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Ortsvektor
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Als Ortsvektor bezeichnet man in der Mathematik und Physik einen Vektor, der von einem festen Bezugspunkt zu einem bestimmten Punkt, dem Aufpunkt, zeigt. Der Ortsvektor wird auch als Aufpunktvektor oder Radiusvektor bezeichnet. Der Vorteil eines Ortsvektors besteht darin, daß mit seiner Hilfe die Position des Aufpunktes ohne Festlegung auf ein bestimmtes Koordinatensystem dargestellt werden kann.
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Ortsvektor in verschiedenen Koordinatensystemen
Der durch einen Ortsvektor beschriebene Aufpunkt kann durch die Koordinaten eines Koordinatensystems beschrieben werden, wobei der Bezugspunkt des Ortsvektors normalerweise in den Koordinatenursprung gelegt wird.
Kartesische Koordinaten
Üblicherweise wird der Ortsvektor in kartesischen Koordinaten in der Form
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec r = \vec r\,(x,y,z) = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}
definiert. Daher sind die kartesischen Koordinaten gleichzeitig die Komponenten des Ortsvektors.
Zylinderkoordinaten
Der Ortsvektor als Funktion von Zylinderkoordinaten ergibt sich durch Umrechnen der Zylinderkoordinaten in die entsprechenden kartesischen Koordinaten zu
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec r = \vec r\,(R,\varphi,z) = \begin{pmatrix} R\,\cos\varphi \\ R\,\sin\varphi \\ z\end{pmatrix}.
Kugelkoordinaten
Der Ortsvektor als Funktion von Kugelkoordinaten ergibt sich durch Umrechnen der Kugelkoordinaten in die entsprechenden kartesischen Koordinaten zu
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec r = \vec r\,(r,\vartheta,\varphi) = \begin{pmatrix} r\,\sin\vartheta\,\cos\varphi \\ r\,\sin\vartheta\,\sin\varphi \\ r\,\cos\vartheta\end{pmatrix}.
Basisvektoren
Die Basisvektoren in den verschiedenen Koordinatensystemen ergeben sich durch Normierung der partiellen Ableitungen des Ortsvektors nach den jeweiligen Koordinaten. Allgemein ergibt sich der zur Koordinate k gehörende Basisvektor zu
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec e_k = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial k}}{\left|\frac{\partial \vec r}{\partial k}\right|}\,.
Kartesische Koordinaten
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec e_x = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial x}}{\left|\frac{\partial \vec r}{\partial x}\right|} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\quad \vec e_y = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial y}}{\left|\frac{\partial \vec r}{\partial y}\right|} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad \vec e_z = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial z}}{\left|\frac{\partial \vec r}{\partial z}\right|} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.
Die Basisvektoren Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec e_x
, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec e_y
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec e_z sind zueinander orthonormal und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.
Zylinderkoordinaten
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec e_R = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial R}}{\left|\frac{\partial \vec r}{\partial R}\right|} = \begin{pmatrix} \cos\varphi \\ \sin\varphi \\ 0 \end{pmatrix},\quad \vec e_\varphi = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial \varphi}}{\left|\frac{\partial \vec r}{\partial \varphi}\right|} = \begin{pmatrix} -\sin\varphi \\ \cos\varphi \\ 0 \end{pmatrix},\quad \vec e_z = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial z}}{\left|\frac{\partial \vec r}{\partial z}\right|} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.
Die Basisvektoren Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec e_R
, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec e_\varphi
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec e_z sind zueinander orthonormal und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.
Kugelkoordinaten
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec e_r = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial r}}{\left|\frac{\partial \vec r}{\partial r}\right|} = \begin{pmatrix} \sin\vartheta\,\cos\varphi \\ \sin\vartheta\,\sin\varphi \\ \cos\vartheta \end{pmatrix},\quad \vec e_\vartheta = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial \vartheta}}{\left|\frac{\partial \vec r}{\partial \vartheta}\right|} = \begin{pmatrix} \cos\vartheta\,\cos\varphi \\ \cos\vartheta\,\sin\varphi \\ -\sin\vartheta \end{pmatrix},\quad \vec e_\varphi = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial \varphi}}{\left|\frac{\partial \vec r}{\partial \varphi}\right|} = \begin{pmatrix} -\sin\varphi \\ \cos\varphi \\ 0\end{pmatrix}.
Die Basisvektoren Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec e_r
, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec e_\vartheta
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec e_\varphi sind zueinander orthonormal und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.
