z_c + R} \

mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Z_c \ 
= Widerstandsoperator bzw. Impedanz des Kondensators
 

da Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Z_c = \frac{1}{{j}{\omega}{C}}

(siehe hier), folgt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \frac {U_a}{U_e} =  \frac{\frac{1}{{j}{\omega}{C}}}{\frac{1}{{j}{\omega}{C}} + R}= \frac{1}{1 + {j}{\omega}{C}{R}} 

komplexe Umformung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z = x + jy = 1 + {j}{\omega}{C}{R} \Rightarrow z = re^{{j}{\varphi}} \Rightarrow {\varphi} = \textrm{arctan}\left(\frac yx\right) \Rightarrow r= \sqrt{x^2 + y^2}

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z = \sqrt{1 + ({\omega}{C}{R})^2} \cdot {e^{{j} \cdot {\textrm{arctan}({\omega}{C}{R})}}}

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac {U_a}{U_e} = \frac {1} {\sqrt{ 1 + (\omega CR)^2}} \cdot {e^{-{j} \cdot {\textrm{arctan}({\omega}{C}{R})}}}

diese Gleichung stellt die normierte Spannungs-Ortskurve dar (Bildbereich)

Rücktransformation

(nach den Transformationsregeln für harmonische Schwingungen)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a = {\hat a} \sin({\omega}t + {\varphi})

<---> Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \underline {a} = {\hat a} \cdot {e^{{j} \cdot ({{\omega}{t} + {\varphi}})}} 

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac {U_a}{U_e} = \frac {1} {\sqrt{ 1 + (\omega CR)^2}} \cdot \sin(- {arctan({\omega}{C}{R})})

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (t=0)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {\hat a}

= Amplitudengang Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  = \frac {1} {\sqrt{ 1  + (\omega CR)^2}}
--> Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H(\omega) = \frac {\hat U_a}{\hat U_e} =  \frac {1} {\sqrt{ 1  + (\omega CR)^2}}

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {\varphi}

= Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {\varphi}(\omega)
= Phasengang Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, = {arctan({-\omega}{C}{R})} 

Gleichung zur Darstellung im Bode-Diagramm

(Amplitudenverlauf Tiefpass 1. Ordnung)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H(dB) = 20 \lg \frac {1} {\sqrt{ 1 + (\omega CR)^2}}

Umformung zur hier verwendeten Formel

(mit Blindwiderstand)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac {1} {\sqrt{ 1 + (\omega CR)^2}}=\frac {1} {\sqrt{({\omega C})^2 ((\frac {1}{\omega C})^2 + R^2)}}=\frac {(\frac {1}{\omega C})} {\sqrt{ ((\frac {1}{\omega C})^2 + R^2)}}=\frac{\vert X_C \vert}{\sqrt{X_C^2 + R^2}}

Tiefpass 2. Ordnung

Einen Tiefpass zweiter Ordnung erhält man, indem man R durch eine Reihenschaltung von R mit einer Induktivität L ersetzt, da diese ihrerseits eine - und zwar zum Kondensator gegenläufige - Frequenzabhängigkeit besitzt. Dabei wird R so groß gewählt, dass keine oder nur eine geringe Resonanzüberhöhung des Frequenzgangs entsteht.

Die Übertragungsfunktion eines solchen Tiefpasses ist

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H(\omega)=\frac{j\, X_C}{R+j(X_L+X_C)}

mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_L=\omega \, L, \quad X_C=\frac{-1}{\omega \, C}\, , \quad \omega = 2\,\pi\,f

. Der Betrag der Übertragungsfunktion ist

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{U_a}{U_e} = \vert H(\omega) \vert = \frac{\vert X_C \vert}{\sqrt{R^2+(X_L+X_C)^2}}=\sqrt{\frac{1}{\omega^4 \, L^2 \, C^2 + \omega^2 \, R^2 \, C^2 - 2 \, \omega^2 \, L \, C + 1 }}

Damit fällt die Ausgangsspannung U_a oberhalb von f_G schneller (mit 12 dB/Oktave bzw. 40 dB/Dekade) ab, da nun nicht nur |X_C| kleiner sondern zugleich |X_L| größer wird.

In dieser Variante werden große Induktivitäten gebraucht (bis zu mehreren Henry). Diese haben schlechte elektrische Eigenschaften und besitzen recht große Dimensionen. Deshalb werden Tiefpässe zweiter und höherer Ordnung heutzutage üblicherweise durch Operationsverstärker-Schaltungen realisiert. Diese Filter werden als aktive Tiefpässe (bzw. aktive Filter) bezeichnet.

Tiefpass n-ter Ordnung

Durch das Hintereinanderschalten von mehreren Tiefpässen kann man dessen Ordnung erhöhen, beispielsweise bilden zwei hintereinandergeschaltete Tiefpässe 2. Ordnung einen Tiefpass 4. Ordnung. Die Dämpfung ändert sich hierbei oberhalb der Grenzfrequenz mit 4•20 dB/Dekade = 80 dB/Dekade, was einer Flankensteilheit von 24 dB/Oktave entspricht.

Zwei zusammengeschaltete Tiefpässe mit gleicher Grenzfrequenz ergeben aber keinen Tiefpass höherer Ordnung derselben Grenzfrequenz. Für die Dimensionierung eines Tiefpasses mit gewünschter Grenzfrequenz stehen spezielle Formeln und Tabellen zur Verfügung.

Zusätzlich tritt das Problem auf, dass ein Tiefpass der Kette vom Ausgangswiderstand des vorgeschaltenen und dem Eingangswiderstands des nachgeschalteten Tiefpasses beeinflusst wird. Diesem Effekt kann mit Impedanzwandlern entgegengewirkt werden.

Allgemein werden für ein Filter n-ter Ordnung n speichernde Elemente (also Kondensatoren oder Spulen) benötigt.

Die Dämpfung eines Tiefpasses n-ter Ordnung nimmt oberhalb der Grenzfrequenz mit n•20 dB/Dekade zu.

Emphasis und Deemphasis

Bei der statischen Frequenzgangveränderung, der Emphasis und der Deemphasis wird anstatt der Grenzfrequenz üblicherweise die Zeitkonstante angegeben [1].

Literatur

• Ulrich Tietze, Christoph Schenk und Eberhard Gamm, Halbleiter-Schaltungstechnik. Springer-Verlag, 2002, 12. Auflage, ISBN 3-540-42849-6

Siehe auch

• Hochpass
• Bandpass
• SAW-Filter
• Blindwiderstand von Kondensator und Spule
• PT1-Glied

Weblinks

• RL-Tiefpass
• Filter mit 6 dB pro Oktave unter der Lupe - pdf
• 20 dB pro Dekade. Was ist das? - pdf
• Rauschdämpfung mit Tiefpassfilter
• Das SC-(Tiefpass-)Filter, eine kurze Einführung mit praktischer Anwendung

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