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Superpositionsprinzip
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Mathematik
In der Mathematik bedeutet das Superpositionsprinzip, dass eine Linearkombination von Lösungen einer homogenen linearen Gleichung wieder eine Lösung dieser Gleichung ist.
Beispielsweise kann man bei einer homogenen linearen Differentialgleichung Lösungen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_1, x_2, \ldots x_n
durch Summation zu einer neuen Lösung zusammensetzen:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x(t) = \sum_{i=1}^{n}{\alpha_i x_i(t)}
mit beliebigen Koeffizienten. Dies wird als Superposition oder Superpositionsprinzip bezeichnet.
Das gleiche gilt für Lösungen von homogenen partiellen Differentialgleichungen.
Physik
Mechanik
Wirken auf einen Punkt (oder einen starren Körper) mehrere Kräfte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{F_1},\vec{F_2}, \ldots, \vec{F_n} , so addieren sich diese vektoriell zu einer resultierenden Kraft Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \ldots + \vec{F_n}
auf. Dies nennt man Superpositions- oder auch Überlagerungsprinzip der Kräfte.
Weiterhin gilt das obige mathematische Superpositionsprinzip für lineare Kräfte, also insbesondere harmonische Oszillatoren.
Wellen
Das Superpositionsprinzip bedeutet hier, dass Wellen sich überlagern können, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. Die resultierende Welle kann für jeden Ort als Funktion (meist als Summe) der verursachenden Wellen angegeben werden.
Im Bereich der linearen Optik gilt dieses Prinzip weitgehend. Hier überlagern sich elektromagnetische Wellen, ohne sich zu beeinflussen: Eine Welle breitet sich in einem Medium in immer gleicher Weise aus – unabhängig von eventuell vorhandenen weiteren Wellen.
Lineare Überlagerung ist auch bei kleinen Wasserwellen zu beobachten: Einzelne Wellenzüge überlagern sich in einem Wechselwirkungsgebiet linear und laufen nach Verlassen dieses Gebietes in ihrer ursprünglichen Form weiter.
Im Bereich der nichtlinearen Optik hingegen kommt es zu Energieübertragungen zwischen den wechselwirkenden Primärwellenzügen. Daraus resultieren Amplituden- und Frequenzänderungen sowie eine Neuausbildung von sekundären elektromagnetischen Wellen. Die resultierende Welle ist hier nicht mehr einfach aus der Superposition der verursachenden Wellen angebbar.
Analog geht bei großen Wasserwellen die Superpositionierbarkeit der Elementarwellen verloren. Die resultierende Amplitude wird durch Überlagerung so groß, dass die Welle „bricht“.
Quantentheorie
In der Quantentheorie gilt das Superpositionsprinzip sehr allgemein und exakt für abgeschlossene Systeme (die per Definition nicht mit ihrer „Umgebung“ verschränkt sind). Das bedeutet erstens, dass sich zwei beliebige Zustände (zu einer bestimmten Zeit) mit beliebigen komplexen Koeffizienten superponieren lassen und dadurch einen neuen möglichen Zustand definieren, und zweitens, dass sie bereits eine neue Lösung der Schrödingergleichung bilden, wenn sie einzeln als solche Lösungen in der Zeit fortgesetzt werden. Beispielsweise bildet die Superposition aller möglichen Positionen eines "Massenpunktes" eine Wellenfunktion im Raum, wobei verschiedene Wellenfunktionen sich wiederum superponieren lassen. Jedoch sind quantenmechanische Superpositionen allgemein im Konfigurationsraum definiert (also nichtlokal).
Elektrotechnik
In der Elektrotechnik bildet das Superpositionsprinzip die Grundlage aller numerischen Methoden, die bei der Netzwerkanalyse zur Simulation von linearen und nichtlinearen Schaltungen im Zeit- und Frequenzbereich Anwendung finden. Entsprechend der Kirchhoffschen Regeln bildet die Summe aller in einen Knoten einfließenden Ströme den herausfließenden Strom, die Summe aller Teilspannungen die Gesamtspannung über einem Zweig (zu einem Zeitpunkt).
- Beispiel Überlagerungsanalyse (auch bekannt als Superpositionsprinzip oder Überlagerungssatz)
In einem linearen Netzwerk aus Bauelementen und Quellen lassen sich Spannungen und Ströme durch Überlagerung von Teillösungen berechnen. Hierzu werden alle Quellen bis auf eine zu Null gesetzt. Die Leitung wird bei Spannungsquellen kurzgeschlossen, bei Stromquellen aufgetrennt. Jetzt kann für jede einzelne Quelle die vollständige Schaltung berechnet werden. Anschließend werden alle Teilergebnisse unter Beachtung der Vorzeichen addiert. Dann erhält man alle Spannungen und Ströme des realen Netzwerks.
Anwendungsbeispiel
Das Superpositionsprinzip wird beispielsweise angewandt zur Berechnung von transienten Erwärmungsvorgängen. Man kann die Temperatur beispielsweise eines Leistungshalbleiters zu einem gewissen Zeitpunkt t bestimmen in Abhängigkeit von Leistungsimpulsen über die Zeit.
Im nebenstehenden Beispiel wirkt vom Zeitpunkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t=0
bis Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t=t_1 eine Leistung.
Die Temperatur steigt nach einer e-Funktion an: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta T = k \cdot (1 - e ^{-{t \over \tau}})
(rote Kurve)
Um nun die Temperatur zu einem Zeitpunkt zu ermitteln, lässt man den Leistungspuls fortwirken und setzt beim Erwärmungsende einen gleich großen negativen Leistungsimpuls an.
Daraus resultiert eine "negative Erwärmungskurve" (grüne Kurve).
Die Summe der beiden Erwärmungskurven ergibt die Abkühlfunktion (blaue Kurve).
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