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Polarkoordinaten
Aus Fotonexus.
Dieser Artikel behandelt Polarkoordinaten der Ebene sowie die eng damit verwandten Zylinderkoordinaten im Raum. Für räumliche Polarkoordinaten siehe den Artikel Kugelkoordinaten.
Inhaltsverzeichnis
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Ebene Polarkoordinaten: Kreiskoordinaten
Die Polarkoordinaten (auch: Kreiskoordinaten) eines Punktes in der euklidischen Ebene werden in Bezug auf einen Koordinatenursprung (einen Punkt der Ebene) und eine Richtung (einen im Koordinatenursprung beginnenden Strahl) angegeben.
- Ebene Polarkoordinaten und ihre Transformation in kartesische Koordinaten
Die Koordinate r, eine Länge, wird als Radius, die Winkelkoordinate Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \phi
als Azimut bezeichnet.
Umrechnung zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten
Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung sowie der x-Achse in Polarkoordinatenrichtung wählt, so ergibt sich
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec r=r\, \cos\varphi \, \vec e_x + r\, \sin\varphi \, \vec e_y
als Transformation zu kartesischen Koordinaten.
Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten
Für die Umrechnung von kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten gilt demnach:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x=r\cdot\cos\varphi
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y=r\cdot\sin\varphi
Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten
Die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten ist etwas schwieriger. Zunächst kann der Radius r mit dem Satz des Pythagoras wie folgt berechnet werden:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r=\sqrt{x^2 + y^2}
Bei der Bestimmung des Winkels φ müssen zwei Besonderheiten der Polarkoordinaten berücksichtigt werden:
- Für r = 0 ist der Winkel φ nicht eindeutig bestimmt, sondern könnte jeden beliebigen reellen Wert annehmen. Zum Zwecke einer eindeutigen Darstellung wird er jedoch häufig mit 0 definiert. Die nachfolgenden Formeln sind deshalb zur Vereinfachung der Darstellung unter der Voraussetzung r ≠ 0 angegeben.
- Für r ≠ 0 ist der Winkel φ nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2π bestimmt, da die Winkel φ und φ + k·2π (für k aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Z
) den gleichen Punkt beschreiben. Zum Zwecke einer eindeutigen Darstellung muss der Winkel φ daher auf ein Intervall der Länge 2π beschränkt werden. Üblicherweise werden dazu je nach Anwendungsgebiet die Intervalle (−π, π] oder [0, 2π) gewählt.
Berechnung des Winkels im Intervall (−π, π]
Mit Hilfe des Arkustangens kann φ wie folgt im Intervall (−π, π] bestimmt werden:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varphi = \begin{cases} \arctan\frac{y}{x} & \mathrm{f\ddot ur}\ x > 0\\ \arctan\frac{y}{x} + \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x < 0,\ y \geq 0\\ \arctan\frac{y}{x} - \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x < 0,\ y < 0\\ +\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y > 0\\ -\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y < 0\\ \end{cases}
Einige Programmiersprachen bieten eine bivariate Arkustangens-Funktion atan2(y,x) an, welche die dargestellten Fallunterscheidungen intern berücksichtigt und den korrekten Wert für φ für beliebige Werte von x und y berechnet.
Mit Hilfe des Arkuskosinus kommt man mit nur zwei Fallunterscheidungen aus:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varphi = \begin{cases} +\arccos\frac{x}{r} & \mathrm{f\ddot ur}\ y\geq 0\\ -\arccos\frac{x}{r} & \mathrm{f\ddot ur}\ y<0 \end{cases}
Durch Verwendung der Signum-Funktion kann man eine explizite Fallunterscheidung in der Formel vermeiden:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varphi = (\sgn y + 1 - |\sgn y|) \cdot \arccos\frac{x}{r}
Durch Ausnutzen der Tatsache, dass in einem Kreis ein Mittelpunktswinkel stets doppelt so groß ist wie der zugehörige Umfangswinkel, kann das Argument auch mit Hilfe der Arkustangens-Funktion mit weniger Fallunterscheidungen berechnet werden:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varphi = \begin{cases} 2 \arctan \frac{y}{r+x} & \mathrm{f\ddot ur}\ r + x \neq 0\\ \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ r + x = 0 \end{cases}
Berechnung des Winkels im Intervall [0, 2π)
Die Berechnung des Winkels φ' im Intervall [0, 2π) kann im Prinzip so durchgeführt werden, dass der Winkel zunächst wie vorstehend beschrieben im Intervall (−π, π] berechnet wird und dann um 2π vergrößert wird, falls er negativ ist:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varphi' = \begin{cases} \varphi + 2\pi & \mathrm{falls}\ \varphi < 0\\ \varphi & \mathrm{sonst} \end{cases}
