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Tangentialebene
Aus Fotonexus.
Die Tangentialebene einer gekrümmten Fläche ist diejenige Ebene, die im betrachteten Punkt die Fläche berührt. Sie steht senkrecht auf dem Normalenvektor der Fläche.
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Charakterisierungen
Es sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M\subset\R^3
eine Fläche und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p\in M ein Punkt.
- Die Tangentialebene Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T_pM
ist Ebene durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p
, die von den Geschwindigkeitsvektoren von durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p
verlaufenden Wegen aufgespannt wird: Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma\colon(-1,1)\to M ein Weg mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma(0)=p
, so ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p + \dot\gamma(0)
ein Punkt der Tangentialebene.
- Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M
in Parameterform gegeben, ist also Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U\subseteq\R^2 eine offene Teilmenge und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\colon U\to\R^3 eine Abbildung mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(p_0)=p
, so dass Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M
in der Nähe von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p durch das Bild von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f beschrieben wird, und hat die Totalableitung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p_0 den maximalen Rang 2, so wird die Ebene vom Bild der Totalableitung aufgespannt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T_pM=p + \operatorname{im} Df(p_0).
- Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M
durch eine Gleichung gegeben, ist also Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M lokal bei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p die Lösungsmenge von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g(x)=0 für eine differenzierbare Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g\colon\R^3\to\R
, und ist der Gradient Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \operatorname{grad} g(p)\ne0 , so ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \operatorname{grad} g(p)
der Normalenvektor der Fläche, die Ebene wird also durch
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \langle x - p, \operatorname{grad}g(p)\rangle=0
- beschrieben.
Beispiel
Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p=(x_0,y_0,z_0)
ein Punkt auf dem Ellipsoid
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,
so ist die Tangentialebene in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p
gegeben durch
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{2x_0(x-x_0)}{a^2}+\frac{2y_0(y-y_0)}{b^2}+\frac{2z_0(z-z_0)}{c^2}=0.
Eigenschaften
Ist die Gauß-Krümmung der Fläche
- positiv, so liegt die Fläche lokal auf einer Seite der Tangentialebene;
- negativ, so wird die Fläche von der Tangentialebene geschnitten.
Anwendungen
Die Tangentialebene ist eine lokale Approximation an die Fläche, die eine einfachere Struktur besitzt. Dies wird beispielsweise genutzt für:
- Abbildungen (Projektionen von Flächen auf eine Ebene, wie es etwa für Karten notwendig ist)
- vereinfachte Berechnung ebener Koordinaten in der Vermessungskunde
- Korrektur von Höhenmessungen wegen der Erdkrümmung
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