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Strahlensatz
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Der Strahlensatz (man spricht auch vom ersten, zweiten und dritten Strahlensatz) oder Vierstreckensatz gehört zu den wichtigsten Aussagen der Elementargeometrie. Er befasst sich mit Streckenverhältnissen und ermöglicht es bei vielen geometrischen Überlegungen, unbekannte Streckenlängen auszurechnen.
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Formulierung der Strahlensätze
Wenn zwei durch einen Punkt (Scheitel) verlaufende Geraden (Strahlen) von zwei parallelen Geraden geschnitten werden, die nicht durch den Scheitel gehen, dann gelten die folgenden Aussagen:
- Je zwei Abschnitte auf dem einen Strahl verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.
- Die ausgeschnittenen Strecken auf den Parallelen verhalten sich wie die vom Scheitel aus gemessenen Strecken auf den Strahlen.
- Je zwei Abschnitte auf den Parallelen, die einander entsprechen, stehen in gleichem Verhältnis zueinander. Dieser Strahlensatz setzt im Gegensatz zu den ersten beiden Strahlensätzen mindestens drei Strahlen voraus. Er ist hier nicht skizziert.
Der erste Strahlensatz bezieht sich also auf die Verhältnisse von Strahlenabschnitten, der zweite auf die Verhältnisse von Strahlen- und Parallelenabschnitten und der dritte auf die Verhältnisse von Parallelenabschnitten.
Die beiden Skizzen berücksichtigen, dass der Kreuzungspunkt Z außerhalb oder innerhalb der beiden parallelen Geraden liegen kann. Im ersten Fall spricht man gelegentlich von einer "V-Figur" (linke Skizze), im zweiten von einer "X-Figur" (rechte Skizze).
Bemerkung (Umkehrung des Strahlensatzes): Ist Eigenschaft 1 erfüllt, so kann man auf parallele Geraden schließen. Ist dagegen Eigenschaft 2 gegeben, so ist ein entsprechender Schluss auf Parallelität nicht möglich.
Verwandte geometrische Konzepte
Der Strahlensatz steht in engem Zusammenhang mit dem Begriff der geometrischen Ähnlichkeit. Die Dreiecke ZAB und ZA'B' sind in beiden Skizzen zueinander ähnlich. Dies bedeutet insbesondere, dass entsprechende Seitenverhältnisse in diesen Dreiecken übereinstimmen - eine Aussage, aus der sich unmittelbar der Strahlensatz ergibt.
- Siehe auch: Ähnlichkeitssätze
Ein weiteres Konzept, das mit dem Strahlensatz zusammenhängt, ist das der zentrischen Streckung (einer speziellen geometrischen Abbildung). In der linken Skizze bildet beispielsweise die zentrische Streckung mit Zentrum Z und Streckungsfaktor (Abbildungsfaktor) 1,5 die Punkte A und B auf die Punkte A' bzw. B' ab. Entsprechendes gilt für die rechte Skizze; hier ist der Streckungsfaktor gleich -0,5.
Eine ähnlich enge Beziehung besteht zur Vektorrechnung. Die Rechenregel
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda (\vec{a} + \vec{b}) = \lambda \vec{a} + \lambda \vec{b}
für zwei Vektoren Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{a} , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{b}
und einem reellen Skalar Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda ist nur eine andere Ausdrucksweise für den Strahlensatz.
Einfaches Anwendungsbeispiel
Ein einfaches Beispiel für die Anwendung des Strahlensatzes soll auf den antiken griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet zurückgehen. Dieser soll mit Hilfe eines Stabes durch Messung der Schattenlänge die Höhe der ägyptischen Cheopspyramide ermittelt haben.
