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Schwerpunkt
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Der Schwerpunkt, das Gravizentrum (engl. Center of Gravity - COG) eines Körpers ist sein Mittelpunkt in Bezug auf die Schwerkraft. Davon abgeleitet wird der Begriff auch in der Geometrie und im übertragenen Sinn verwendet.
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Physikalischer Schwerpunkt
Im Sinne der klassischen Mechanik ist der Schwerpunkt der Punkt, an dem die Masse des Körpers die gleiche Wirkung auf andere Körper hätte, wenn sie in diesem Punkt vereint wäre. Umgekehrt kann man die Gravitation, die auf alle Massenpunkte des Körpers wirkt, durch eine einzige Kraft darstellen, die im Schwerpunkt angreift.
Wenn ein Körper weit genug von anderen Körpern entfernt ist bzw. wenn er sehr klein ist im Vergleich zum anziehenden Körper, dann kann man den Körper als Massenpunkt annähern, dessen Masse im Schwerpunkt vereinigt ist. Das gilt zum Beispiel für einzelne Planeten im Weltraum oder für Gegenstände auf der Erdoberfläche. Wenn sich die Stärke des Gravitationsfeldes nur wenig ändert, so dass sie über der ganzen Ausdehnung des Körpers als konstant angenommen werden kann, dann fällt der Schwerpunkt mit dem Massenmittelpunkt zusammen. Das gilt zum Beispiel für Körper auf der Erdoberfläche oder Satelliten in einer Umlaufbahn, nicht aber für den Mond oder auch die Erde in Bezug auf das Gravitationsfeld des Mondes. In der Nähe eines Schwarzen Loches würde selbst für einen kleinen Körper wie ein Raumschiff oder sogar einen Menschen das Gravitationsfeld merklich verschieden sein für verschiedene Teile des Körpers. In einem solchen Fall treten Gezeitenkräfte auf.
Ist ein Körper homogen, besteht er also aus einem Material, das überall die gleiche Dichte hat, so entspricht sein Massenschwerpunkt dem geometrischen Volumenschwerpunkt, der weiter unten erklärt wird. Besteht der Körper aus Teilen verschiedener Dichte, kann der Massenschwerpunkt vom Volumenschwerpunkt abweichen. Wenn die Verteilung der Dichte innerhalb des Körpers bekannt ist, kann der Schwerpunkt durch Integration berechnet werden. Dies war der Anlass, aus dem Isaac Newton die Infinitesimalrechnung entwickelte (gleichzeitig mit Leibniz).
Der Trägheitsschwerpunkt eines Körpers, also der Mittelpunkt bezüglich des Trägheitsmoments, fällt mit seinem Massenmittelpunkt zusammen. Er kann also bei einem ausgedehnten Körper bzw. in einem sich über kurze Entfernungen ändernden Gravitationsfeld vom Schwerpunkt abweichen.
In der Himmelsmechanik bezeichnet man den Massenschwerpunkt eines Systems von mehreren Himmelskörpern als Baryzentrum. Im Schwerpunktsystem wird der Schwerpunkt als Koordinatenursprung verwendet. Siehe auch: Mehrkörper-System
Bestimmung des Schwerpunktes
Aus den obigen Ausführungen gelangt man zu einem einfachen Verfahren zur Bestimmung des Schwerpunktes eines beliebigen starren Körpers: Hängt man den Körper an einem beliebigen Punkt auf, so liegt (in Ruhe) der Schwerpunkt auf der lotrechten Linie durch den Aufhängepunkt (blaue Linie im Bild rechts.
Wiederholt man dies mit einem anderen Aufhängepunkt, so findet man den Schwerpunkt als Schnittpunkt zweier solcher Geraden. Dass ein solcher Schnittpunkt tatsächlich existiert und unabhängig von der Wahl der Aufhängepunkte ist, ist allerdings weniger trivial, als der erste Anschein glauben läßt.