Wegelement
Ein Wegelement oder Linienelement Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{d} \vec s
kann als totales Differential Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{d} \vec r des Ortsvektors dargestellt werden. Allgemein ergibt sich für das vektorielle Wegelement bei Verwendung der Koordinaten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k_i\,
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{d}\vec s = \mathrm{d}\vec r = \sum_i \frac{\partial \vec r}{\partial k_i} \,\mathrm{d}k_i\,.
Mit der obenstehenden Gleichung für die Basisvektoren kann man auch schreiben
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{d}\vec s = \mathrm{d}\vec r = \sum_i \vec e_{k_i} \left| \frac{\partial \vec r}{\partial k_i} \right| \,\mathrm{d}k_i\,.
Die Beträge der Ableitungen des Ortsvektors Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec r
nach den Koordinaten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k_i\, heißen metrische Koeffizienten
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g_{k_i} = \left| \frac{\partial \vec r}{\partial k_i} \right|.
Damit kann man das vektorielle Wegelement in der Form
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{d}\vec s = \mathrm{d}\vec r = \sum_i \vec e_{k_i}\,g_{k_i}\,\mathrm{d}k_i
darstellen. Für die bisher betrachteten Koordinatensysteme ergeben sich daraus die folgenden Darstellungsformen:
- Kartesische Koordinaten:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{d}\vec s = \mathrm{d}\vec r = \vec e_x\,\mathrm{d}x + \vec e_y\,\mathrm{d}y + \vec e_z\,\mathrm{d}z \,,
- Zylinderkoordinaten:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{d}\vec s = \mathrm{d}\vec r = \vec e_R\,\mathrm{d}R + \vec e_\varphi\,R\,\mathrm{d}\varphi + \vec e_z\,\mathrm{d}z \,,
- Kugelkoordinaten:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{d}\vec s = \mathrm{d}\vec r = \vec e_r\,\mathrm{d}r + \vec e_\vartheta\,r\,\mathrm{d}\vartheta + \vec e_\varphi\,r\,\sin\vartheta\,\mathrm{d}\varphi \,.
Physik
In der Physik sind viele Größen vom Ortsvektor abhängig, wie etwa die Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Massenpunktes, oder eine Dichteverteilung.
Der Betrag des Ortsvektors ist die Entfernung des Punktes vom Ursprung, da der Betrag gerade die Länge des Vektors ist.
Die Ableitung des Ortsvektors Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec r(t)
nach der Zeit t ergibt den Geschwindigkeitsvektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec v(t) = \dot \vec r(t)
- durch nochmalige Ableitung ergibt sich der Beschleunigungsvektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec a(t) = \dot \vec v(t) = \ddot \vec r(t)\,.
Trajektorie
Als Trajektorie bezeichnet man den Weg, auf dem sich ein Punkt (z.B. der Schwerpunkt eines Körpers) bewegt. Wenn man die Position eines Punktes durch einen Ortsvektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec r(t)
beschreibt, der von einem Parameter t (z.B. der Zeit) abhängt, so beschreibt die Abbildung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t \mapsto \vec r(t) bei Variation von t eine Trajektorie, d.h. zu jedem Wert von t gibt es einen bestimmten Punkt im Raum. Die Menge aller Punkte des Weges heißt Kurve, hier speziell Bahnkurve.
Wenn beispielsweise Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec r(t)
die zeitabhängige Bewegung eines Punktes beschreibt, so ergibt sich für die Länge des zwischen den Zeitpunkten t1 und t2 zurückgelegten Weges:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s_{1,2} = \int_{t_1}^{t_2} \left|\dot\vec r(t)\right|\,\mathrm{d}t = \int_{t_1}^{t_2} \left|\vec v(t)\right|\,\mathrm{d}t \,.
Himmelsmechanik
In der Himmelsmechanik wird der Orts- oder Radiusvektor verwendet, um die Position eines Himmelskörpers bezogen auf das Schwerezentrum anzugeben, um welches er sich auf einer Umlaufbahn bewegt. Der Radiusvektor liegt hierbei stets in Richtung der Gravitationslinie.
Siehe auch
Literatur
- Alexander Heigl: Mathematische Einführung in die Elektrizitätslehre (PDF, 649 kB). Lehrstuhl für Technische Elektrophysik, Technische Universität München. 18.10.2006.
- Klaus Desch: Mathematische Ergaenzungen zur Physik II, Kapitel 11: Vektoranalysis (PDF, 210 kB). Institut für Experimentalphysik, Hamburg.
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