Schwerebeschleunigung

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Physikalische Größe
Name		örtliche Fallbeschleunigung
Größenart		Beschleunigung
Formelzeichen der Größe		g
Größen- und Einheitensystem	Einheit		Dimension
SI	m·s^-2		L·T^-2
CGS	cm·s^-2		L·T^-2
Planck	Planck-Beschleunigung		ħ^-1/2·G^-1/2·c^7/2

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Unter Schwere- bzw. Fall- oder auch Oberflächenbeschleunigung, kurz Schwere, versteht man im weiteren Sinne die Beschleunigung, die ein Körper im freien reibungslosen Fall auf einer Planetenoberfläche erfährt.

Die Schwere auf einem (in der Regel rotierenden) Himmelskörper ist die Summe aus Gravitationsbeschleunigung (Gravitation) und Zentrifugalbeschleunigung. Der schwereverringernde Beitrag der Zentrifugalbeschleunigung ist jedoch meist gering.

Im engeren Sinne wird unter der Schwerebeschleunigung die Konstante der Schwerebeschleunigung auf der Erdoberfläche verstanden. Sie wird mit g bezeichnet. Die Schwerebeschleunigung der Erde beträgt durchschnittlich g = 9,81 m s^-2, variiert aber aufgrund der Zentrifugalbeschleunigung und der Erdgestalt regional um einige Promille.

Inhaltsverzeichnis

1 Einheiten
2 Berechnung
- 2.1 Beispiel Erde
3 Messung
4 Schwerebeschleunigung ausgewählter Himmelskörper
5 Siehe auch

Einheiten

Die SI-Einheit der Schwerebeschleunigung ist m s^-2. Der Millionste Teil davon ist 1 µm s^-2, was etwa der Messgenauigkeit von Gravimetern entspricht.

Im alten CGS-System heißt die Einheit Gal (nach Galileo Galilei) oder γ, das in der Gravimetrie und Angewandten Geophysik oft in 1000 Milligal unterteilt wird:

1 Gal = 1 γ = 1 cm s^-2 = 0,01 m s^-2

1 mGal = 10^-5 m s^-2 = 10 µm s^-2

Siehe unten. Geophysiker verwenden γ aber meistens als Formelzeichen für die theoretische Schwere unten als g_N bezeichnet.

Manchmal dient die Erdschwerebeschleunigung g auch als Einheit. Im Mittel der Erde gilt dann genähert

1 g = 9,81 m s^-2 = 981 Gal = 981.000 mGal.

Berechnung

Die Schwerebeschleunigung bestimmt die Kraft F, mit der ein Körper m von einem Himmelskörper angezogen wird:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F = m \cdot g

Die Schwerkraft setzt sich aus der anziehend wirkenden Gravitationskraft und der abstoßend wirkenden Zentrifugalkraft zusammen.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec F_\mathrm{Schwere} = \vec F_\mathrm{Gravitation} + \vec F_\mathrm{Zentrifugal}

Für die Schwerebeschleunigung gilt dementsprechend:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec g_\mathrm{Schwere} = \vec g_\mathrm{Gravitation} + \vec g_\mathrm{Zentrifugal}

Am Äquator wirken Gravitationkraft und Zentrifugalkraft genau entgegengesetzt.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g_\mathrm{Schwere} = g_\mathrm{Gravitation} - g_\mathrm{Zentrifugal}

Am Pol wirkt keine Zentrifugalkraft, da der Abstand von der Rotationsachse null ist.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g_\mathrm{Schwere} = g_\mathrm{Gravitation}

Die Gravitationsbeschleunigung lässt sich (für Punktmassen) aus der Masse (m) und Abstand (r) mit der Gravitationskonstante (G) berechnen.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g_\mathrm{Gravivitation} = \frac{G \cdot m}{r^2}

mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G=6{,}67259 \cdot 10^{-11}\,{\mathrm{m^3}\over\mathrm{kg\,s^2}}

Die Zentrifugalbeschleunigung lässt sich aus Umlaufdauer (T) und Abstand (r) berechnen.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g_\mathrm{Zentrifugal} = \omega^2 \cdot r

mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega = \frac{2 \pi}{T}

Beispiel Erde

Die folgenden Berechnungen für die Gravitationsbeschleunigung liefern nur Näherungswerte, da es sich bei der Erde nicht um eine Punktmasse handelt.

Masse: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m=5{,}974 \cdot 10^{24}\,\mathrm{kg}

Äquatorradius: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r_\mathrm{\ddot{A}} = 6{,}378 \cdot 10^{6}\,\mathrm{m}

Polradius: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r_\mathrm{P} = 6{,}357 \cdot 10^{6}\,\mathrm{m}

Rotationdauer: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T = 0{,}9973 \mathrm{d} = 8{,}617 \cdot 10^{4}\,\mathrm{s}

Am Äquator:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g_\mathrm{Gravitation} = 9{,}799 \,{\mathrm{m}\over\mathrm{s^2}}

[1]

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g_\mathrm{Zentrifugal} = 0{,}034 \,{\mathrm{m}\over\mathrm{s^2}}

[2]

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g_\mathrm{Schwere} = g_\mathrm{Gravitation} - g_\mathrm{Zentrifugal} = 9{,}765 \,{\mathrm{m}\over\mathrm{s^2}}

Am Pol:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g_\mathrm{Zentrifugal} = 0

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g_\mathrm{Schwere} = g_\mathrm{Gravitation} = 9{,}864 \,{\mathrm{m}\over\mathrm{s^2}}

[3]

Messung

Die Schwerebeschleunigung kann mit Gravimetern auf µGal genau gemessen werden.

Eine andere Methode beruht auf der Messung der Schwingungsdauer T eines Fadenpendels mit Fadenlänge L:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}