Verblüffend ist die folgende Methode, um den Schwerpunkt eines schmalen und länglichen Gegenstandes (z.B. Lineal oder Besen) zu bestimmen: Man lege den Gegenstand quer über die beiden auf gleicher Höhe nach vorne ausgestreckten Zeigefinger, was leicht möglich ist, solange die Finger noch weit von einander entfernt sind. Nun bringe man langsam die Zeigefinger näher zueinander, bis sie sich berühren, wobei man sie stets auf möglichst gleicher Höhe hält. Sofern man dies langsam genug macht, gleitet der Gegenstand langsam über die Finger, ohne nach einer Seite zu kippen. Auf den Finger, der dem Schwerpunkt näher liegt, lastet jeweils ein stärkerer Druck, was zu einer stärkeren Reibung führt, d.h. der Gegenstand gleitet vornehmlich über den anderen Finger. Hierdurch regelt sich das System so ein, dass bei beiden Fingern inetwa dieselbe Reibung vorliegt und der Schwerpunkt sich in ihrer Mitte befindet. Schließlich berühren sich also die Zeigefinger, der Gegenstand liegt nach wie vor waagerecht und der Schwerpunkt liegt über den beiden Fingern.
Geometrischer Schwerpunkt
Den Schwerpunkt einer Fläche oder eines Körpers kann man mit Mitteln der Mathematik, der Geometrie, ausrechnen, oder, wenn die Fläche bzw. der Körper aus homogenem Material hergestellt wird, rein mechanisch durch Balancieren bestimmen. Letztere Methode wird oft (an Modellen) angewandt, wenn es um geografische Mittelpunkte von Kontinenten oder Ländern geht (z. B. Mittelpunkt Europas, Mittelpunkt Deutschlands).
Beispiele geometrischer Flächen
Ebene Flächen
Bei ebenen Flächen lässt sich der Schwerpunkt allgemein dadurch ermitteln, dass man die ausgeschnittene Fläche an einem Punkt aufhängt und die Lotgerade, eine sogenannte Schwerelinie einzeichnet. Der Schnittpunkt zweier Schwerlinien ist der Schwerpunkt. Alle weiteren Schwerelinien schneiden sich ebenfalls im Schwerpunkt.
| Dreieck Bild:Dreieck Schwerp2.png | Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y_s=\frac{h}{3},x_s=\frac{b+\xi}{3}
>, |
|---|---|
| Trapez Bild:Schwerpunkt Trapez3.png | Der Schwerpunkt des Trapezes lässt sich folgendermaßen konstruieren: Eine Schwerelinie halbiert die beiden parallelen Seiten. Eine zweite erhält man, indem man die parallelen Seiten um die Länge der jeweils anderen in entgegengesetzten Richtungen verlängert, und die beiden Endpunkte miteinander verbindet. Die Formel in kartesischen Koordinaten lautet: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y_s=\frac{h}{3}\cdot \frac{a+2b}{a+b}, x_s=\frac{a^2-b^2+\xi(a+2b)}{3(a+b)} |
| Halbkreis Bild:Halbkreis Schwerpunkt2.png | Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y_s=\frac{4r}{3\pi} |
Räumliche (gekrümmte) Flächen
- Mantel von Pyramide und Kegel: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z_s=\frac{h}{4}
Bild:Pyramidenmantel Schwerp.png
- Schwerpunkt eines Rotationsparaboloids: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y_s=\frac{h}{3}
Bild:Ellipsoid Schwerpunkt.png
Schwerpunkt einer Linie
- beliebiger flacher Bogen: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z_s\approx\frac{2h}{3}
Bild:Schwerpunkt beliebiger flacher bogen 02.png
- Kreisbogen: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y_s=\frac{r\sin\alpha}{\alpha}=\frac{rl}{b}
Bild:Kreisbogen Schwerpunkt2.png Siehe auch: Rotationsfläche, Rotationskörper
Zusammenfassen von Schwerpunkten
Es ist möglich, mehrere Schwerpunkte einzelner einfacher Elemente zu einem gemeinsamen Schwerpunkt zusammenzufassen.
