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Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion sind mathematische Funktionen aus der Klasse der trigonometrischen Funktionen. Bild:Winkelfunktionen Einheitskreis.svg

Herkunft des Namens

Die Bezeichnung „Sinus“ leitet sich von dem lateinischen Wort „sinus“ ab, was soviel heißt wie „Bogen“. Das Wort ist mit „jiva“ aus dem Sanskrit verwandt, wo es etwa „Bogensehne“ bedeutet. Im Arabischen entwickelte sich das Wort zu „jiba“: „Tasche“ oder „Kleiderfalte“. Im Arabischen wird das Wort „jiba“ (جيب) gleich geschrieben, wie „jaib“ (جيب), was „Rasen“ bedeutet.

Die Bezeichnung „Kosinus“ entwickelte sich aus complementi sinus, also Sinus des Komplementärwinkels. Diese Bezeichnung wurde zuerst in den umfangreichen trigonometrischen Tabellen verwendet, die von Georg von Peuerbach und seinem Schüler Regiomontanus erstellt wurden ^[1].

Definitionen

Definition am rechtwinkeligen Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt:

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Gegenkathete (Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt) zur Hypotenuse (Seite gegenüber dem rechten Winkel).

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mbox{Sinus eines Winkels} = \frac{\mbox{Gegenkathete des Winkels}}{\mbox{Hypotenuse}}

Der Kosinus ist das Verhältnis der Ankathete (das ist jene Kathete, die einen Schenkel des Winkels bildet) zur Hypotenuse.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mbox{Kosinus eines Winkels} = \frac{\mbox{Ankathete des Winkels}}{\mbox{Hypotenuse}}

Bei den für Dreiecke üblichen Bezeichnungen der Größen (Hypotenuse c) gilt hier:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin (\alpha) = \frac{a}{c}

   und    Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \cos (\alpha) = \frac{b}{c}

Da aus geometrischen Gründen die Hypotenuse die längste Seite ist (denn sie liegt dem größten Winkel, also dem rechten Winkel, gegenüber), gelten auch stets Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin\left(\alpha\right)\leq 1

 und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos\left(\alpha\right)\leq 1

.

Betrachtet man statt α den gegenüberliegenden Winkel β, so wechseln beide Katheten ihre Rolle, die Ankathete von α ist die Gegenkathete von β und die Gegenkathete von α ist die Ankathete von β, es gilt also

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin (\beta) = \frac{b}{c}

und

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos (\beta) = \frac{a}{c}

Da im rechtwinkeligen Dreieck Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha + \beta = 90^\circ

gilt, folgt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos (\alpha) = \sin(90^\circ - \alpha) = \sin(\beta)

und

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin (\alpha) = \cos(90^\circ - \alpha) = \cos(\beta)

.

Auf dieser Beziehung beruht auch die Bezeichnung Kosinus, nämlich der Sinus des Komplementärwinkels.

Aus dem Satz des Pythagoras folgt die Beziehung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin^2 \left(\alpha\right) + \cos^2 \left(\alpha\right) = 1

.

Im rechtwinkligen Dreieck lassen sich Sinus und Kosinus nur für Winkel zwischen 0 und 90 Grad definieren.
Für beliebige Winkel ist der Sinus als y-Koordinate und der Kosinus als x-Koordinate eines Punktes am Einheitskreis (s.u.) definiert.
Mittels Potenzreihendarstellung lässt sich die Definition auf komplexe Argumente verallgemeinern.

Definition mit Einheitskreis

Da im rechtwinkeligen Dreieck der Winkel zwischen Hypotenuse und Kathete Werte von 0 bis 90 Grad annehmen kann, sind Sinus und Kosinus zunächst nur für solche Winkel definiert. Für eine allgemeine Definition betrachtet man einen Punkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P

mit den Koordinaten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (x,y)
auf dem Einheitskreis, also Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x^2+y^2=1

. Der Ortsvektor von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P

schließt mit der x-Achse einen Winkel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha
ein.