Durch Abwandlung der ersten obenstehenden Formel kann φ' wie folgt direkt im Intervall [0, 2π) bestimmt werden:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varphi' = \begin{cases} \arctan\frac{y}{x} & \mathrm{f\ddot ur}\ x > 0,\ y \geq 0\\ \arctan\frac{y}{x} + 2\pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x > 0,\ y < 0\\ \arctan\frac{y}{x} + \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x < 0\\ \pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y > 0\\ 3\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y < 0\\ \end{cases}
Die Formel mit dem Arkuskosinus kommt auch in diesem Fall mit nur zwei Fallunterscheidungen aus:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varphi' = \begin{cases} \arccos\frac{x}{r} & \mathrm{f\ddot ur}\ y\geq 0\\ 2\pi - \arccos\frac{x}{r} & \mathrm{f\ddot ur}\ y<0 \end{cases}
Funktionaldeterminate
Aus den Umrechnungsformeln von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten erhält man für die Funktionaldeterminante:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)} =\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & r\cos\varphi \end{vmatrix} =r\cos^2\varphi + r\sin^2\varphi = r
Flächenelement
Mit der Funktionaldeterminate ergibt sich für das Flächenelement in Polarkoordinaten:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm dA = |J|\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi = r\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi
Linienelement
Aus der obigen Transformationsgleichung
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec r=r\, \cos\varphi \, \vec e_x + r\, \sin\varphi \, \vec e_y
folgen
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm dx=\mathrm dr\, \cos\varphi - r\, \mathrm d\varphi \, \sin\varphi
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm dy=\mathrm dr\, \sin\varphi + r\, \mathrm d\varphi \, \cos\varphi
Für das kartesische Linienelement gilt
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm ds^2=\mathrm dx^2+\mathrm dy^2
wofür in Polarkoordinaten folgt
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm ds^2=\mathrm dr^2+\mathrm d\varphi^2 r^2
Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten
Die Geschwindigkeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \dot {\vec r}
ist gegeben durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \dot{\vec r}=\dot{r}\vec e_r + r\dot{\varphi}\vec e_\varphi
Die Beschleunigung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ddot {\vec r}
ist gegeben durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ddot{\vec r}=(\ddot r - r\dot\varphi^2) \vec e_r+(2\dot r \dot \varphi + r \ddot \varphi) \vec e_{\varphi}
Räumliche Polarkoordinaten: Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten
Zylinderkoordinaten
Zylinderkoordinaten oder zylindrische Koordinaten sind im Wesentlichen ebene Polarkoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind. Diese dritte Koordinate beschreibt die Höhe eines Punktes senkrecht über (oder unter) der Ebene des Polarkoordinatensystems und wird im Allgemeinen mit z bezeichnet. Die Koordinate Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbf{\rho}
beschreibt jetzt nicht mehr den Abstand eines Punktes vom Koordinatenursprung, sondern von der z-Achse.
Umrechnung zwischen Zylinderkoordinaten und kartesischen Koordinaten
Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem so ausrichtet, dass die z-Achsen zusammenfallen und die x-Achse in Richtung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varphi = 0
zeigt, dann ergeben sich die folgenden Umrechnungsformeln:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x=\rho\,\cos\varphi
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y=\rho\,\sin\varphi
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z=z \quad
Für die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten ergeben sich für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \rho\,
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varphi die gleichen Formeln wie bei den Polarkoordinaten.
Funktionaldeterminante
Die Hinzunahme der geradlinigen Koordinaten z hat keinen Einfluss auf die Funktionaldeterminante:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\varphi,z)}=\begin{vmatrix} \cos\varphi & -\rho\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & \rho\cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}=\rho
Folglich ergibt sich für das Volumenelement dV:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{d}V=\rho \,\mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}z
Das entspricht auch der Quadratwurzel des Betrags der Determinante des metrischen Tensors, mit dessen Hilfe die Koordinatentransformation berechnet werden kann (siehe dazu Laplace-Beltrami-Operator).
