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Tangente
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| Bild:Disambig-dark.svg | Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen finden sich unter Tangente (Begriffsklärung). |
Eine Tangente (von lateinisch tangere: berühren) ist in der Geometrie eine Gerade, die eine gegebene Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Ein Beispiel ist eine Schiene, die von einem Rad in einem einzigen Punkt berührt wird. Tangente und Kurve habe im Berührungspunkt die gleiche Richtung. Die Tangente ist in diesem Punkt die beste lineare Annäherung für die Kurve.
Besonders einfach sind die Verhältnisse beim Kreis: Alle Geraden können bezüglich eines Kreises unterschieden werden in Sekanten, Tangenten und Passanten – je nachdem, ob sie mit dem Kreis zwei Punkte, einen oder gar keinen Punkt gemeinsam haben. Die Kreistangente trifft den Kreis also in genau einem Punkt. Sie steht dort senkrecht auf dem zu diesem Punkt gehörenden Berührungsradius.
Auch im allgemeinen Fall steht die Tangente senkrecht auf dem zum Berührungspunkt gehörenden Radius des Krümmungskreises, sofern dieser existiert. Sie kann aber mit der Ausgangskurve noch weitere Punkte gemeinsam haben.
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Tangente in der Analysis
Ist die gegebene Kurve der Graph einer reellen Funktion f, so ist die Tangente im Punkt P(x0 | f(x0)) die Gerade, die dort die gleiche Steigung hat wie die Kurve. Die Steigung der Tangente ist also gleich der ersten Ableitung von f an der Stelle x0,f' (x0). Die Gleichung der Tangenten ist somit:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y \, = \, f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0)
.
(siehe auch: Punkt-Steigungs-Formel).
Die Tangente entspricht der besten linearen Näherung für die Funktion f an der Stelle x0:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x) \, \approx \, f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0)
für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x \, \approx \, x_0
Differentialgeometrie
Eine Kurve im Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}^n
sei durch eine auf dem reellen Intervall [a,b] definierte Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma:\,[a,b]\to\mathbb{R}^n gegeben. Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma (t_0)\, (mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t_0 \in [a,b]
) ein Kurvenpunkt, so nennt man die erste Ableitung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma
an der Stelle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t_0 (also Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma\,'(t_0)\,
) einen Tangentialvektor. Eine Kurventangente in diesem Punkt ist eine Gerade durch den Punkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma (t_0) , die gleiche Richtung wie der Tangentialvektor hat.
Voraussetzungen
Eine Tangente kann in der Regel nur existieren, wenn die zugrunde liegende Funktion (oder die zugrunde liegenden Funktionen) differenzierbar ist/sind.
Ein einfaches Gegenbeispiel:
Die Betragsfunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\mapsto|x|
ist an der Stelle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x=0 nicht differenzierbar. Der zugehörige Funktionsgraph hat an dieser Stelle einen "Knick", sodass es hier sinnlos ist, von der Tangente zu sprechen.
An einer Knickstelle existiert aber möglicherweise eine rechtsseitige und/oder eine linksseitige Ableitung; es kann also eine Rechts-Tangente und/oder eine Links-Tangente geben.
Ist eine Funktion an einer Stelle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_0
ihres Definitionsbereichs zwar nicht differenzierbar, strebt der Wert der Ableitungsfunktion für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x \to x_0 jedoch gegen Unendlich, so hat der Funktionsgraph an dieser Stelle eine senkrechte Tangente (eine Parallele zur y-Achse als Tangente).
Siehe auch
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