Der Koordinatenursprung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (0,0) , der Punkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (x,0)

auf der x-Achse und der Punkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(x,y)
bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Hypotenuse beträgt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt{x^2+y^2}=1

. Die Ankathete des Winkels Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha

ist der Vektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (x,0)
der Länge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x

, es gilt also

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos(\alpha)=x\!

Die Gegenkathete des Winkels Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha

ist der Vektor von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (x,0)
nach Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (x,y)

, also der Vektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (0,y)

der Länge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y

, es gilt also

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin(\alpha)=y\!

Die y-Koordinate eines Punktes im ersten Quadranten des Einheitskreises entspricht also dem Sinus des Winkels zwischen seinem Ortsvektor und der x-Achse, die x-Koordinate dem Kosinus des Winkels. Setzt man diese Definition in den anderen Quadranten fort, so lassen sich Sinus und Kosinus für beliebige Winkel definieren.

Für negative Winkel betrachte man die Beziehung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin(-\alpha)= -\sin(\alpha)\!

und

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos(-\alpha)= \cos(\alpha)\!

, aus der sich Sinus und Kosinus für den vierten Quadranten, also Winkel zwischen -90 und 0 Grad berechnen lassen. Der Sinus ist also eine ungerade Funktion, der Kosinus eine gerade.

Für Winkel größer 90 Grad betrachte man die Beziehung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin(90^\circ+\alpha)=\sin(90^\circ-\alpha)

und

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos(90^\circ+\alpha)=-\cos(90^\circ-\alpha)

, aus der sich Sinus und Kosinus für den zweiten und dritten Quadranten, also Winkel zwischen 90 und 270 Grad berechnen lassen.

Für Winkel kleiner -90 Grad und größer 270 Grad ergeben sich Sinus und Kosinus aus den Beziehungen

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin(\alpha)= \sin(\alpha+360^\circ)

und

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos(\alpha)= \cos(\alpha+360^\circ)

Sinus und Kosinus sind also periodische Funktionen mit Periode 360 Grad.

Wertebereich und spezielle Funktionswerte

Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin(\alpha)=\cos\left(90^\circ-\alpha\right)=\cos\left(\alpha-90^\circ\right)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin^2\left(\alpha\right)+\cos^2(\alpha)=1

(Satz des Pythagoras)

Insbesondere folgt daraus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |{\sin\alpha}|\leq 1

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |{\cos\alpha}|\leq 1

. Diese Ungleichung gilt aber nur für reelle Argumente Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha

für die über die Potenzreihe definierten komplexen Argumente können Sinus und Kosinus beliebige Werte annehmen.

Verlauf des Sinus in den vier Quadranten

In den vier Quadranten ist der Verlauf der Sinusfunktion folgendermaßen:

Für Argumente außerhalb dieses Bereiches erhält man den Wert des Sinus daraus, dass der Sinus periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π rad) ist, d. h. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin(\alpha + 360^\circ) = \sin(\alpha) . Außerdem gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin(\alpha + 180^\circ) = -\sin(\alpha) .

Verlauf des Kosinus in den vier Quadranten

Der Kosinus ist ein um 90° (bzw. π/2 rad) phasenverschobener Sinus, es gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos(\alpha)=\sin(\alpha+90^\circ) .

In den vier Quadranten ist der Verlauf der Kosinusfunktion daher folgendermaßen:

Für Argumente außerhalb dieses Bereiches erhält man den Wert des Kosinus daraus, dass der Kosinus so wie der Sinus periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π rad) ist, d. h. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos(\alpha + 360^\circ) = \cos(\alpha) . Außerdem gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos(\alpha + 180^\circ) = -\cos(\alpha) .

Wichtige Funktionswerte

 Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0\pi

 Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\pi}{6}

 Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\pi}{4}

 Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\pi}{3}

 Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\pi}{2}

 Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \pi

 Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{3\pi}{2}

Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte

Über die Berechnung der fünften Einheitswurzeln mittels einer quadratischen Gleichung erhält man Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin(18^\circ)=\cos(72^\circ)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}

Mit Hilfe der Additionstheoreme kann man viele weitere solche Ausdrücke berechnen:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin(15^\circ)

erhält man aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\sqrt{3}}{2}=\cos(30^\circ)=\cos^2(15^\circ)-\sin^2(15^\circ)=1-2\sin^2(15^\circ)

.

Aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin(18^\circ)

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin(15^\circ)
lassen sich dann z. B. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin(3^\circ)
und dann rekursiv auch alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin(k \cdot 3^\circ)

, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k\in\Z\;

berechnen.

Generell gilt, dass Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin\alpha\;

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos\alpha\;
zumindest dann explizit mit den Grundrechenarten und Quadratwurzeln darstellbar sind, wenn der Winkel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha\;
mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, insbesondere also wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha\;
von der Gestalt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha=k\frac{360^\circ}{2^np_1\dots p_r}
ist, wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k\in\Z\;

, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n\in\N_0\;

und die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p_i\;
für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): i=1,\dots,r\;
Fermatsche Primzahlen sind [1]. In obigem Beispiel von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha=3^\circ
ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k=1\;
und der Nenner gleich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 120=2^3\cdot 3\cdot 5.

Umkehrfunktion

Da sich zu einem gegebenen Wert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin\alpha\in [-1,1]

ein passender Winkel im ersten oder vierten Quadranten und zu einem gegebenen Wert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos\alpha\in [-1,1]
ein passender Winkel im ersten oder zweiten Quadranten konstruieren lässt, folgt aus diesen geometrischen Überlegungen, dass die Funktionen

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin x: [-90^\circ, 90^\circ]\to[-1,1]

und

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos x: [0^\circ, 180^\circ]\to[-1,1]

Umkehrfunktionen besitzen. Diese Umkehrfunktionen

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \arcsin x: [-1,1] \to [-90^\circ, 90^\circ]

bzw.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \arccos x: [-1,1] \to [0^\circ, 180^\circ]

werden Arkussinus bzw. Arkuskosinus genannt. Der Name rührt daher, dass sich deren Wert nicht nur als Winkel, sondern auch als Länge eines Kreisbogens (Arcus bedeutet Bogen) interpretieren lässt.

In der Analysis ist die Angabe des Wertebereichs im Bogenmaß richtig, da die Winkelfunktionen dort für das Bogenmaß definiert sind:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \arcsin x: [-1,1] \to \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]

bzw.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \arccos x: [-1,1] \to \left[0, \pi \right]

Eine andere Interpretation des Wertes als doppelter Flächeninhalt des dazugehörigen Kreissektors am Einheitskreis ist ebenfalls möglich; diese Interpretation ist insbesondere für die Analogie zwischen Kreis- und Hyperbelfunktionen nützlich.

Für die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}

, denn für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y=\arccos(x)\!

gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y\in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin(y)=\sqrt{1-\cos^2 y}

.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}

, denn für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y=\arcsin(x)\!

gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y\in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos(y)=\sqrt{1-\sin^2 y}

.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}

, denn für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y=\arctan(x)\!

gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y\in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin(y)=\frac{\tan y}{\sqrt{1+\tan^2y}}

.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}

, denn für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y=\arctan(x)\!

gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y\in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[
und  Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos(y)=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2y}}

.

Stetigkeit

Da die Sinusfunktion

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin x: [- \pi/2, \pi/2]\to[-1,1]

und die Kosinusfunktion

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos x: [0^\circ, \pi]\to[-1,1]

monoton, surjektiv und invertierbar sind, folgt, dass sie in diesen Quadranten stetig sind. Da die Funktionen in den anderen Quadranten lediglich gespiegelt bzw. periodisch fortgesetzt sind, sind die Sinus- und Kosinusfunktion für alle reellen Argumente stetig.