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{pmatrix}\mathrm dx\\\mathrm dy\\\mathrm dz\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\varphi&-\rho\sin\varphi&0\\ \sin\varphi&\rho\cos\varphi&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\mathrm d\rho\\\mathrm d\varphi\\\mathrm dz\end{pmatrix}
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{pmatrix}\mathrm d\rho\\\mathrm d\varphi\\\mathrm dz\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\ \frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\mathrm dx\\\mathrm dy\\\mathrm dz\end{pmatrix}
Vektoranalysis
Die folgenden Darstellungen des Nabla-Operators können in der gegebenen Form direkt auf Skalare- oder Vektorwertige Felder in Zylinderkoordinaten angewendet werden. Man verfährt hierbei analog zur Vektoranalysis in kartesischen Koordinaten
Die Darstellung des Gradienten überträgt sich wie folgt von kartesischen in Zylinderkoordinaten:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nabla \cdot f= \frac{\partial f}{\partial \rho } \vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \varphi} \vec{e}_\varphi+ \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
Bei der Divergenz kommen noch weitere Terme hinzu welche sich aus den Ableitungen der von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \rho\,\varphi\,z
abhängigen Einheitsvektoren ergeben:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nabla \cdot \vec{A}= \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho }(\rho A_\rho) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial A_z}{\partial z}
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nabla \times \vec{A}=(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \varphi}-\frac{\partial A_\varphi}{\partial z})\vec{e}_\rho+ (\frac{\partial A_\rho}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial \rho})\vec{e}_\varphi+\frac{1}{\rho}(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_\varphi)-\frac{\partial A_\rho}{\partial \varphi}) \vec{e}_z
Kugelkoordinaten
Kugelkoordinaten sind im Wesentlichen ebene Polarkoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind, und zwar in der gleichen Art und Weise, nämlich indem man einen Winkel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \theta \in [0,\pi]
für die dritte Achse spezifiziert. Diese dritte Koordinate beschreibt den Winkel zwischen dem Vektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{r}
zum Punkt P und der z-Achse. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \theta
ist genau dann null wenn P in der z-Achse liegt.
Für eine genauere Erklärung, siehe Kugelkoordinaten.
n-dimensionale Polarkoordinaten
Es lässt sich auch eine Verallgemeinerung der Polarkoordinaten für einen n-dimensionalen Raum mit kartesischen Koordinaten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_{i}\in \mathbb{R}
für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): i=1,\ldots,n
angeben. Dazu führt man für jede neue Dimension einen weiteren Winkel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vartheta_{i}\in (0,\pi)
ein, der den Winkel zwischen dem Vektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\in \mathbb{R}^{n}
und der Koordinate Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_{i+2}
angibt.
Umrechnung in kartesische Koordinaten
Eine Umrechnungsvorschrift von diesen Koordinaten in kartesische Koordinaten wäre dann:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{array}{lcr} x_{1} & = & r\ \cos\varphi\ \sin\vartheta_{1}\ \sin\vartheta_{2} \ \cdots\ \cos\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\ x_{2} & = & r\ \sin\varphi\ \sin\vartheta_{1}\ \sin\vartheta_{2} \ \cdots \ \cos\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\ x_{3} & = & r\ \cos\vartheta_{1}\ \sin\vartheta_{2} \ \cdots \ \cos\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2} \\ x_{4} & = & r\ \cos\vartheta_{2} \ \cdots\ \cos\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots \qquad\qquad\qquad\quad\\ x_{n-1} & = & r\ \cos\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\ x_{n} & = & r\ \cos\vartheta_{n-2} \end{array}
Wie man leicht nachweisen kann, gehen diese Polarkoordinaten für den Fall n=2 in die gewöhnlichen Polarkoordinaten und für n=3 in die Kugelkoordinaten über.
Funktionaldeterminante
Die Funktionaldeterminante der Transformation von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten beträgt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \det\frac{\partial(x_{1},\ldots,x_{n})}{\partial(r,\varphi,\vartheta_{1},\ldots,\vartheta_{n-2})}=r^{n-1} \sin\vartheta_{1} \left(\sin\vartheta_{2}\right)^{2}\ldots \left(\sin\vartheta_{n-2}\right)^{n-2}
Damit beträgt das n-dimensionale Volumenelement:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{matrix} \mathrm dV &=& r^{n-1} \sin\vartheta_{1} \left(\sin\vartheta_{2}\right)^{2}\ldots \left(\sin\vartheta_{n-2}\right)^{n-2} \mathrm dr\ \mathrm d\varphi\ \mathrm d\vartheta_{1} \ldots \mathrm d\vartheta_{n-2} \\ &=& r^{n-1}\ \mathrm dr\ \mathrm d\varphi\ \prod\limits_{j=1}^{n-2} (\sin\theta_{j})^{j}\ \mathrm d\vartheta_{j} \end{matrix}
Siehe auch
- Koordinate, geografische Koordinaten, Affine Koordinaten, Kreis, Zylinder, Box-Muller-Verfahren, Konfiguration (Mechanik)
Weblinks
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