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Teilbarkeit

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Teilbarkeit ist eine algebraische Eigenschaft von ganzen Zahlen. Eine ganze Zahl ist genau dann durch eine andere ganze Zahl teilbar, wenn bei der Division kein Rest verbleibt, also die „Geteilt-Rechnung“ aufgeht. So ist beispielsweise die Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 8

teilbar durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 4

, da Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 8 \div 4

genau Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2
ergibt, während dagegen die Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 9
nicht durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 4
(ganzzahlig) teilbar ist, weil die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 4
zweimal in die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 9
geht, aber als Rest Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1
übrig bleibt.

Inhaltsverzeichnis

1 Formale Definition
2 Eigenschaften der Teilbarkeit
3 Teilbarkeitsregeln im Dezimalsystem
4 Teilbarkeitsregeln in beliebigen Zahlensystemen
5 Verallgemeinerung des Teilbarkeitsbegriffs
- 5.1 Kommutative Ringe
6 Quellen
7 Siehe auch

Formale Definition

Eine ganze Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\neq 0

teilt eine ganze Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b
genau dann, wenn es mindestens eine ganze Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n
gibt, für die gilt: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\cdot n = b

. Man sagt dann auch „Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

ist Teiler von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b

“, „Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b

ist teilbar durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

“, „Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b

ist Vielfaches von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

“ und schreibt formal Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \mid b .

Einige Mathematiker erlauben, dass die Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

auch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0
sein kann. Das einzige Vielfache der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0
ist dann die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0
selbst.

Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

keiner der trivialen Teiler Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \pm 1, \pm b

, so nennt man Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

einen nichttrivialen Teiler von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b

. Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\neq b , dann ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

ein echter Teiler von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b

. Eine natürliche Zahl ungleich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1 , die nur die trivialen Teiler besitzt, nennt man Primzahl. Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

eine Primzahl, so heißt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a
Primteiler oder Primfaktor von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b

Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n

nennt man die „Teilermenge von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n

“. Die Halbordnung durch Teilbarkeit induziert auf ihr die Struktur eines Verbandes, man spricht deshalb auch vom „Teilerverband von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n “.

Die Anzahl der Teiler ist eine zahlentheoretische Funktion.

Eigenschaften der Teilbarkeit

Jede Zahl besitzt mindestens ihre trivialen Teiler, insbesondere sind Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -1
Teiler jeder ganzen Zahl.

Jede ganze Zahl (je nach Definition außer der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0

) ist ein Teiler der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0 .

Jede ganze Zahl (je nach Definition außer der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0

) teilt sich selbst.

Der kleinste positive Teiler Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \neq 1

einer ganzen Zahl ist ein Primteiler.

Seien Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c
ganze Zahlen.

Gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \mid b

, so gilt auch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -a \mid b

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \mid -b

. Man kann sich also bei der Untersuchung des Teilbarkeitsbegriffs auf natürliche Zahlen beschränken.

Gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \mid b

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b \mid c

, so folgt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \mid c .

Für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}

gilt: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\mid b\Leftrightarrow ka\mid kb

Gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \mid b

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c \mid d

, so gilt auch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): ac \mid bd .

Gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \mid b

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \mid c

, so gilt auch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \mid kb + lc

für alle ganzen Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): l

Gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \mid b

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b \mid a
so ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a = b
oder Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a = -b

Die natürlichen Zahlen sind mit der Teilbarkeitsrelation eine partiell geordnete Menge, sogar ein vollständiger distributiver Verband, dessen Verknüpfungen durch kgV und ggT gegeben sind. Das kleinste Element ist die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1

(Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1
teilt jedes andere), das größte ist die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0
(Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0
wird von jedem anderen geteilt).

Teilbarkeitsregeln im Dezimalsystem

Zweier-Potenzen

Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8).
Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist.
Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist.
Eine Zahl ist genau dann durch 16 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten vier Ziffern gebildet wird, durch 16 teilbar ist.
Allgemein ist eine Zahl genau dann durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2^n

teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n
Ziffern gebildet wird, durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2^n
teilbar ist.

Fünfer-Potenzen

Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5).
Eine Zahl ist genau dann durch 25 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 25 teilbar ist (00, 25, 50 oder 75).
Eine Zahl ist genau dann durch 125 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 125 teilbar ist.
Eine Zahl ist genau dann durch 625 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten vier Ziffern gebildet wird, durch 625 teilbar ist.
Allgemein ist eine Zahl genau dann durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 5^n

teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n
Ziffern gebildet wird, durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 5^n
teilbar ist.

Zehner-Potenzen

Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.
Eine Zahl ist genau dann durch 100 teilbar, wenn die Zahl mit 00 endet.
Eine Zahl ist genau dann durch 1000 teilbar, wenn die Zahl mit 000 endet.
Allgemein ist eine Zahl genau dann durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 10^n

teilbar, wenn ihre letzten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n
Ziffern jeweils 0 sind.

