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Quantile als Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion: Zwei Beispiele: Einmal die Standardnormalverteilung und einmal eine Chi-Quadrat-Verteilung mit drei Freiheitsgraden (schiefe Verteilung). Den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten werden ihre Quantile zugeordnet; die Fläche unter der abgebildeten Dichte von minus Unendlich bis zum Quantil ist der jeweilige Wert.

Quantile sind Punkte einer nach Rang oder Größe der Einzelwerte sortierten statistischen Verteilung.

Wird die gesamte Verteilung in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n

gleich große Teile unterteilt, so gibt es Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n-1
Quantile, also umgangssprachlich die Schnittstellen. Je nach dem wie groß Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n
gewählt wird, spricht man z. B. von Quartilen (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n=4

), Quintilen (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n=5 ), Dezilen (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n=10 ) und Perzentilen (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n=100 ). Dabei ist der Wert eines bestimmten Quantils (z. B. des zweiten Quintils) nicht größer als jeder Wert unterhalb dieses Quantils (siehe auch „Beispiele“).

Definition

Als Quantil der Ordnung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p oder Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p -Quantil (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Q_p

veraltet auch „Fraktil“) wird in der Statistik ein Merkmalswert bezeichnet, unterhalb dessen ein vorgegebener Anteil Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p

aller Fälle der Verteilung liegt. Jeder Wert unterhalb von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Q_p
unterschreitet diesen vorgegebenen Anteil. Deshalb wird Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p
auch als Unterschreitungsanteil bezeichnet. Dabei ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p
eine reelle Zahl zwischen 0 (gar kein Fall der Verteilung) und 1 (alle Fälle oder 100% der Verteilung).

Allgemeiner wird in der Mathematik das Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p -Quantil wie folgt definiert. Sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X

eine Zufallsvariable und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F
ihre Verteilungsfunktion, so heißt für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p\in(0,1)
die durch 

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F^{-1}(p):=\inf\{x\in\R:F(x)\ge p\}

definierte Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F^{-1}

Quantilfunktion. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F^{-1}(p)
wird als Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p

-Quantil von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F

(oder Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X

) bezeichnet.

Beispiel

Das Quantil Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Q_{.3}

(oder 0,3-Quantil) ist der Wert des Punktes einer Verteilung, unterhalb dessen sich 30 % aller Fälle der Verteilung befinden.

Besondere Quantile

Für einige bestimmte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p

haben die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p

-Quantile zusätzliche Bezeichnungen.

Median

Der Median oder Zentralwert entspricht dem Quantil Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Q_{.5}

(0,5-Quantil). Es erfolgt also eine Einteilung der gesamten Verteilung in zwei gleich große Teile. Bei jeder Einteilung in eine ungerade Anzahl von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p

-Quantilen mit äquidistant-verteilten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p

(was eine gerade Anzahl gleich großer Teile impliziert) entspricht der Median jeweils dem mittleren Quantil (beispielsweise dem 2. Quartil Q2 oder dem 50. Perzentil P50).

Quartil

Quartile (lat. „Viertelwerte“) sind die Quantile Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Q_{.25}

(0,25-Quantil), Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Q_{.5}
(0,5-Quantil=Median) und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Q_{.75}
(0,75-Quantil), die auch als Q1 („unteres Quartil“), Q2 („mittleres Quartil“) und Q3 („oberes Quartil“) bezeichnet werden. Sie sind die in der Statistik mit am häufigsten verwendete Form der Quantile.

Der Quartilabstand (engl. interquartile range) bezeichnet die Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil, also Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Q_{.75}-Q_{.25}

und umfasst daher 50% der Verteilung. Der Quartilabstand wird als Streuungsmaß verwendet.

Quintil

Durch Quintile (lat. „Fünftelwerte“) wird die Verteilung in 5 gleich große Teile zerlegt. Unterhalb des ersten Quintils, d. h. des Quantils Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Q_{.2} , liegen 20 % der Verteilung, unterhalb des zweiten Quintils (Quantil Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Q_{.4} ) 40 % usw.

Dezil

Durch Dezile (lat. „Zehntelwerte“) wird die Verteilung in 10 gleich große Teile zerlegt. Entsprechend liegen dann z. B. unterhalb des dritten Dezils (Quantil Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Q_{.3} ) 30 % der Verteilung.

Perzentil

Durch Perzentile (lat. „Hundertstelwerte“), auch Prozentränge genannt, wird die Verteilung in 100 gleich große Teile zerlegt. Perzentile teilen die Verteilung also in 1 %-Segmente auf. Daher können Perzentile als Quantile betrachtet werden, bei denen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 100 \cdot p

eine ganze Zahl ist. So entspricht das Quantil Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Q_{.97}
dem Perzentil P97: unterhalb dieses Punktes liegen 97 % aller Fälle der Verteilung.

Beispiele

• Wenn eine Schule 141 Schüler hat, so hat derjenige Schüler den Alters-Prozentrang von 50, der älter ist als die 70 jüngeren Schüler, aber jünger als die 70 älteren Schüler. Ein Prozentrang von 50 oder das 50. Perzentil entspricht dem 0,5-Quantil, also dem Median.
  Für den Prozentrang ist unerheblich, welche Altersunterschiede zwischen den Schülern bestehen; der Prozentrang gibt nur Auskunft über die Position des Einzelnen innerhalb der Gruppe (Stichprobe). Das Alter der Person mit Prozentrang 50 ist deshalb nicht identisch mit dem Durchschnittsalter der betrachteten Gruppe. Deshalb würde sich am Median auch nichts ändern, wenn man die älteren 70 Schüler durch 70 Rentner ersetzen würde.
• In einer Schulklasse sind 11 Aufsätze geschrieben worden, mit der folgenden (sortierten) Notenverteilung:

   Aufsatz A B C D E F G H I J K
   Note    1 2 2 3 3 3 4 4 4 5 6

Die Noten der Aufsätze C („2“), F („3“) und I („4“) entsprechen jeweils Q1, Q2 (d. h. dem Median) und Q3.

• Wird die Körpergröße eines Kindes als Perzentil ausgedrückt, bedeutet dies, dass die Körpergröße in Bezug auf die Körpergrößen der Altersgenossen angegeben wird. Eine Körpergröße auf dem 20. Perzentil bedeutet beispielsweise, dass 20% der Kinder gleichen Alters und gleichen Geschlechts nicht größer als das betreffende Kind sind (80% sind größer).

Siehe auch

• Modalwert
• Median
• Parameter (Statistik)
• Boxplot zur grafischen Darstellung
• Value at Risk