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In der Analysis verwendet man Taylorreihen (auch Taylor-Entwicklung), um Funktionen in der Umgebung bestimmter Punkte durch Potenzreihen darzustellen. So kann ein komplizierter analytischer Ausdruck durch eine nach wenigen Gliedern abgebrochene Taylorreihe (oftmals gut) angenähert werden (nützlich z.B. in der Physik). Die Taylorreihe (oder Taylor-Reihe) einer Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f

in einem Punkt ist die Potenzreihenentwicklung der Funktion an diesem Punkt. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Brook Taylor.

Eng verwandt mit der Taylorreihe sind die Taylor-Polynome, die im Artikel Taylor-Formel beschrieben sind.

Definition

Sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I

ein reelles Intervall und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f: I \rightarrow \mathbb{R}
eine beliebig oft differenzierbare Funktion, dann heißt die im Folgenden dargestellte unendliche Reihe

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P_f(x)=f(a)+ \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n + \cdots

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n

die Taylor-Reihe von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f

mit Entwicklungspunkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  a 

, wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \in I .

Im Spezialfall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a = 0

wird die Taylor-Reihe manchmal auch Maclaurin-Reihe genannt.

Hierbei bezeichnet Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f^{(n)}(a)

die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  n 

-te Ableitung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f

an der Stelle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  a 
(mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  f^{(0)}:=f 

) und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n

die Fakultät von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  n 

.

Den Ausdruck Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T_1(x) := f(a)+ {f'(a)} (x-a)

(also die Summe der ersten beiden Terme der Taylorreihe) nennt man auch "Linearisierung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  f 
an der Stelle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  a 

". Allgemeiner nennt man die Partialsumme

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T_n(x) := f(a)+ \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n,

die für festes Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

ein Polynom in der Variablen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  x 
darstellt, das Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  n 

-te Taylorpolynom, und die Taylor-Formel macht eine Aussage über ihre Abweichung (das Restglied) von der Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f . Aufgrund der Einfachheit der Polynomdarstellung sowie der guten Anwendbarkeit der Restgliedformel sind Taylorpolynome unverzichtbares Hilfsmittel der Analysis und der Ingenieurwissenschaften geworden.

Eigenschaften

Die Taylorreihe ist eine Potenzreihe in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x . Allgemein muss sie weder einen positiven Konvergenzradius haben, noch muss sie in ihrem Konvergenzbereich mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f

übereinstimmen: Die Gleichung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n

gilt nicht unbedingt für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x

aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I

, sondern nur dort, wo die Potenzreihe konvergiert und denselben Wert wie f(x) hat. Den Namen "Taylorreihe" trägt sie aber unabhängig von ihrer Konvergenz.

Die Taylorreihe konvergiert genau für diejenigen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x

aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  I 
gegen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  f(x) 

, für die das Restglied Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R_k(x)=f(x)-T_{k}(x)

gegen 0 konvergiert.

Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f

selbst eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  a 

, dann stimmt die Taylorreihe mit dieser Potenzreihe überein.

Die Taylorpolynome sind Partialsummen der Taylorreihe, und wenn die Taylorreihe gegen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f

konvergiert, dann sind höhere Taylorpolynome automatisch bessere Näherungen, da ihre Restglieder kleiner sind. Für analytische Funktionen gibt es um jeden Wert von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  x 
stets eine Umgebung, in der diese Bedingung erfüllt ist.

Beispiele

Eine Funktion, die sehr schlecht durch die Taylorreihe approximiert wird

Die Taylorreihe einer Funktion konvergiert nicht immer gegen die Funktion. Im folgenden Beispiel stimmt die Taylorreihe auf keiner Umgebung um den Entwicklungspunkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x=0

mit der Ausgangsfunktion überein:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{falls } x\le 0\\ \mathrm{e}^{-1/x} & \mbox{falls } x>0 \end{cases}

Als reelle Funktion ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f

unendlich oft stetig differenzierbar, wobei die Ableitungen in jedem Punkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  x \leq 0 
(insbesondere für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  x =0 

) ausnahmslos 0 sind. Die Taylorreihe um den Nullpunkt ist also die Nullfunktion, und stimmt in keiner Umgebung der 0 mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f

überein. Daher ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  f 
nicht analytisch. Die Taylorreihe um einen Punkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  a >0 
konvergiert zwischen 0 und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  2a 
gegen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  f 

. Auch mit einer Laurentreihe lässt sich diese Funktion nicht approximieren, weil die Laurentreihe, die die Funktion für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x >0

korrekt wiedergibt, für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  x <0 
nicht konstant 0 ergibt.