Produkte aus Zweier- und Fünfer-Potenzen

Eine Zahl ist genau dann durch 20 teilbar, wenn ihre vorletzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8) und ihre letzte Ziffer 0 ist.
Eine Zahl ist genau dann durch 40 teilbar, wenn die Zahl, die aus der drittletzten und vorletzten Ziffer gebildet wird, durch 4 teilbar ist und die letzte Ziffer eine 0 ist.
Eine Zahl ist genau dann durch 50 teilbar, wenn die Zahl auf 00 oder 50 endet.
Allgemein ist eine Zahl genau dann durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2^m5^n

teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten max(m,n) Ziffern gebildet wird, durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2^m5^n
teilbar ist.

Teilbarkeitsregeln basierend auf Quersummen

Repetunitzahlen

Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 11 teilbar ist.
Eine Zahl ist genau dann durch 111 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 111 teilbar ist.
Eine Zahl ist genau dann durch 1111 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 4er-Quersumme durch 1111 teilbar ist.
Allgemein ist eine Zahl genau dann durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1 \ldots 1 = \sum_{k=0}^n 10^k

teilbar, wenn ihre nichtalternierende n-Quersumme durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1....1
teilbar ist.

Zahlen der Form 9...9

Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Eine Zahl ist genau dann durch 99 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 99 teilbar ist.
Eine Zahl ist genau dann durch 999 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 999 teilbar ist.
Allgemein ist eine Zahl genau dann durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 9 \ldots 9 = 10^n - 1

teilbar, wenn ihre nichtalternierende n-Quersumme durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 10^n-1
teilbar ist.

Zahlen der Form 100...001

Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.
Eine Zahl ist genau dann durch 101 teilbar, wenn ihre alternierende 2er-Quersumme durch 101 teilbar ist.
Eine Zahl ist genau dann durch 1001 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 1001 teilbar ist.
Eine Zahl ist genau dann durch 10001 teilbar, wenn ihre alternierende 4er-Quersumme durch 10001 teilbar ist.
Allgemein ist eine Zahl genau dann durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 100 \ldots 001 = 10^n + 1

teilbar, wenn ihre alternierende n-Quersumme durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 10^n+1
teilbar ist.

Weitere Regeln

Eine Zahl ist durch 3 teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 6 teilbar genau dann, wenn sie durch 2 teilbar UND wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 7 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 7 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 11 teilbar genau dann, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 11 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 13 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 13 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 17 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 8er-Quersumme durch 17 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 19 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 9er-Quersumme durch 19 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 27 teilbar genau dann, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 27 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 37 teilbar genau dann, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 37 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 73 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 4er-Quersumme durch 73 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 77 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 77 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 91 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 91 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 111 teilbar genau dann, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 111 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 137 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 4er-Quersumme durch 137 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 143 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 143 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 1111 teilbar genau dann, wenn ihre nichtalternierende 4er-Quersumme durch 1111 teilbar ist.

Will man für eine Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x

eine Teilbarkeitsregel mit Quersummen aufstellen, so sucht man nach einem Vielfachen, das entweder Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 10^n-1
oder Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 10^n+1
für ein beliebiges Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n
ist. Ist das Vielfache Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 10^n-1

, dann gilt die Teilbarkeitsregel „Eine Zahl ist genau dann durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x

teilbar, wenn ihre nichtalternierende Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n

-Quersumme durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x

teilbar ist.“

Ist das Vielfache hingegen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 10^n+1 , dann gilt die Teilbarkeitsregel „Eine Zahl ist genau dann durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x

teilbar, wenn ihre alternierende Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n

-Quersumme durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x

teilbar ist.“

Betrachtet man beispielsweise die Zahl 7, so kann man durch Ausprobieren sehen, dass Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 7 \cdot 143 = 1001 = 10^3+1 . Daraus ergibt sich dann die obige Teilbarkeitsregel mit einer alternierenden 3er-Quersumme.

Entsprechende Faktoren existieren für alle Zahlen, die mit 10 teilerfremd sind. Allerdings ist die Prüfung zum Teil schon für relativ kleine Zahlen unpraktisch (siehe zum Beispiel die oben angegebenen Regeln für Teilbarkeit durch 17 und 19).

Teilbarkeit durch 19

Um die Teilbarkeit durch 19 zu überprüfen spaltet man eine Zahl in ihre letzte Ziffer Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b

und den Rest Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a
auf. Zum Beispiel 7904 in die Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a=790
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b=4

. Dann gilt folgender Satz

Eine Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 10a + b

 ist genau dann durch 19 teilbar, wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a + 2b
durch 19 teilbar ist.^[1]

Für 7904 muss man also überprüfen, ob Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 798 = 790 + 2 \cdot 4

durch 19 teilbar ist. Dazu kann man 798 wieder in 79 und 8 zerlegen. Da Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 79 + 2 \cdot 8 = 95 = 5 \cdot 19
durch 19 teilbar ist, sind auch 798 und 7904 durch 19 teilbar.

