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Riccati-Gleichung
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Die Riccati-Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y' = \frac{dy}{dx} = P(x) + Q(x) \cdot y + R(x) \cdot y^2 .
Sie ist nach dem Mathematiker Jacopo Francesco Riccati benannt, einem italienischen Grafen (1676-1754), der sich intensiv mit der Klassifizierung von Differentialgleichungen befasste und Methoden zur Reduzierung der Ordnung von Gleichungen entwickelte.
Die allgemeine Integration der Riccati-Differentialgleichung ist mit den üblichen Methoden nicht möglich - jedoch durch eine Substitution, wenn man eine Lösung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u = y_p
(etwa durch Raten) kennt:
Mit dieser partikulären Lösung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u
führt man die Substitution
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z = y - u
durch und erhält eine Bernoulli-Differentialgleichung der Form
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z' = (Q(x) + 2 \cdot R(x) \cdot u(x)) \cdot z + R(x) \cdot z^2 .
Deren Lösung (siehe dort) erfolgt durch Reduzierung auf eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung.
Inhaltsverzeichnis |
Konstante Koeffizienten
Sind die Koeffizienten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Q
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R keine Funktionen von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x
, also konstant, dann lässt sich die Riccati-Dgl. in eine lineare homogene Dgl. 2. Ordnung umformen.
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y' = P + Q \cdot y + R \cdot y^2 \quad ; \quad P,Q,R \neq f(x)
Multipliziert man die Riccati-Dgl mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R
, ergibt sich
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (R \cdot y)' = P \cdot R + Q \cdot R \cdot y + (R \cdot y)^2 .
Substituiert man Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R \cdot y = w
erhält man die Dgl. in der Normalform
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w' = P \cdot R + Q \cdot w + w^2 .
Des Weiteren substituiert man Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w
in der folgenden Weise:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w = - \frac{z'}{z}
Daraus folgt
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w^2 = \left(\frac{z'}{z}\right)^2
und
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w' = \frac{(z')^2 - z \cdot z''}{z^2} .
Setzt man das in die Normalform der Dgl. ein, ergibt sich
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{(z')^2 - z \cdot z''}{z^2} = P \cdot R - Q \cdot \frac{z'}{z} + \left(\frac{z'}{z}\right)^2 .
Durch Umformen erhält man eine lineare homogene Dgl. 2. Ordnung für z:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z'' - Q \cdot z' + P \cdot R \cdot z = 0 .
Mit der Lösung für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z
ergibt sich die Lösung der Riccati-Dgl. zu
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y = \frac{w}{R} = - \frac{z'}{R \cdot z}
Weitere "Riccati-Gleichungen"
Denselben Namen Riccati-Differentialgleichung tragen noch zwei andere Gleichungstypen, die für verschiedene Themen von Angewandter Mathematik bis zur Finanzwissenschaft von Bedeutung sind (siehe Weblinks).
Siehe auch
Weblinks
Details und Lösungen bei Mathworld
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