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Sinussatz
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| Sinussatz | |
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| Anwendungsgebiet | Der Sinussatz ist anwendbar, wenn zwei Winkel und eine Seite oder ein Winkel und zwei Seiten vorhanden sind. |
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In der Trigonometrie stellt der Sinussatz eine Beziehung zwischen den Winkeln eines allgemeinen Dreiecks und den gegenüberliegenden Seiten her. Er wurde von Al-Battani gefunden und bewiesen.
Sind a, b und c die Seiten eines Dreiecks, α, β und γ die jeweils gegenüber liegenden Winkel, r der Radius und u der Umfang des Umkreises, dann gilt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2r = \frac{u}{\pi}
Häufig wird der Sinussatz auch als Verhältnisgleichung formuliert:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma = a : b : c \!
Wenn mit Hilfe des Sinussatzes Winkel im Dreieck errechnet werden sollen, muss darauf geachtet werden, dass es im Intervall [0°;180°] im Allgemeinen zwei verschiedene Winkel mit demselben Sinuswert gibt; diese Zweideutigkeit entspricht der des Kongruenzsatzes SSW.
Zum Zusammenhang mit den Kongruenzsätzen und zur Systematik der Dreiecksberechnung siehe den Artikel zum Kosinussatz.
In der sphärischen Trigonometrie gibt es einen entsprechenden Satz, der ebenfalls als Sinussatz bezeichnet wird.
Inhaltsverzeichnis |
Beweis
Die eingezeichnete Höhe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): h_c
zerlegt das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke, in denen man die Sinuswerte von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \beta jeweils als Quotient von Gegenkathete und Hypotenuse ausdrücken kann:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin \alpha = \frac{h_c}{b}
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin \beta = \frac{h_c}{a}
Auflösen nach Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): h_c
ergibt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): h_c = b \cdot \sin \alpha
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): h_c = a \cdot \sin \beta
Durch Gleichsetzen erhält man demnach
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha
.
Dividiert man nun durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin \alpha \cdot \sin \beta , so erhält man den ersten Teil der Behauptung:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}
Die Gleichheit mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{c}{\sin \gamma}
ergibt sich natürlich ganz entsprechend durch Benutzung der Höhe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): h_a oder Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): h_b
. Um auch noch die Übereinstimmung mit 2 r zu zeigen, die streng genommen nicht zum Sinussatz gehört, benötigt man die bekannten Sätze über Umfangswinkel (Peripheriewinkel) und Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel).
Anwendungsbeispiel
In einem Dreieck ABC sind folgende Seiten- und Winkelgrößen bekannt (Bezeichnungen wie üblich):
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a = 5,4\,\rm cm
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b = 3,8\,\rm cm
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha = 73^\circ
Gesucht sind die Größen der restlichen Seiten und Winkel.
Als erstes verwendet man den Sinussatz zur Berechnung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \beta .
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin \beta = \frac{b \cdot\sin \alpha}{a} = \frac{3{,}8\,{\rm cm} \cdot \sin 73^\circ}{5{,}4\,{\rm cm}} = 0{,}67
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \beta = \underline{42^\circ}
Eigentlich gibt es noch einen zweiten Winkel mit demselben Sinuswert,
nämlich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \beta' = 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ
. Dieser
kommt als Lösung aber nicht in Betracht, da sonst die
Winkelsumme des Dreiecks die vorgeschriebenen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 180^\circ
überschreiten würde.
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma
erhält man nun mit Hilfe der Winkelsumme:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 73^\circ - 42^\circ = \underline{65^\circ}
Die Seitenlänge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c
soll wieder mit dem Sinussatz
ermittelt werden. (Auch der Kosinussatz wäre hier möglich.)
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c = \frac{a \cdot \sin \gamma}{\sin \alpha} = \frac{5{,}4\,{\rm cm} \cdot \sin 65^\circ}{\sin 73^\circ} = \underline{5{,}118\,\rm cm}
Siehe auch
Weblinks
- http://www.arndt-bruenner.de/mathe/10/sinussatz.htm
- http://www.fonline.de/rs-ebs/geometrie/geo40.htm
- JavaApplet zum Thema
- http://www.ies.co.jp/math/java/trig/seigen/seigen.html
- Beweis (auf Englisch)
- http://www.gymmelk.ac.at/nus/GeoGebra/SinusSatz.html
- Animation mit GeoGebra
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