Zusammenhang mit dem Skalarprodukt

Der Kosinus steht in enger Beziehung mit dem Skalarprodukt zweier Vektoren Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{a}=\left( a_1, a_2, \dots, a_n \right)

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{b}=\left( b_1, b_2, \dots,  b_n \right)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos \angle (\vec{a},\vec{b})= {a_1}{b_1}+{a_2}{b_2}+\dots + {a_n}{b_n}

, das Skalarprodukt ist also die Länge der Vektoren multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels. In endlichdimensionalen Räumen lässt sich diese Beziehung aus dem Kosinussatz ableiten. In abstrakten Vektorräumen mit innerem Produkt wird über diese Beziehung der Winkel zwischen Vektoren definiert.

Zusammenhang mit dem Kreuzprodukt

Der Sinus steht in enger Beziehung mit dem Kreuzprodukt zweier dreidimensionaler Vektoren Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{a}=\left( a_1, a_2, a_3 \right)

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{b}=\left( b_1, b_2, b_3 \right)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{a}\times \vec{b} = \vec{c}

wobei

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{c}=\left( c_1, c_2, c_3 \right)

mit

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |\vec{c}|=|\vec{a}| \cdot | \vec{b} | \cdot \sin \angle (\vec{a},\vec{b})

Additionstheoreme

Aus dem Skalarprodukt lassen sich die sogenannten Additionstheoreme herleiten:

Die Vektoren Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{a}=\left(\cos\alpha, \sin\alpha\right)

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{b}_1=\left(\cos\beta, \sin\beta\right)
der Länge 1 schließen den Winkel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha-\beta
ein; mit dem Skalarprodukt folgt also

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos\left(\alpha-\beta\right)= \vec{a}\cdot \vec{b}_1 = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta

. Die Vektoren Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{a}=\left(\cos\alpha, \sin\alpha\right)

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{b}_2=\left(\cos\beta, -\sin\beta\right)
der Länge 1 schließen den Winkel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha+\beta
ein; mit dem Skalarprodukt folgt also

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos\left(\alpha+\beta\right)= \vec{a}\cdot \vec{b}_2 = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta

.

Aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin\alpha=\cos\left(\alpha-\pi/2\right)

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin\left(\alpha-\pi/2\right) = \cos\left(\alpha- \pi\right) = -\cos\alpha
erhält man die Additionstheoreme für den Sinus:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin\left(\alpha+\beta\right) = \cos\left(\alpha-\pi/2+\beta\right) =

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \cos\left(\alpha-\pi/2\right) \cos\beta - \sin\left(\alpha-\pi/2\right) \sin\beta = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha\sin\beta

sowie

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin\left(\alpha-\beta\right) = \cos\left(\alpha-\pi/2-\beta\right) =

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \cos\left(\alpha-\pi/2\right) \cos\beta + \sin\left(\alpha-\pi/2\right) \sin\beta = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha\sin\beta

.

Setzt man in diesen Beziehungen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u=\alpha+\beta

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v=\alpha-\beta
(beziehungsweise Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha=\frac{u+v}{2}
undParser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \beta=\frac{u-v}{2}

), so erhält man durch Addition bzw. Subtraktion je zweier Additionstheoreme

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos u + \cos v = 2\cos\frac{u+v}{2} \cos\frac{u-v}{2}

,

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos u - \cos v = -2\sin\frac{u+v}{2} \sin\frac{u-v}{2}

,

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin u + \sin v = 2\sin\frac{u+v}{2} \cos\frac{u-v}{2}

und

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin u - \sin v = 2\cos\frac{u+v}{2} \sin\frac{u-v}{2}

.

Weitere Identitäten finden sich in der Formelsammlung Trigonometrie.

Ableitung (Differentiation) und Integration von Sinus und Kosinus

Differentiation

Wird Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\;

im Bogenmaß angegeben, so gilt für die Ableitung der Sinusfunktion [1]

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin^\prime(x) = \cos(x)

Aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)

und der Kettenregel erhält man die Ableitung des Kosinus:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos^\prime(x) = -\sin(x)

und daraus die zweite Ableitung des Sinus:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin^{\prime\prime}(x)=-\sin(x)

.

