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Tangens und Kotangens sind trigonometrische Funktionen und spielen in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle.

Schreibweise:

Tangens:	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x) = \tan x \,
Kotangens:	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x) = \cot x \,

Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2.1 Definitionsbereich 2.2 Wertebereich 2.3 Periodizität 2.4 Monotonie 2.5 Symmetrien 2.6 Nullstellen 2.7 Polstellen 2.8 Wendepunkte 3 Wichtige Funktionswerte 4 Umkehrfunktion 5 Reihenentwicklung 6 Ableitung 7 Integral 8 Beziehungen zu anderen Funktionen 9 Additionstheoreme 10 Rationale Parametrisierung 11 Anwendung: Tangens und Steigungswinkel 12 Differentialgleichung 13 Quellen 14 Siehe auch 15 Weblinks

Definition

Die Bezeichnung „Tangens“ stammt von dem in Flensburg geborenen Thomas Fink (1561-1656), der sie 1583 einführte. „Kotangens“ entwickelte sich aus complementi tangens, also Tangens des Komplementärwinkels. ^[1]

Die Wahl des Namen Tangens erklärt sich unmittelbar durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge eines Tangentenabschnitts:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \overline{DT} = \tan b \qquad\qquad \overline{EK} = \cot b

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines Winkels Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha

das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete und der Kotangens  das Längenverhältnis von Ankathete zu Gegenkathete:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tan \alpha=\frac{l_{\rm GK}}{l_{\rm AK}}=\frac{a}{b} \qquad\qquad \cot \alpha=\frac{l_{\rm AK}}{l_{\rm GK}} = \frac{b}{a}

Daraus folgt unmittelbar:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tan\alpha=\frac{1}{\cot\alpha}

sowie

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tan\alpha = \cot\beta = \cot(90^\circ-\alpha).

Eigenschaften

Definitionsbereich

Tangens:	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -\infty < x < +\infty\,;\,x\ne\left(\frac{1}{2}+ n\right)\cdot\pi;n \in \mathbb{Z}
Kotangens:	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -\infty < x < +\infty\, ; \, x \ne n \cdot \pi\, ;\, n \in \mathbb{Z}

Wertebereich

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -\infty < f(x) \,< +\infty

Periodizität

Periodenlänge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \pi

: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x+\pi) = f(x) \,

Monotonie

Tangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton steigend.

Kotangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton fallend.

Symmetrien

Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tan(-x) = -\tan x \qquad\qquad \cot(-x) = -\cot x

Nullstellen

Tangens:	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x = n \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z}
Kotangens:	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x = \left(\frac{1}{2} + n\right) \cdot \pi\, ;\, n \in \mathbb{Z}

Polstellen

Tangens:	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x = \left(\frac{1}{2} + n\right) \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z}
Kotangens:	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x = n \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z}

Wendepunkte

Tangens:	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x = n \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z}
Kotangens:	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x = \left(\frac{1}{2} + n\right) \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z}

Weder die Tangensfunktion noch die Kotangensfunktion haben Asymptoten, Sprungstellen oder Extrema

Wichtige Funktionswerte

Tangens	Kotangens	Ausdruck	Wert
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tan0^\circ	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cot90^\circ	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0\,	0
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tan30^\circ	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cot60^\circ	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac1{\sqrt3}	≈ 0,577
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tan45^\circ	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cot45^\circ	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1\,	1
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tan60^\circ	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cot30^\circ	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt3	≈ 1,732
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tan90^\circ	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cot0^\circ	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \infty\,	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \infty\,

Umkehrfunktion

Durch passende Einschränkung der Definitionsbereiche erhält man eine Bijektion

Tangens

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tan:\,(-\pi/2,\,\pi/2)\to\R

. Ihre Umkehrfunktion

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \operatorname{arctan}:\R\to\,(-\pi/2,\,\pi/2)

heißt Arkustangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

Kotangens

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cot:\,(0,\,\pi)\to\R

. Ihre Umkehrfunktion

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \operatorname{arccot}:\R\to\,(0,\,\pi)

heißt Arkuskotangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

Reihenentwicklung

Tangens:

Die Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x = 0

(MacLaurinsche Reihe) lautet

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tan x=x+\frac13 x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+\cdots \;=\; \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} \cdot \left(2^{2n} -1\right)}{(2n)!} \cdot B_n \cdot x^{2n - 1}

Dabei sind mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): B_n

die Bernoulli-Zahlen bezeichnet.