Taylorreihen mit Konvergenzradius größer Null

Viele bekannte Funktionen lassen sich durch Potenzreihen darstellen, die dann gleichzeitig Taylorreihen der Funktion sind. Zum Beispiel gilt für alle reellen Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x

Exponentialfunktionen und Logarithmen

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

für alle reellen (oder komplexen) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  x 

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \log(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}

für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -1 < x \le +1

Diese Formel ist jedoch für praktische Rechnungen ungeeignet. Schneller konvergiert diese Reihe:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{2k+1}

für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -1 < x < +1

Wählt man Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x := \frac{y-1}{y+1}

für ein Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  y>0 

, dann erhält man damit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \log(y) .

Trigonometrische Funktionen

Für den Entwicklungspunkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a=0

gilt (Maclaurin-Reihe):

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ alle\ } x

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ alle\ } x

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tan(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n)!}x^{2n-1} \quad\mathrm{ f\ddot ur }\ \left| x \right| < \frac{\pi}{2}

, dabei ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): B_{2n}

die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2n

-te Bernoulli-Zahl.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sec(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!}x^{2n} \quad \mathrm{ f\ddot{u}r\ } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}

, dabei ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E_{2n}

die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2n

-te Eulersche Zahl.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ } \left| x \right| < 1

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ } \left| x \right| \leq 1

Einige häufig verwendete Näherungen

In den Natur- und Ingenieurwissenschaften werden manchmal folgende Reihenentwicklungen verwendet (ohne Beweis):

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt{1+x} \approx 1+\frac{x}{2} \quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ } x << 1

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{1}{1-x} \approx 1+x \quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ } x << 1

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{1}{1+x} \approx 1-x \quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ } x << 1

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ln(1+x) \approx x \quad\mathrm{ f\ddot{u}r\ } x << 1

Siehe auch: Erste Näherung

Verallgemeinerte Taylorreihe

Sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U \subset \mathbb{R}^n

ein Gebiet und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f:U\mapsto\mathbb{R}
eine Funktion, die unendlich oft stetig differenzierbar ist. Dann heißt die Reihe

die Taylorreihe von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f

im Punkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

.

Anmerkungen

Bei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{d}^{(k)} f(a)

handelt es sich um das Differential Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k

-ter Ordnung einer mindestens Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k -fach stetig differenzierbaren Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f

im Punkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

es ist also eine symmetrische, k-fach lineare Abbildung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): d^{(k)} f(a): \mathbb{R}^n \times \cdots \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}

, die durch

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{d}^{(k)} f(a) (v_1, \ldots, v_k) := \frac{\partial^k f}{\partial v_1 \cdots \partial v_k} (a)

für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_i \in \mathbb{R}^n

definiert ist. Da Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k

-fach stetig differenzierbar ist, folgt die Symmetrie des Differentials Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k -ter Ordnung direkt aus dem Satz von Schwarz.

Da es sich bei dem Differential um eine Funktion mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k

Argumenten handelt, ist folgende Abkürzung angenehm:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{d}^{(k)} f(a) x^k := \mathrm{d}^{(k)} f(a) ( \begin{matrix}\underbrace{x, \ldots, x}\\ {}^{\rm k-mal} \\[-4.5ex] \end{matrix} )

Außerdem gilt die folgende Beziehung:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\partial f}{\partial v_i} (a)= \mathrm{d}f(a) v_i = \sum_{k=1}^n \partial_k f (a) \cdot v_i^{(k)}

für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_i = (v_i^{(1)}, \ldots, v_i^{(n)})^t \in \mathbb{R}^n

Daraus ergibt sich für das Differential

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{d}^{(k)}f(a) x^k = \sum_{i_1=1}^n \cdots \sum_{i_k = 1}^n \partial_{i_1}\cdots \partial_{i_k} f(a) x_{i_1} \cdots x_{i_k}

.

Weblinks

• Visualisierung der Taylorreihen-Entwicklung - Der Grad der Näherung und der Ableitpunkt kann dabei selbst bestimmt werden. Die Stammfunktion ist eine Sinuskurve.
• Taylor Series auf MathWorld (englisch)