Teilbarkeitsregeln für beliebige Zahlen

Um die Teilbarkeit durch eine beliebige Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n

zu überprüfen verwendet man deren Primfaktorzerlegung. Man überprüft dann die Teilbarkeit durch die einzelnen Primzahlpotenzen dieser Zerlegung.

Beispielsweise ist eine Zahl genau dann durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 75 = 3 \cdot 5^2

teilbar, wenn sie durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 5^2 = 25
und 3 teilbar ist. Das heißt ihre letzten beiden Ziffern müssen 00, 25, 50 oder 75 sein und die Quersumme durch drei teilbar sein.

Teilbarkeitsregeln in beliebigen Zahlensystemen

Gegeben sei ein Zahlensystem zur Basis B.

Es lassen sich Teilbarkeitsregeln für Teiler T finden, die sich in eine teilerfremde Faktorenzerlegung möglichst kleiner Zahlen zerlegen lässt, die Teiler von Bⁿ, Bⁿ-1 oder Bⁿ+1 sind. n sollte dabei möglichst klein sein, für Kopfrechnen sind nur Werte bis maximal 4 sinnvoll.

B=2: Teiler 2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,21,31,32,33,63,64,65, ...
B=3: Teiler 2,82, ...
B=4: siehe B=2
B=5: Teiler 2,3,4,5,6,7,8,9,12,13,14,18,24,25,26,31,39,62,63,78,124,125,126,156,312,313,624,625,626,...

Die folgenden Teilbarkeitsregeln benutzen andere Stellenwertsysteme:

Eine Zahl ist durch eine Zahl der Form 2ⁿ-1 teilbar genau dann, wenn bei der Darstellung zur Basis 2ⁿ die Quersumme durch 2ⁿ-1 teilbar ist. Die Darstellung zur Basis 2ⁿ ergibt sich leicht aus der Darstellung der Zahl im Dualsystem. Dazu wird die Zahl rechts beginnend in Gruppen von n Stellen eingeteilt, der Dezimalwert der einzelnen Gruppen entspricht nun den Werten der Ziffern in der Darstellung zur Basis 2ⁿ. Zum Beispiel ist 91₁₀ durch 7₁₀ = 2³-1 teilbar, weil 91₁₀ = 001 011 011₂ = 133₈ im Oktalsystem (Basis 2³) die Quersumme 1₈+3₈+3₈ = 7₁₀ hat.
Eine Zahl ist durch 27 teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme zur Basis 1000 durch 27 teilbar ist. Diese Quersumme kann man erhalten, indem man ihre dezimale Darstellung rechts beginnend in Dreierblöcke einteilt und die Summe dieser Blöcke bildet.
Eine Zahl ist durch n teilbar genau dann, wenn ihre Darstellung als n-basische Zahl mit einer 0 endet.

Weitere Teilbarkeitseigenschaften findet man im Artikel Kongruenz (Zahlentheorie).

Verallgemeinerung des Teilbarkeitsbegriffs

Kommutative Ringe

Der Teilbarkeitsbegriff wird auch wesentlich allgemeiner in kommutativen Ringen betrachtet. Die Definition von Teilbarkeit in natürlichen und ganzen Zahlen wird hier direkt übernommen:

Es sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R

ein kommutativer Ring. Sind Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a, b \in R
Ringelemente, dann ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a
ein Teiler von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b

, falls ein weiteres Ringelement Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n \in R

mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \cdot n = b
existiert.

In Ringen teilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

genau dann Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b

, wenn das von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

erzeugte Hauptideal Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (a)
das von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (b)
erzeugte umfasst, formal: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \mid b \Leftrightarrow (a) \supseteq (b)

Ein einfaches Beispiel aus den ganzen Zahlen: Das von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2

erzeugte Hauptideal Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (2)
ist die Menge aller Vielfachen von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2

, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (4)

dementsprechend die Menge aller Vielfachen von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 4

. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (2) \supseteq (4) , also ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2

ein Teiler von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 4

Die fruchtbarsten Teilbarkeitseigenschaften erhält man in Integritätsringen, das sind nullteilerfreie kommutative unitäre Ringe.

In Strukturen, in denen auch eine allgemeine Division als Umkehr der Multiplikation möglich ist (Körper und Schiefkörper), wie beispielsweise in den reellen Zahlen, ist die Theorie der Teilbarkeit trivial: Jede Zahl (bzw. jedes Körper-Element) ist durch jede andere Zahl außer Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0

teilbar.

Quellen

Fritz Reinhradt, dtv -Atlas : Schulmathematik (Deutscher taschenbuch Verlag 2002)

Eric W. Weisstein, Divisibility tests auf Mathworld (engl.)

http://www.olympiade-mathematik.de/teilb.php

↑ Beweis der Teilbarkeit durch 19

Siehe auch

Modulo, Kongruenz, Teilersumme, Teilerfremdheit, gemeinsamer Teiler, größter gemeinsamer Teiler

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