Die dritte Ableitung ist daher

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin^{\prime\prime\prime}(x)=-\cos(x)

.

und die vierte Ableitung ist wieder die Sinusfunktion selbst:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin^{\prime\prime\prime\prime}(x)=\sin(x)

.

In weiterer Folge erhält man daraus für die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 4n+k -te Ableitung des Sinus

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin^{(4n+k)}(x)=\left\{\begin{matrix} \sin (x) & \mbox{wenn } k=0 \\ \cos (x) & \mbox{wenn } k=1 \\ -\sin (x) & \mbox{wenn } k=2 \\ -\cos(x) & \mbox{wenn } k=3 \end{matrix}\right.

und für die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 4n+k -te Ableitung des Kosinus

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos^{(4n+k)}(x)=\left\{\begin{matrix} \cos (x) & \mbox{wenn } k=0 \\ -\sin (x) & \mbox{wenn } k=1 \\ -\cos (x) & \mbox{wenn } k=2 \\ \sin(x) & \mbox{wenn } k=3 \end{matrix}\right.

Wird der Winkel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha

in Grad gemessen, so kommt nach der Kettenregel bei jeder Ableitung ein Faktor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\pi}{180}
dazu, also beispielsweise Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin^{\prime}(\alpha)=\frac{\pi}{180}\cos(\alpha)

. Um diese störenden Faktoren zu vermeiden, wird in der Analysis der Winkel ausschließlich im Bogenmaß angegeben; die Angabe von Winkel in Grad ist allerdings anschaulicher und daher bei geometrischen Überlegungen zweckmäßiger.

Integration

Aus den Ergebnissen über die Ableitung ergibt sich unmittelbar die Stammfunktion von Sinus und Kosinus im Bogenmaß:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int\sin(\alpha)\,{\rm d}\alpha=-\cos(\alpha)+C

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int\cos(\alpha)\,{\rm d}\alpha=\sin(\alpha)+C

Analytische Definition

Obige Definitionen des Sinus und des Kosinus beinhalten geometrische Überlegungen. Geometrie wird häufig naiv-intuitiv und nicht auf axiomatischer Basis behandelt. Sinus und Kosinus spielen aber auch eine wichtige Rolle in der Analysis, in der ein viel formalerer Zugang zweckmäßig ist. Daher sind die geometrischen Definitionen für die Analysis nicht ausreichend, und es wird eine analytische Definition benötigt. Auf Basis einer streng formalisierten Geometrie lässt sich zwar die Äquivalenz der geometrischen und der analytischen Definition zeigen; auf Basis einer naiven Geometrie sind die geometrischen Überlegungen allerdings lediglich als Heuristik zur Begründung der analytischen Definition zu betrachten.

Die analytische Definition erlaubt zusätzlich die Erweiterung auf komplexe Argumente. Sinus und Kosinus als komplexwertige Funktion aufgefasst sind holomorph und surjektiv.

Für die analytische Definition gibt es in der Literatur keinen einheitlichen Zugang; es sind mehrere äquivalente Varianten verbreitet. In jeder dieser Varianten ist der Winkel im Bogenmaß; bei Angabe des Winkels in Grad würden störende Faktoren dazukommen.

Definition als Taylorreihe

Mit Hilfe der aus geometrischen Überlegungen berechneten Ableitung des Sinus gilt für die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 4n+k -te Ableitung an der Stelle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin^{(4n+k)}(0)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mbox{wenn } k=0 \\ 1 & \mbox{wenn } k=1 \\ 0 & \mbox{wenn } k=2 \\ -1 & \mbox{wenn } k=3 \end{matrix}\right.

Daraus ergibt sich folgende Taylorreihenentwicklung um Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x=0

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots

Für die aus geometrischen Überlegungen berechneten Ableitung des Kosinus gilt für die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 4n+k -te Ableitung an der Stelle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos^{(4n+k)}(0)=\left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{wenn } k=0 \\ 0 & \mbox{wenn } k=1 \\ -1 & \mbox{wenn } k=2 \\ 0 & \mbox{wenn } k=3 \end{matrix}\right.