Diese Berechnung könnte - abgesehen von der Längeneinheit und der Schreibweise - etwa folgendermaßen ausgesehen haben:
Höhe des Stabes: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \overline{AB} = 1{,}63\,\rm m
Schattenlänge des Stabes: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \overline{ZA} = 2{,}00\,\rm m
Abstand des Stabes von der Pyramide: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \overline{AC} = 63\,\rm m
Seitenlänge der Pyramide: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \overline{CD} = 230\,\rm m
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \overline{A'B'} : \overline{AB} = \overline{ZA'} : \overline{ZA}
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \overline{A'B'} = \frac{\overline{AB} \cdot \overline{ZA'}}{\overline{ZA}} = \frac{1{,}63\,\rm m \cdot (2{,}00\,m + 63\,m + 230\,m : 2)}{2{,}00\,\rm m} = \frac{1{,}63\,\rm m \cdot 180\,m}{2{,}00\,\rm m} = \underline{146,7\,\rm m}
Beweis
Satz 1
Durch gleichlange Höhen (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): CA\parallel BD
)gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): | \triangle CDA|=| \triangle CBA| und damit auch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): | \triangle SCB|=| \triangle SDA|
. Somit gilt dann aber auch:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{| \triangle SCA|}{|\triangle CDA|}=\frac{|\triangle SCA|}{|\triangle CBA|}
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{| \triangle SCA|}{|\triangle SDA|}=\frac{|\triangle SCA|}{|\triangle SCB|}
Das Anwenden der Standardformel zur Flächenberechnung von Dreiecken (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{g \cdot h}{2} ) liefert dann
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{|SC||AF|}{|CD||AF|}=\frac{|SA||EC|}{|AB||EC|}
und :Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{|SC||AF|}{|SD||AF|}=\frac{|SA||EC|}{|SB||EC|}
Jetzt kürzt man die gemeinsamen Faktoren: (a) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{|SC|}{|CD|}=\frac{|SA|}{|AB|}
and (b) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{|SC|}{|SD|}=\frac{|SA|}{|SB|}
.
Jetzt verwendet man (b) um Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |SA|
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |SC| in (a) zu ersetzen:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\frac{|SA||SD|}{|SB|}}{|CD|}=\frac{\frac{|SB||SC|}{|SD|}}{|AB|}
Unter erneuter Verwendung von (b) vereinfacht sich dies dann schließlich zu: (c) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{|SD|}{|CD|}=\frac{|SB|}{|AB|}
Satz 2
Konstruiere eine zusätzliche Parallele zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): SD
durch A. Diese Parallele schneidet Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): BD
in G. Somit gilt nach Konstruktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |AC|=|DG|
und wegen Satz 1 gilt weiterhin :Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{|SA|}{|SB|}=\frac{|DG|}{|BD|}
und daher auch
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{|SA|}{|SB|}=\frac{|AC|}{|BD|}
Umkehrung von Satz 1
Angenommen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): AC
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): BD
wären nicht parallel. Dann schneidet die Parallel zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): AC
durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): SA
in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): B_{0}\neq B
(*). Da nach Voraussetzung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |SB|:|SA|=|SD|:|SC|
gilt, ergibt sich
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |SB|=\frac{|SD||SA|}{|SC|}
andererseit gilt nach dem 2-ten Strahlensatz auch
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |SB_{0}|=\frac{|SD||SA|}{|SC|}
. Dies bedeutet, dass Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): B
and Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): B_{0}
beide auf dem Strahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): SA
liegen und den gleichen Abstand von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S
haben, damit sind die beiden Punkte jedoch identisch, also Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): B=B_{0}
. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass es sich um 2 verschiedene Punkte handelt (Bedingung (*)). Also führt die Annahme der Nichtparallelität zu einem Widerspruch und kann daher nicht richtig sein oder anders ausgedruckt es muss Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): CA\parallel BD
gelten.
Satz 3
Kann durch mehrfache Anwendung von Satz 1 hergeleitet werden.
Siehe auch
- Daumensprung, Schätzen der Entfernung nach dem Strahlensatz mittels des eigenen Daumens
Weblinks
- http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/vierstreckensatz/vierstreckaufg1.html
- Variable Übungen mit positivem Streckungsfaktor (java+Javascript)
- http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/vierstreckensatz/vierstreckaufg2.html
- Variable Übungen mit negativem Streckungsfaktor (java+Javascript)
MsAcrew
Literatur
Schupp, H.: Elementargeometrie, UTB Schöningh (1977)
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