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Als Schwebung bezeichnet man die Resultierende der additiven Überlagerung (Superposition) zweier Schwingungen, die sich in ihrer Frequenz nur wenig voneinander unterscheiden. Schwebungen treten bei allen Wellen auf, für die das Superpositionsprinzip gilt, also beispielsweise Schallwellen und elektromagnetischen Wellen; siehe Differenztonfaktor.

Akustik

In der Akustik ist die Schwebung deutlich zu hören: Erklingen zwei Töne, deren Frequenzen sich nur wenig unterscheiden, so ist ein Ton zu hören, dessen Frequenz dem Mittelwert der Frequenzen der beiden überlagerten Töne entspricht. Dieser Ton ist moduliert, seine Lautstärke schwankt mit der sogenannten Schwebungsfrequenz, die der Differenz der Frequenzen der beiden Töne entspricht.

Übersteigt der Frequenzunterschied etwa fünf Prozent, vernimmt man einen Ton rauer Klangfärbung, der sich bei weiterer Vergrößerung der Frequenzdifferenz in zwei Einzeltöne aufspaltet.

Als kritische Bandbreite wird derjenige Bereich um eine Tonfrequenz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_0

bezeichnet, innerhalb dessen die Frequenz eines zweiten Tones liegen muss, damit ein rauer oder schwebender Ton statt zwei getrennter Töne wahrgenommen wird. Die Größe der kritischen Bandbreite hängt von der Frequenz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_0
ab: Je kleiner die Frequenz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_0
ist, desto größer ist die kritische Bandbreite.

Bild:Loudspeaker.svg    Klangbeispiel ^?/i

Dem Grundton von 440 Hz ist ein zweiter Ton überlagert, dessen Frequenz von 440 Hz auf 490 Hz ansteigt.

Berechnung der Schwebungsdauer und der Schwingungsdauer

In der folgenden Berechnung ist:

• Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_1

die Frequenz der Sinus-Schwingung 1,

• Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_2

die Frequenz der Sinus-Schwingung 2,

• Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y_{1,2}

die Amplitude der einzelnen Schwingungen (gleich für 1 und 2),

• Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t

der Zeitpunkt,

• π die Kreiszahl, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \pi \approx 3{,}141592654

• Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y_\mathrm{R}

die resultierende Summenschwingung,

• Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \hat{y}

ihre Amplitude,

• Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_\mathrm{R}

ihre Frequenz und

• Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_\mathrm{S}

die resultierende Schwebungsfrequenz.

Dann kann die Summenschwingung so dargestellt werden:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y_\mathrm{R} = \hat{y}\left(\sin \left(2\pi f_1t\right) + \sin\left(2\pi f_2t\right)\right) \,

.

Diese Berechnung kann umgeformt werden in die folgende Formel:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y_\mathrm{R} = 2\hat{y}\sin\!\left(2\pi \frac{f_1 + f_2}{2} t\right)\cdot \cos\!\left(2\pi \frac{f_1 - f_2}{2} t\right)

Die letzte Formel besagt, dass die Frequenz der Überlagerungsschwingung die mittlere Frequenz der beiden Teilschwingungen ist (entspricht dem Sinus-Glied der Formel, siehe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_\mathrm{R}

unten) und dass die resultierende Amplitude sich zeitlich ändert (die Schwebungsfrequenz; diese wird durch das Kosinus-Glied ausgedrückt, siehe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_\mathrm{S}
unten). 

Es gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_\mathrm{R} = \frac{f_1 + f_2}{2}

Für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_\mathrm{S}

findet man oft den Ausdruck Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_\mathrm{S} = \frac{f_1 - f_2}{2}
- dieses ist die Frequenz, die sich rechnerisch aus dem Kosinus-Glied ergibt. Da es für die Umhüllende der Überlagerungsschwingung (d.h. für die hörbare Amplitudenschwankung) egal ist, ob sich der Kosinus im plus- oder minus-Bereich befindet, ist die hörbare Frequenz der Lautstärkeänderung doppelt so groß, also:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_\mathrm{S} = f_1 - f_2

Unreine Schwebung

Ist die Amplitude der beiden beteiligten Schwingungen nicht gleich, dann spricht man von der so genannten Unreinen Schwebung. Bei dieser ist das entsprechende Kosinus-Glied anders ausgebildet, und es treten keine Stilleperioden (wenn die resultierende Amplitude der reinen Schwebung durch Null geht) auf. Des Weiteren schwankt die Schwingungsdauer, anders ausgedrückt, die resultierende Frequenz (das Sinus-Glied oben) ist nicht konstant.

Weitere Klangbeispiele

Um das Verständnis der akustischen Schwebung etwas zu erleichtern, finden sich hier vier beispielhafte unterschiedliche Schwingungen. Alle besitzen dieselbe Startfrequenz, sie unterscheiden sich jedoch in ihrer Wellenform: Dreieck, Rechteck, Sägezahn, Sinus

• Bild:Loudspeaker.svg    Dreieckschwingung ^?/i

• Bild:Loudspeaker.svg    Rechteckschwingung ^?/i

• Bild:Loudspeaker.svg    Sägezahnschwingung ^?/i

• Bild:Loudspeaker.svg    Sinusschwingung ^?/i

In allen vier Klangbeispielen wurden zwei Schwingungen überlagert. Ab Sekunde 4 wurde begonnen, eine dieser Schwingungen langsam in der Frequenz zu erhöhen und sie dann wieder um das doppelte zu reduzieren. Einen exakten Verlauf stellt folgendes Diagramm dar:

Anwendungen

Das Phänomen der Schwebung kann vielseitig angewendet werden. In der Musizierpraxis wird sie als

• belebender Klangeffekt bei Musikinstrumenten beispielsweise als zuschaltbarer sogenannter Tremoloeffekt oder als spezielles Register in Pfeifenorgeln eingesetzt.
• Das Leslie Lautsprecher-Kabinett verwendet den Doppler-Effekt zur Erzeugung der Schwebung. Hierbei wird der konstante Originalton mit einem in der Tonhöhe vibrierenden Ton überlagert.
• Das Stimmen eines Musikinstruments nach Gehör (ohne Stimmgerät mit optischer Anzeige), also das eigentliche Einstimmen auf den Kammerton als Referenzfrequenz, erfolgt solange, bis keine Schwebung mehr zu hören ist: Der Ton ist „schwebungsnull - er stimmt“ .

Mit zwei elektrischen Schwingkreisen können Systeme gebaut werden, die folgenden Effekt nutzen: Ein Schwingkreis erzeugt eine (manuell justierbare,) feste Referenzfrequenz. Ein zweiter Schwingkreis wird über seine Dipolantenne in seiner Frequenz beeinflusst. Beide Frequenzen werden überlagert, die daraus resultierende Schwebung wird weiterverarbeitet. Dies kann wie bei dem

• Theremin ein durch Handbewegungen beeinflusstes Musikinstrument sein.
• Bei Metallsuchgeräten beeinflusst Metall einer bestimmten Masse die Frequenzen,
• bei Überwachungsanlagen mit Bewegungsmeldern wird beispielsweise durch Annäherung eines Menschen das Signal eines Wärmesensors als Stellglied im veränderbaren Schwingkreis ausgenutzt.

Siehe auch

• Ondes Martenot
• Schwebungssummer
• Interferenz
• Gekoppelte Pendel
• akustische Täuschung
• Moiré-Effekt

Weblinks

• Darstellung der Schwebung mit zwei variablen Grundfrequenzen
• SweepGen ist ein Programm, mit dem man mit dem Computer Schwebungen erzeugen kann (engl.)