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Reihe (Mathematik)
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In der Mathematik ist eine (unendliche) Reihe eine Folge, deren Glieder (den Partialsummen) als Summe der ersten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n
Glieder einer anderen Folge gegeben sind.
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Vokabular
Aus jeder Folge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left(a_i\right)
kann man eine Reihe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left(s_n\right) konstruieren mit
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s_n = a_0 + a_1 + \ldots + a_n
(wobei wir als Indizes für die Glieder von Folge und Reihe in diesem Artikel die natürlichen Zahlen einschließlich der Null verwenden; in manchen Anwendungen ist es üblich, die Null auszuschließen). Mit Hilfe des Summenzeichens können die einzelnen Glieder der Reihe auch abgekürzt als
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s_n = \sum_{i=0}^n a_i
geschrieben werden; sie werden auch Partialsummen der Folge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (a_i)
genannt. Wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (a_i) und damit auch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (s_n) für unendlich viele Indizes i bzw. n definiert sind, spricht man von einer unendlichen Reihe. Wenn der Grenzwert der Folge der Partialsummen
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S = \lim_{n\rightarrow \infty}s_n = \lim_{n\rightarrow \infty} \left( \sum_{i=0}^n a_i \right)
existiert, sagt man, die Reihe konvergiert; den Grenzwert S nennt man die Summe der Reihe (auch: Wert der Reihe). Mit Hilfe des Summenzeichens kann diese Summe auch abgekürzt als
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S = \sum_{i=0}^\infty a_i
geschrieben werden.
Eine Reihe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (s_n)
heißt divergent, wenn sie nicht konvergiert. Sie heißt bestimmt divergent oder uneigentlich konvergent, wenn die Teilsummen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (s_n) gegen -∞ oder +∞ streben. Andernfalls heißt die Reihe unbestimmt divergent; dabei kann sie Häufungspunkte haben oder auch nicht.
Mit verschiedenen Konvergenzkriterien lässt sich feststellen, ob eine Reihe konvergiert.
Beispiele
Für einige einfache endliche Reihen kann man die Summe explizit berechnen, beispielsweise für arithmetische Reihen wie
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sum_{k=1}^{n}{k} = 1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2}.
Der Beweis solcher Formeln erfolgt über vollständige Induktion. Weitere solche Summationsformeln finden sich in der Formelsammlung Algebra.
Eine klassische Reihe ist die geometrische Reihe, der Name ergibt sich aus der geometrischen Folge (an) = (qn) (für n Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \in
N). Die unendliche geometrische Reihe ist also:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s = \sum_{n=0}^\infty q^n
- Weitere Beispiele endlicher Reihen findet man im Artikel Addition.
Eine der einfachsten konvergenten unendlichen Reihen ist
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots
Diese Schreibweise bezeichnet nach der oben gegebenen Darstellung den Grenzwert der Folge
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1,\ \frac{3}{2},\ \frac{7}{4},\ \frac{15}{8},\ \ldots
Man kann die Konvergenz dieser Reihe auf der Zahlengeraden visualisieren: Stellen wir uns eine Linie mit der Länge zwei vor, auf der aufeinanderfolgende Abschnitte mit den Längen 1, 1/2, 1/4, usw. markiert sind. Es gibt auf dieser Linie immer noch Platz für einen weiteren Abschnitt, da immer noch so viel Platz ist, wie der letzte Abschnitt lang war: Wenn wir die Strecke 1/2 markiert haben, haben wir insgesamt 3/2 verbraucht, es bleiben also noch 1/2 übrig. Wenn wir nun 1/4 wegstreichen, bleibt ein weiteres 1/4 übrig, etc. Da das "Reststück" beliebig klein wird, ist der Grenzwert gleich 2.
Diese Reihe ist eine spezielle geometrische Reihe. Konvergente geometrische Reihen sind auch ein Gegenstand der Paradoxa von Zenon.
Ein Beispiel für eine divergente Reihe mit mehreren Häufungspunkten ist die Summe über die Folge +1,-1,+1,-1,... Die Reihe wechselt zwischen den Werten 1 und 0 (die Folge hingegen wechselt zwischen 1 und -1).