Kotangens:

Der Anfang der Laurent-Reihe lautet:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cot x = \frac{1}{x} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \frac{1}{4725}x^7 - \dots

für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0 < |x| < \pi 

Die so genannte Partialbruchzerlegung des Kotangens lautet

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \pi\cot\pi x=\frac1x+\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1{x+k}+\frac1{x-k}\right)=\frac1x+\sum_{k=1}^\infty\frac{2x}{x^2-k^2}

für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\in\mathbb C\setminus\mathbb Z

.

Ableitung

Bei der Ableitung von Tangens und Kotangens tauchen die ansonsten eher wenig gebräuchlichen trigonometrischen Funktionen Sekans und Kosekans auf:

Tangens

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\tan x = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x

Kotangens

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\cot x = -1 - \cot^2 x = -\frac1{\sin^2x}=- \csc^2 x

Integral

Tangens

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int \tan (ax)\ \mathrm dx = - \frac{\ln|\cos (ax)|}{a}

Kotangens

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int \cot (ax)\ \mathrm dx = \frac{\ln|\sin (ax)|}{a}

Beziehungen zu anderen Funktionen

Tangens

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tan x = {\sin x \over\cos x}

Kotangens

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cot x = {\cos x \over\sin x}

Additionstheoreme

Die Additionstheoreme für Tangens und Kotangens lauten

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tan(x \pm y)=\frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x\tan y} \qquad \cot(x \pm y)=\frac{\cot x\cot y \mp 1}{\cot y \pm \cot x}

Eine symmetrische Formulierung lautet: Genau dann gilt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tan x+\tan y+\tan z=\tan x \tan y \tan z \,

bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cot x \cot y+\cot y \cot z+\cot z \cot x=1 \,

wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x+y+z

ein Vielfaches von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \pi
ist.

Rationale Parametrisierung

Der Tangens des halben Winkels kann dazu verwendet werden, verschiedene trigonometrische Funktionen durch rationale Ausdrücke zu beschreiben: Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t=\tan\frac\alpha2 , so ist

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2},\quad\cos\alpha=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad\tan\alpha=\frac{2t}{1-t^2}.

Insbesondere ist

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \R\to\R^2,\quad t\mapsto\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)

eine Parametrisierung des Einheitskreises mit Ausnahme des Punktes Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (-1,0)

(der dem Parameter Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t=\infty
entspricht). Einem Parameterwert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t
entspricht dabei der zweite Schnittpunkt der Verbindungsgeraden von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (-1,0)
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (1,2t)
mit dem Einheitskreis.

Anwendung: Tangens und Steigungswinkel

Der Tangens liefert eine wichtige Kennzahl für lineare Funktionen: Jede lineare Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f:\R\to\R,\;x\mapsto mx + c

besitzt als Graphen eine Gerade. Der Tangens des Winkels zwischen der Geraden und der x-Achse entspricht genau der Steigung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m
der Geraden, d. h. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m = \tan\,\alpha

Bei negativer Steigung (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m<0 ) gilt: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m = -\tan\alpha

Die als Steigung einer Straße angegebene Prozentzahl ist der Tangens des Steigungswinkels.

Differentialgleichung

Der Tangens ist eine Lösung der Riccatischen Differentialgleichung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w' = 1+w^2

.

Faktorisiert man die rechte Seite, so erhält man

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w' = 1+w^2= (w+\mathrm i)(w-\mathrm i)\,

mit der imaginären Einheit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm i . Der Tangens (als komplexe Funktion) hat die Picardschen Ausnahmewerte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm i , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -\mathrm i

Diese Werte werden niemals angenommen, da die konstanten Funktionen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm i

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -\mathrm i
Lösungen der Differentialgleichung sind und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz ausschließt, dass zwei Lösungen durch denselben Punkt gehen.

Quellen

Siehe auch

• Umrechnungstabelle (Trigonometrie)
• Trigonometrische Funktion

Weblinks

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