Das Fotonexus-Wiki befindet sich im Testbetrieb.
Orthonormalität
Aus Fotonexus.
Als orthonormal (genauer: zueinander orthonormal) werden in der Mathematik Vektoren bezeichnet, die zueinander orthogonal sind und alle die Norm (anschaulich: Länge) eins besitzen. Eine Basis eines Vektorraums aus orthonormalen Vektoren bildet eine sogenannte Orthonormalbasis; für je 2 Vektoren Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_i, v_j
daraus gilt stets Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \langle v_i, v_j\rangle = \delta_{ij}
mit dem Kronecker-Delta Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \delta_{ij}
.
Bei einer Matrix, die aus orthonormalen Vektoren besteht, ist die Inverse gleich der Transponierten: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A^{T}=A^{-1} .
Beispiele
Die Standardbasis (kanonische Basis) des dreidimensionalen Raumes Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \R^3
– das ist die Basis mit der Darstellung {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0 , 1)} – ist orthonormal:
| Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left\|e_1\right\| = \left\|e_2\right\| = \left\|e_3\right\| = 1 | (jeder Vektor für sich ist normiert) |
| Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \langle e_1,e_2\rangle = \langle e_1,e_3\rangle = \langle e_2,e_3\rangle = 0 | (alle Vektoren sind paarweise zueinander orthogonal) |
In Funktionenräumen mit Skalarprodukt wie z.B. Hilberträumen werden auch Systeme orthonormaler Funktionen betrachtet.
Siehe auch: Bra-Ket-Notation
| Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort Orthonormalit%C3%A4t, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. |