Daraus ergibt sich folgende Taylorreihenentwicklung um Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x=0

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \frac{x^0}{0!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): =1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots

Mit dem Quotientenkriterium lässt sich zeigen, dass diese Potenzreihen für jede komplexe Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x

absolut und  in jeder beschränkten Teilmenge der komplexen Zahlen gleichmäßig konvergieren. Diese unendlichen Reihen verallgemeinern also die Definition des Sinus und des Kosinus von reellen auf komplexe Argumente. In der Analysis werden die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion häufig mittels dieser Reihenentwicklung definiert. Auch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \pi
wird dort üblicherweise nicht geometrisch, sondern beispielsweise über diese Reihe und die Beziehung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0
als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle der Kosinusfunktion definiert.

Für kleine Werte zeigen diese Reihen ein sehr gutes Konvergenzverhalten. Zur numerischen Berechnung kann man daher die Periodizität und Symmetrie der Funktionen ausnutzen und den Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x -Wert bis auf den Bereich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -\pi/4

bis Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \pi/4
reduzieren (siehe Reduktionsformel). Danach sind für eine geforderte Genauigkeit nur noch wenige Glieder der Reihe zu berechnen. Das Taylorpolynom der Kosinusfunktion bis zur vierten Potenz z.B. hat im Intervall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [-\pi/4, \pi/4]
einen relativen Fehler von unter 0,05%. Im Artikel Taylor-Formel sind einige dieser so genannten Taylorpolynome grafisch dargestellt und eine Näherungsformel mit Genauigkeitsangabe angegeben. Zu beachten ist allerdings, dass die Teilsummen der Taylorpolynome nicht die bestmögliche numerische Approximation darstellen; beispielsweise in Abramowitz-Stegun finden sich Näherungspolynome mit noch kleinerem Approximationsfehler.[1]

Beziehung zur Exponentialfunktion

Die trigonometrischen Funktionen sind eng verbunden mit der Exponentialfunktion. Dieser Ansatz führt zum einen Sinus und Kosinus auf nur eine Reihe zurück, und ist aus der Eulerformel

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e^{\mathrm{i}\varphi} = \cos\varphi + \mathrm{i} \sin\varphi

.

motiviert:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e^{\mathrm{i}\varphi} = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}\varphi)^k}{k!} = \sum^{\infty}_{l=0}\frac{(\mathrm{i}\varphi)^{2l}}{(2l)!} + \sum^{\infty}_{l=0}\frac{(\mathrm{i}\varphi)^{2l+1}}{(2l+1)!}

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{i}^{2l} = (\mathrm{i}^2)^l = (-1)^l \,

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{i}^{2l+1}= \mathrm{i}\cdot \mathrm{i}^{2l} = \mathrm{i}(-1)^l

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): =\underbrace{\sum^{\infty}_{l=0}(-1)^l \frac{\varphi^{2l}}{(2l)!}}_{\cos \varphi} + \mathrm{i} \underbrace{\sum^{\infty}_{l=0} (-1)^l \frac{\varphi^{2l+1}}{(2l+1)!}}_{\sin \varphi} = \cos \varphi + \mathrm{i} \sin \varphi

Für eine reelle Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varphi

ist also Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \cos\left(\varphi \right)
der Realteil und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \sin\left(\varphi \right)
der Imaginärteil der komplexen Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  e^{\mathrm{i}\,\varphi}

.

Für beliebige komplexe Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z

definiert man dann

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin z = {1 \over 2\,\mathrm{i}} \left(e^{\mathrm{i}z} - e^{-\mathrm{i}z} \right)

und

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos z = {1 \over 2} \left(e^{\mathrm{i}z} + e^{-\mathrm{i}z} \right)

Man kann aber auch den Sinus wie oben als Taylorreihe definieren und dann die Übereinstimmung mit dieser Definition zeigen.

Ausgehend von dieser Definition lassen sich sehr leicht die Eigenschaften des Sinus und die Additionstheoreme des Sinus und Kosinus nachweisen.