Konvergenzkriterien
Im Folgenden seien die Zahlen an stets reelle oder komplexe Zahlen, und die Reihe S definiert als
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S = \sum_{n=0}^\infty a_n.
Zum Beweis der Konvergenz dieser Reihe gibt es diverse Konvergenzkritierien, die teils die bedingte, teils die stärkere absolute Konvergenz zeigen:
Notwendige Bedingung
Wenn die Reihe S konvergiert, dann konvergiert die Folge (an) der Summanden gegen 0 für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n\rightarrow \infty
. Die Umkehrung ist nicht allgemeingültig (ein Gegenbeispiel ist die harmonische Reihe).
Majorantenkriterium
Wenn alle Glieder an der Reihe S nichtnegative reelle Zahlen sind, S konvergiert und für alle n
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_n\geq |b_n|
mit reellen oder komplexen Zahlen bn gilt, dann konvergiert auch die Reihe
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T = \sum_{n=0}^\infty b_n
absolut, und es ist |T| ≤ S.
Minorantenkriterium
Wenn alle Glieder an der Reihe S nichtnegative reelle Zahlen sind, S divergiert und für alle n gilt
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_n\leq b_n
mit nichtnegativen reellen Zahlen bn gilt, dann divergiert auch die Reihe
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sum_{n=0}^\infty b_n
.
Quotientenkriterium
Wenn eine Konstante C < 1 und ein Index N existiert, sodass für alle n ≥ N gilt
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \le C,
dann konvergiert die Reihe S absolut.
Wurzelkriterium
Wenn eine Konstante C < 1 und ein Index N existiert, sodass für alle n ≥ N gilt
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt[n]{|a_n|} \le C,
dann konvergiert die Reihe S absolut.
Integralkriterium
Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f: [1, \infty] \to [0, \infty]
eine nichtnegative, monoton fallende Funktion mit
- f(n) = an für alle n,
dann konvergiert S genau dann, wenn das Integral
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_1^\infty f(x) dx
existiert.
Leibniz-Kriterium
Eine Reihe der Form
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n
mit nichtnegativen an wird alternierende Reihe genannt. Eine solche Reihe konvergiert, wenn die Folge an monoton gegen 0 konvergiert. Die Umkehrung ist nicht allgemeingültig.
Beispiele
- Eine geometrische Reihe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sum_{n=0}^\infty z^n
konvergiert genau dann, wenn |z| < 1.
- Die Reihe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^r}
konvergiert, wenn r > 1 und divergiert für r ≤ 1, was mit dem Integralkriterium gezeigt werden kann. Als Funktion von r aufgefasst, ergibt diese Reihe die Riemannsche Zetafunktion.
- Die Teleskopreihe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})
konvergiert genau dann, wenn die Folge bn für n->∞ gegen eine Zahl L konvergiert. Der Wert der Reihe ist dann b1 - L
Reihen von Funktionen
Anstatt Folgen von Zahlen kann man auch Folgen von Funktionen betrachten und entsprechend Reihen definieren. Hier kommt zur Frage der Konvergenz noch die nach den Eigenschaften der Grenzfunktion hinzu. Umgekehrt kann man fragen, durch welche Reihe sich eine Funktion darstellen lässt. So eine Darstellung nennt sich Reihenentwicklung.
Potenzreihen
Einige wichtige Funktionen können als Taylorreihen dargestellt werden. Diese sind bestimmte unendliche Reihen, in denen Potenzen einer unabhängigen Variable vorkommen. Solche Reihen werden allgemein Potenzreihen genannt. Werden auch negative Potenzen der Variablen zugelassen, spricht man von Laurentreihen.
Fourierreihen
Als Fourierreihe einer Funktion bezeichnet man ihre Entwicklung als Summe von trigonometrischen Funktionen.
Siehe auch
Literatur
- K. Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Berlin 1996. ISBN 3-540-59111-7
Weblinks
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