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Das snelliussche Brechungsgesetz (auch snelliussches Gesetz) besagt, dass eine Welle (z.B. ein Lichtstrahl) ihre Richtung ändert - man sagt gebrochen wird - wenn sie von einem transparenten Medium in ein anderes transparentes Medium mit einer anderen Phasengeschwindigkeit übergeht. Das Gesetz gilt für alle Wellenarten. Es besagt nur, in welche Richtung die Welle abgelenkt wird, nicht aber, wie viel von der Welle an dem Übergang zwischen den beiden Medien transmittiert bzw. reflektiert wird. Im Fall der Totalreflexion ist das reelle Brechungsgesetz ungültig. Es muss dann komplex gerechnet werden. Wie viel Licht transmittiert bzw. reflektiert wird, ergibt sich aus den fresnelschen Formeln.

Das Brechungsgesetz scheint zum ersten Mal im 10. Jahrhundert von Ibn Sahl erwähnt worden zu sein. 1601 wurde es von Thomas Harriot wiederentdeckt, aber nicht veröffentlicht. 1618 wurde es von dem Holländer Willebrord van Roijen Snell und fast gleichzeitig von René Descartes beschrieben.

Mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda_1 = c_1 t

als der zusätzlichen Wegstrecke im Medium 1, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda_2 = c_2 t
als der zusätzlichen Wegstrecke im Medium 2 (c1,2: Ausbreitungsgeschwindigkeiten im jeweiligen Medium; t: zusätzliche Laufzeit) und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \delta_1
bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \delta_2
dem Ein- bzw. Ausfallswinkel gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin(\delta_1) = \frac{\lambda_1}{AB'}

bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \sin(\delta_2) = \frac{\lambda_2}{AB'} 

Die Ein- bzw. Ausfallswinkel werden zum Lot auf die Oberfläche angegeben. Da hier aber nicht die Richtung des Lichtes, sondern die der Wellenfront eingezeichnet ist, die senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung steht, sind die Winkel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \delta_1

bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \delta_2
von der Wellenfront zur Oberfläche eingezeichnet.

Weiterhin gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Re(n_1) = \frac{c_0}{c_1}

bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Re(n_2) = \frac{c_0}{c_2}

, d.h. der Realteil der i.a. komplexen Brechzahl n gibt das Verhältnis der Phasengeschwindigkeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c_0

von Licht im Vakuum zur Phasengeschwindigkeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c_n
von Licht in Materie an.

Daraus ergibt sich dann

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\sin(\delta_1)}{\sin(\delta_2)} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{n_2}{n_1}

wobei n₁ und n₂ die Brechzahlen der jeweiligen Medien sind. Die Brechzahl hat keine Einheit und ist somit eine Zahl. Diese hängt sowohl von der Art des Mediums als auch von der Wellenlänge des Lichts ab. Der sich aus dieser Abhängigkeit ergebende Effekt, dass durch den Übergang von einem optischen Medium ins andere Lichtstrahlen unterschiedlicher Wellenlänge voneinander getrennt werden, wird in der Optik als Dispersion bezeichnet.

Somit erhält man folgenden grafischen Zusammenhang zwischen den Winkeln Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \delta_1

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \delta_2

Bild:Brechungsgesetz-Winkel.png

Herleitung

Das Snelliussche Brechungsgesetz ist eine Folgerung des Fermatschen Prinzips. Der Beweis berechnet den optischen Weg (OW) zwischen zwei Punkten A (im Medium 1) und B (im Medium 2) in Abhängigkeit der Lage von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_1

und setzt dann die Ableitung auf 0 (Forderung des Fermatschen Prinzips).

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): OW(A \rightarrow B) = n_1l_1 + n_2l_2

Nach dem Satz des Pythagoras folgt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = n_1\sqrt{{h_1}^2 + {x_1}^2} + n_2\sqrt{{h_2}^2 + (d-{x_1})^2}

Setzt man dessen Ableitung nach Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_1

auf 0, erhält man

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{dOW}{d{x_1}} = n_1 \frac{{x_1}}{\sqrt{{h_1}^2 + {x_1}^2}} - n_2\frac{d-{x_1}}{\sqrt{{h_2}^2 + (d-{x_1})^2}}

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = n_1 \frac{{x_1}}{l_1} - n_2\frac{d-{x_1}}{l_2} = n_1\sin(\delta_1) -n_2\sin(\delta_2) = 0

und daher Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n_1\sin(\delta_1) = n_2\sin(\delta_2)

was der oben genannten Formulierung entspricht.

Eine anschauliche Deutung ist die folgende: Das Licht wählt den Weg, auf dem es am schnellsten von Punkt A zum Punkt B kommt. Ein Beispiel hierfür ist etwa der Rettungsschwimmer, der sich am Strand schneller fortbewegen kann als im Wasser. Welchen Weg muss er von A aus nehmen, um möglichst schnell bei dem in Not geratenen Schwimmer B anzukommen? Es ist nicht der direkte Weg von A nach B, da er dann sehr weit im langsameren Medium (Wasser) unterwegs ist. Es ist auch nicht der Weg, bei dem der Rettungsschwimmer senkrecht zum Strand in Richtung B schwimmt. Der schnellste Weg liegt dazwischen.