Definition über analytische Berechnung der Bogenlänge

Die Definition des Sinus und Kosinus als Taylorreihe liefert keinen analytischen Beweis der Differenzierbarkeit des Sinus und Kosinus, sondern setzt die Differenzierbarkeit letztlich axiomatisch voraus. Die Definition mit Hilfe der Exponentialfunktion hat das selbe Problem, versteckt es allerdings im Beweis der Eulerformel.

Ein echter analytischer Beweis der Differenzierbarkeit des Sinus und Kosinus erfordert, dass die geometrische Definition des Sinus und Kosinus zuerst analytisch formalisiert wird. Dies ist möglich, indem man den Einheitskreis Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x^2+y^2=1\!

beispielsweise als

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma(t) = \left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right),\quad -\infty<t<\infty.

parametrisiert. Die Länge dieser Kurve wird auch als Bogenlänge bezeichnet und berechnet sich als

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s(t) = \int_0^t |\dot\gamma(\tau)|\,\mathrm d\tau =\int_0^t\frac{2\,\mathrm d\tau}{\tau^2+1}.

Wie leicht zu zeigen ist, ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s(t)\!

ungerade, stetig, streng monoton wachsend und beschränkt. Da die gesamte Bogenlänge dem Kreisumfang entspricht, folgt, dass 

das Supremum von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s(t)\!

gleich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \pi\!
ist;  Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \pi\!
wird bei dieser Vorgangsweise also analytisch als Supremum von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s(t)\!
definiert.

Die Funktion

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s(t):\mathbb R\to(-\pi,\pi)

ist auch differenzierbar:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\mathrm d s}{\mathrm d t} = \frac{2}{1+t^2}

. Weil sie stetig und streng monoton wachsend ist, ist sie auch invertierbar, und für die Umkehrfunktion

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t(s):(-\pi,\pi) \to \mathbb R

gilt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\mathrm d t}{\mathrm d s} = \frac{1+t^2(s)}{2}

.

Mit Hilfe dieser Umkehrfunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t(s)\!

lassen sich nun Sinus und Kosinus als Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y\!

- und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\! -Komponente von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma\!

analytisch definieren:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin s := \frac{2t(s)}{1+t^2(s)}

sowie

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos s := \frac{1-t^2(s)}{1+t^2(s)}

.

Aus der Quotientenregel und der Kettenregel folgen dann

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\mathrm d\sin s}{\mathrm d s} = \frac{2\left(1+t^2(s)\right) -4t^2(s)}{\left(1+t^2(s)\right)^2}\cdot\frac{1+t^2(s)}{2} =

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \frac{1-t^2(s)}{1+t^2(s)} = \cos s

sowie

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\mathrm d\cos s}{\mathrm d s} = \frac{-2t(s)\left(1+t^2(s)\right)-2t(s)\left(1-t^2(s)\right)} {\left(1+t^2(s)\right)^2}\cdot\frac{1+t^2(s)}{2} =

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \frac{-2t(s)}{1+t^2(s)} = -\sin s

.

Bei dieser Definition des Sinus und Kosinus über die analytische Berechnung der Bogenlänge werden die geometrischen Begriffe tatsächlich sauber formalisiert. Sie hat allerdings den Nachteil, dass im didaktischen Aufbau der Analysis der Begriff der Bogenlänge erst sehr spät formal eingeführt wird und daher Sinus und Kosinus erst relativ spät verwendet werden können.

Definition als Lösung einer Funktionalgleichung

Eine anderer analytischer Zugang ist, Sinus und Kosinus als Lösung einer Funktionalgleichung zu definieren, die im Wesentlichen aus den Additionstheoremen besteht: Gesucht ist ein Paar stetiger Funktionen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f, g:\R\to\R , das für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x,y\in\R

die Gleichungen

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)\!

und

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g(x+y)=g(x)g(y)-f(x)f(y)\!

erfüllt. Die Lösung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\!

definiert dann den Sinus, die Lösung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g\!
den Kosinus. Um Eindeutigkeit zu erreichen, sind einige Zusatzbedingungen zu erfüllen. In Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1 wird zusätzlich gefordert, dass