| 1-dimensional | 2-dimensional | 3-dimensional | allgemein |
|---|---|---|---|
| Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_s=\frac{\sum\limits_i (x_{s,i} \cdot l_i)}{\sum\limits_i l_i} | Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_s=\frac{\sum\limits_i (x_{s,i} \cdot A_i)}{\sum\limits_i A_i}
| Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_s=\frac{\sum\limits_i (x_{s,i} \cdot V_i)}{\sum\limits_i V_i}
| Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{r}_s=\frac{1}{m}\sum\limits_i \vec{r}_i m_i |
Der Abstand Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_s
(bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y_s
, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z_s ) ist jener von einem frei wählbaren Koordinatenursprung. Weist eine Fläche (ein Körper) Aussparungen auf, so können obige Summenformeln ebenfalls angewendet werden, jedoch muss beachtet werden, dass die ausgesparten Flächen (Volumen) mit negativem Vorzeichen in die Berechnung mit eingehen.
Schwerpunkt von Flächen und Körpern, deren Begrenzung durch den Graphen einer Funktion gegeben ist
In den vorherigen Abschnitten wurden ausschließlich Flächen und Körper behandelt, deren Gestalt bestimmten geometrischen Grundformen entspricht. Wenn dieser Sachverhalt nicht gegeben ist und die Begrenzung von Körpern bzw. Flächen durch Graphen von Funktionen gegeben sind, so kommt zur Berechnung der Schwerpunktskoordinaten die Integralrechnung zur Anwendung.
Dann gilt:
| 2-dimensional | 3-dimensional |
|---|---|
| Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_s=\frac{1}{A}\int_A x dA
| Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_s=\frac{1}{V}\int_V x dV
|
Zur praktischen Bestimmung der x-Koordinate des Schwerpunktes im 2-dimensionalen Fall substituiert man Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): dA
mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y\cdot dx
, was einem infinitesimalen Flächenstreifen entspricht. Ferner entspricht hierbei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y
der die Fläche begrenzende Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y(x)
.
Für die praktische Berechnung der y-Koordinate im 2-dimensionalen Fall gibt es prinzipiell zwei Vorgehensweisen:
- entweder man bildet Umkehrfunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x(y)
und berechnet das Integral Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_A y dA = \int_y y\cdot x(y)\cdot dy , wobei die "neuen" Integrationsgrenzen nun auf der y-Achse zu finden sind.
- oder man nutzt aus, dass der Schwerpunkt eines jeden zur y-Achse parallelen infinitesimalen Flächenstreifen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{y(x)}{2}
ist. Dann erhält man zur Bestimmung der y-Koordinate eine einfachere Formel, mit deren Hilfe das Bilden der Umkehrfunktion erspart bleibt:
Beispiel: Schwerpunkt einer Parabel
Wir suchen den Flächenschwerpunkt jener Fläche, die durch eine Parabel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y_1 = x^2-4
und durch die x-Achse definiert ist.
Zuerst bestimmen wir den Inhalt A der Fläche: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A = \int\limits_{-2}^{2} (x^2-4)\, \mathrm{d}x = -10\frac{2}{3}
Die x-Koordinate des Schwerpunktes ergibt sich zu: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_s = \frac{1}{A}\int\limits_{-2}^{2} x\cdot (x^2-4)\, \mathrm{d}x = 0
Die y-Koordinate ergibt sich zu: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y_s = \frac{1}{A}\int\limits_{-2}^{2} y\cdot\frac{y}{2}\, \mathrm{d}x = \frac{1}{2A}\int\limits_{-2}^{2} y^2\, \mathrm{d}x = \frac{1}{2A}\int\limits_{-2}^{2} (x^4-8x^2+16)\, \mathrm{d}x = -1{,}6
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