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Periodizität (Mathematik)

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In der Mathematik spricht man von Periodizität, wenn sich die Werte einer Funktion oder Folge in regelmäßigen Abständen wiederholen. Die Funktion oder Folge wird periodisch genannt, die Abstände zwischen dem Auftreten desselben Funktionswertes Periode.

Weiterhin wird Periode als Vereinfachungs-Begriff bei der Darstellung rationaler Zahlen im Dezimalsystem verwendet.

Inhaltsverzeichnis

Reelle Funktionen

Definition, Eigenschaften der Menge der Perioden und Beispiele

Eine reelle Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T 

ist eine Periode einer in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathcal{D}_f \subseteq \mathbb{R}
definierten Funktion, wenn gilt:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{cases}\forall x \in \mathbb{R}, & x \in \mathcal{D}_f \Longleftrightarrow x + T \in \mathcal{D}_f\\ \forall x \in \mathcal{D}_f, & f(x+T) = f(x) \end{cases}

.

Die Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f 

ist periodisch, wenn sie mindestens eine Periode Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T \neq 0
zulässt. Man sagt dann auch, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
sei „Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T

-periodisch“. Für die Periode gelten folgende Eigenschaften:

  • Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T 
eine Periode von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f

, so ist auch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -T 

eine Periode von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
  • Sind Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T_1 
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T_2
zwei Perioden von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f

, so ist auch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T_1+T_2 

eine Periode von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f

.

Meist interessiert man sich für die kleinste strikt positive Periode. Diese existiert für jede nichtkonstante stetige periodische Funktion (Eine konstante Funktion ist periodisch mit jeder beliebigen Periode ungleich 0).

Wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f 

eine kleinste strikt positive Periode hat, so sind die Perioden von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
die Vielfachen von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T

. Im anderen Fall ist die Menge der Perioden von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f 

dicht in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}

.

Die bekanntesten periodischen Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen, insbesondere der Sinus, der eine immer gleich bleibende Schwingung zwischen -1 und 1 durchführt, die sich im Abstand von 2π (π ist die Kreiszahl pi) wiederholt.

Periodische Funktionen als Funktionen auf der Kreislinie

Es sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S^1=\{z\in\mathbb C\mid |z|=1\} 

der Einheitskreis. Man kann periodische Funktionen auf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \R
mit Periode Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T
mit Funktionen auf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S^1
identifizieren: Einer Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
auf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S^1
entspricht die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T

-periodische Funktion

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\mapsto f(\mathrm e^{2\pi\mathrm i x/T}).

Eigenschaften der Funktionen wie Beschränktheit, Stetigkeit oder Differenzierbarkeit übertragen sich jeweils auf die andere Sichtweise.

Fourierreihen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sum_{n\in\mathbb Z}c_n\mathrm e^{\mathrm in\omega t} 

entsprechen Laurentreihen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sum_{n\in\mathbb Z}c_nz^n

.

Folgen

Definitionen

Eine Folge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_1,a_2,a_3,\ldots 

heißt periodisch, wenn es eine natürliche Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): d
gibt, so dass Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_n=a_{n+d}
für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n
gilt. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): d
heißt eine Periode der Folge. Spricht man von der Periode einer Folge, so ist die kleinste Periode gemeint; alle anderen Perioden sind dann Vielfache dieser kleinsten Periode.

Eine Folge heißt allgemeiner schließlich periodisch, wenn es natürliche Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): d 

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): N
gibt, so dass Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_n=a_{n+d}
für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n\geq N
gilt. Ein endlicher Teil der Folge ist also beliebig, und ab dem Index Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): N
wiederholen sich die Folgenwerte.

Eigenschaften

Ist eine Folge iterativ definiert, d.h. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_{n+1}=f(a_n) 

mit einer festen Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f

, und nimmt sie nur endlich viele Werte an, so wird sie schließlich periodisch.

Beispiel: Es sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_n 

die aus den letzten beiden Ziffern der Dezimaldarstellung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2^n
gebildete Zahl, für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n=0,1,2,\ldots
Diese Folge fängt an mit den Werten:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, 4

und ab da wiederholen sich die Werte.

Periodische Ziffernfolgen

Es sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b>1 

eine feste natürliche Zahl. Sind Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): q
natürliche Zahlen, so wird die Folge der Nachkommastellen der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b

-adischen Darstellung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac pq 

nach dem obigen Prinzip schließlich periodisch, weil sie iterativ durch die Reste bei der schriftlichen Division bestimmt wird, und diese Reste können nur die endlich vielen Werte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0,1,\ldots,b-1
annehmen.

Periodische Funktionen auf reellen Vektorräumen

Es sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): V 

ein Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n

-dimensionaler reeller Vektorraum, z. B. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \R^n . Eine Periode einer stetigen, reell- oder komplexwertigen Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f 

auf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): V
oder einem (offenen, zusammenhängenden) Teil Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D
von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): V
ist ein Vektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma\in V

, so dass

  • der Definitionsbereich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D 
von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
invariant unter der Translation mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma
ist, d. h. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\in D\iff x+\gamma\in D
  • für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\in D 
gilt: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x+\gamma)=f(x)

.

Die Menge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Gamma 

aller Perioden von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
ist eine abgeschlossene Untergruppe von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): V

. Jede solche Untergruppe ist die direkte Summe aus einem Unterraum von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): V 

und einer diskreten Untergruppe; letztere lässt sich beschreiben als die Menge der ganzzahligen Linearkombinationen einer Menge linear unabhängiger Vektoren.

Wendet man diese Theorie auf den reell zweidimensionalen Vektorraum Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): V=\mathbb C 

an und betrachtet nur holomorphe Funktionen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f

, so gibt es die folgenden Fälle:

  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Gamma=\{0\}
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f 
ist nicht periodisch.
  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Gamma=\mathbb Z\cdot\gamma
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f 
ist eine gewöhnliche periodische Funktion; beispielsweise ist die Exponentialfunktion periodisch mit Periode Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma=2\pi\mathrm i

.

  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Gamma 
enthält einen nichttrivialen reellen Unterraum: Eine holomorphe Funktion, die entlang einer Gerade konstant ist, ist insgesamt konstant.
  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Gamma=\mathbb Z\cdot\gamma_1+\mathbb Z\cdot\gamma_2
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f 
hat zwei reell linear unabhängige Perioden. Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
auf der ganzen Ebene meromorph, so spricht man von einer elliptischen Funktion.
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