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)\!

eine ungerade Funktion,

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g(x)\!

eine gerade Funktion,

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

, und

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos 0=1\!

gilt. Bei diesem Zugang wird offensichtlich die Differenzierbarkeit des Sinus vorausgesetzt; Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \pi\!

wird in weiterer Folge analytisch als das doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus definiert. Verwendet man den Zugang von Leopold Vietoris[1] und berechnet die Ableitung des Sinus aus den Additionstheoremen, so ist es zweckmäßiger, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \pi\!
auf geeignete Weise analytisch (beispielsweise als Hälfte des Grenzwerts des Umfangs des dem Einheitskreis engeschriebenen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2^n\!

-Ecks) zu definieren und dann die Differenzierbarkeit der Lösung dieser Funktionalgleichung zu beweisen. Als Zusatzbedingung zu den Additionstheoremen fordert man dann beispielsweise

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1

,

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g\left(\frac{\pi}{2}\right)=0

, und

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g\left(\frac{\pi}{2n}\right)\ne 0

für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n\in\N\backslash\lbrace 1 \rbrace

.

Unter den getroffenen Voraussetzungen ist die Eindeutigkeit der Lösung der Funktionalgleichung relativ einfach zu zeigen; die geometrisch definierten Funktionen Sinus und Kosinus lösen auch offensichtlich die Funktionalgleichung. Die Existenz einer Lösung lässt sich analytisch beispielsweise nachweisen, indem man zeigt, dass die Taylorreihen von Sinus und Kosinus oder eine andere der oben verwendeten analytischen Darstellungen von Sinus und Kosinus die Funktionalgleichung tatsächlich lösen.

Produktentwicklung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin(x) = x \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{x^2}{k^2\pi^2} \right)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos(x) = \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{4x^2}{(2k-1)^2\pi^2} \right)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\;

ist dabei im Bogenmaß anzugeben.

Anwendungen

Geometrische Anwendungen

Mit der Definition des Sinus können auch im nicht rechtwinkligen Dreieck Größen, speziell die Höhen, berechnet werden; ein Beispiel ist die Berechnung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): h_c

im Dreieck DBC bei gegebener Länge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a
und Winkel β:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{h_c}{a}= \sin(\beta)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): h_c = a\cdot \sin(\beta)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): h_c = 5,\!4~{\rm [LE]} \cdot \sin (42^\circ) = 3,\!618~{\rm [LE]}

Andere wichtige Anwendungen sind der Sinussatz und der Kosinussatz.

Fourierreihen

Im Hilbertraum Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L^2 [-\pi,\pi]\!

der auf dem Intervall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [-\pi,\pi]\!
bezüglich des Lebesgue-Maßes quadratisch integrierbaren Funktionen bilden die Funktionen

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1, \cos nx, \sin nx \quad n=1,2,\dots

ein vollständiges Orthogonalsystem, das sogenannte trigonometrische System. Daher lassen sich alle Funktionen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\in L^2[-\pi,\pi]

als Fourierreihe 

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S_n(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^n (a_k\cos nx + b_k \sin nx)

darstellen, wobei die Funktionenfolge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S_n(x)\!

in der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L^2

-Norm gegen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)\!

konvergiert.

Physikalische Anwendungen

In der Physik werden Sinus- und Kosinusfunktion zur Beschreibung von Schwingungen verwendet. Insbesondere lassen sich durch die oben erwähnten Fourierreihen beliebige Signale als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen, siehe Fourieranalyse.

Siehe auch

• Zusammenhang mit den Hyperbelfunktionen
• Sinussatz
• Kosinussatz
• Sinuston
• Tangens
• Sinusscheibe

Quellen

Weblinks

• Java Applet „Dreieck und Sinussatz“ zur Veranschaulichung
• http://www.hutschdorf.de/flash/sinus.htm - interaktive Animation zur Definition von Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis
• dynamischer Graph der allgemeinen Sinus-Funktion

Literatur

• I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig. 19. Auflage 1979.