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Unter einer Potenzreihe versteht man in der Analysis eine unendliche Reihe der Form

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_n

ist hierbei eine beliebige Folge von reellen oder komplexen Zahlen. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_0
wird als der Entwicklungspunkt der Potenzreihe bezeichnet.

Hinsichtlich der Konvergenz sind drei Fälle möglich: Die Reihe konvergiert entweder

• nur für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x = x_0

,

• auf einem Intervall (reelle Zahlengerade) bzw. auf einer Kreisscheibe mit Mittelpunkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_0

(komplexe Ebene), 
 

• auf ganz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}

bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{C}

.

Konvergenzradius

Als Konvergenzradius einer Potenzreihe an der Stelle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_0

ist die größte Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r
definiert, für welche die Potenzreihe für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x
mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |x-x_0|<r
konvergiert.

Bei Potenzreihen lässt sich der Konvergenzradius Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r

mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen. Es gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}(\sqrt[n]{|a_n|})}

In vielen Fällen kann der Konvergenzradius einfacher auf folgende Weise berechnet werden:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|

Folgerungen aus dem Konvergenzradius:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |x-x_0|<r \Rightarrow

die Potenzreihe ist absolut konvergent

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |x-x_0|>r \Rightarrow

die Potenzreihe ist divergent

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |x-x_0|=r \Rightarrow

ist jeweils separat zu untersuchen.

Beispiele

• Jede Polynomfunktion lässt sich als Potenzreihe auffassen, wobei alle Koeffizienten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_n

mit Ausnahme von endlich vielen gleich 0 sind.

• Exponentialfunktion :
  

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e^x = \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots

• Logarithmus :
  

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{\,x^k}{k} = x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4} \pm \cdots

• Wurzelfunktion :
  

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt{1\pm x} = 1 \pm \frac{1}{2} x-\frac{1}{2\cdot4} x^2\pm\frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} x^3- \pm \cdots \quad \mathrm{f\ddot{u}r} \quad -1 < x < 1

• Trigonometrische Funktionen :
  

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ... + (-1)^n \cdot \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + ...
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ... + (-1)^n \cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!} + ...
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + ... + \frac{2^{2n} \cdot \left( 2^{2n}-1 \right) }{(2n)!} \cdot B_{2n}\cdot x^{2n-1} + ... \quad \mathrm{f\ddot{u}r} \quad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}

• Hyperbelfunktionen:
  

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + ... + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + ...
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + ... + \frac{x^{2n}}{(2n)!} + ...
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tanh x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} - \frac{17x^7}{315} + ... + (-1)^{n-1} \cdot \frac{2^{2n} \cdot \left( 2^{2n}-1 \right) }{(2n)!} \cdot B_{2n}\cdot x^{2n-1} + ... \quad \mathrm{f\ddot{u}r} \quad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}

Siehe auch: Laurentreihe, Taylorreihe, MacLaurinsche Reihe

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