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Orthodrome
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Die Orthodrome (orthos <griech.> "gerade", dromos <griech.> "Lauf") ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche.
Die Orthodrome ist immer ein Teilstück eines Großkreises. In der Luftfahrt fliegt man meist entlang dieser Orthodrome, um die geringste Flugstrecke zurücklegen zu müssen. Damit ist die Orthodrome mit der so genannten Luftlinie identisch.
Bei der Navigation von Punkt A nach B mit einem Kompass eignet sich die Loxodrome besser, da sie immer mit dem gleichen Winkel die Meridiane kreuzt. Dafür ist die Strecke der Loxodrome allerdings auch etwas länger als die der Orthodrome.
Inhaltsverzeichnis |
Rechenformeln
Grundlage für die folgenden Berechnungen sind die Formeln aus der Sphärischen Trigonometrie.
| Verwendete Variablen | Bedeutung |
|---|---|
| Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \phi | Geographische Breite |
| Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \lambda | Geographische Länge |
| Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, A (\phi_A, \lambda_A) | Anfangspunkt |
| Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, B (\phi_B, \lambda_B) | Endpunkt |
| Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, P_N(\phi_N, \lambda_N) | Nördlichster Punkt der Orthodrome |
| Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \alpha | Kurswinkel bei A |
| Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \beta | Kurswinkel bei B |
| Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \zeta | Zentriwinkel (Strecke AB, ausgedrückt als Winkel) |
Dabei ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \lambda
in Richtung Westen positiv, Richtung Osten negativ; Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \phi ist positiv für Breiten der Nordhemisphäre und negativ auf der Südhalbkugel.
Nördlichster Punkt
Berechnung des nördlichsten Punkts einer Orthodrome für einen Anfangspunkt A und einen Anfangs-Kurswinkel α:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \phi_N = \arccos \Big( \sin(|\alpha_A|) \cdot \cos(\phi_A) \Big)
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda_N = \operatorname{sgn}(\alpha_A) \cdot \left| \arccos \left( \frac{\tan( \phi_A )}{\tan( \phi_N )}\right) \right|
Strecke
Als Winkel lässt sich die Strecke folgendermaßen angeben: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \zeta =\arccos\Big(\sin(\phi_A) \cdot \sin(\phi_B) + \cos(\phi_A) \cdot \cos(\phi_B) \cdot \cos(\lambda_B - \lambda_A) \Big)
Um die Distanz zwischen den zwei Punkten zu berechnen, muss Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \zeta
noch mit dem Erdradius (rund 6.370 km) multipliziert werden (für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \zeta im Bogenmaß; falls Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \zeta in Grad angegeben ist, muss noch zusätzlich mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2 \pi / 360 multipliziert werden).
Kurswinkel und rechtweisende Kurse
Kurswinkel
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha = \arccos \left( \frac{\sin(\phi_B) - \sin(\phi_A) \cdot \cos(\zeta)} {\cos(\phi_A) \cdot \sin(\zeta)}\right)
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \beta = \arccos \left( \frac{\sin(\phi_A) - \sin(\phi_B) \cdot \cos(\zeta)} {\cos(\phi_B) \cdot \sin(\zeta)}\right)
rechtweisende Kurse A => B
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, rwK_A = \alpha
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, rwK_B = 180^\circ - \beta
rechtweisende Kurse B => A
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, rwK_B = 360^\circ - \beta
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, rwK_A = 180^\circ + \alpha
Beispiel Berechnung der Entfernung Berlin - Tokio
Geographische Koordinaten der Anfangs- und Endpunkte:
- Berlin
- 52° 31' 0" N = 52,52°
- 013° 24' 0" E = 013,40°
- Tokio
- 35° 42' 0" N = 35,70°
- 139° 46' 0" E = 139,77°
Winkelberechnung
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \phi_A = 52{,}52^\circ
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \lambda_A = 13{,}40^\circ
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \phi_B = 35{,}70^\circ
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \lambda_B = 139{,}77^\circ
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \zeta =\arccos \Big( \sin(\phi_A) \sin(\phi_B) + \cos(\phi_A)\cos(\phi_B)\cos(\lambda_B - \lambda_A) \Big)
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \zeta =\arccos \Big( \sin(52{,}517^\circ) \sin(35{,}70^\circ) + \cos(52{,}52^\circ)\cos(35{,}70^\circ)\cos(139{,}767^\circ - 13,40^\circ) \Big)
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \zeta =\arccos(0{,}79353 \cdot 0{,}58354 + 0{,}60853 \cdot 0{,}81208 \cdot (-0{,}59296) )
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \zeta =\arccos( 0{,}1700)
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \zeta = 80{,}212^\circ
bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \zeta = 1{,}400
(Bogenmaß)
Streckenberechnung
Zur Vereinfachung wird von einer Erdkugel mit U = 40.000 km bzw. 6.370 km Radius ausgegangen.
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, L = \frac{\zeta}{360^\circ} \cdot 40\,000\ km
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, L = \frac{80{,}212^\circ}{360^\circ} \cdot 40\,000\ km
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, L = 8912\ km
Oder für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \zeta
im Bogenmaß:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, L = \zeta \cdot 6370\ km
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, L = 8918\ km
Das ist aufgrund der idealisierten Geodaten selbstverständlich nur eine Näherung. Die tatsächliche Entfernung zwischen Berlin und Tokyo kann bei Verwendung des WGS84 Referenzellipsoids zu 8941,2 km berechnet werden.
Genauere Formel zur Abstandsberechnung auf der Erde
Mit folgendem Algorithmus kann der Abstand zwischen 2 Standorten auf der Erde auf 50m genau berechnet werden:
b1 := Geografische Breite von Standort 1 l1 := Geografische Länge von Standort 1 b2 := Geografische Breite von Standort 2 l2 := Geografische Länge von Standort 2 f := Abplattung der Erde (1/298,257223563) a := Äquatorradius der Erde (6378,14 km) F := (b1+b2)/2 G := (b1-b2)/2 l := (l1-l2)/2 S := sin²(G)cos²(l) + cos²(F)sin²(l) C := cos²(G)cos²(l) + sin²(F)sin²(l) w := arctan(sqrt(S/C)) in rad R := sqrt(S*C)/w D := 2*w*a H1 := (3R-1)/(2C) H2 := (3R+1)/(2S)
Der Abstand s berechnet sich abschließend wie folgt:
s := D(1 + f*H1*sin²(F)cos²(G) - f*H2*cos²(F)sin²(G))
Berechnungsbeispiel Berlin - Tokio
b1 := 52,5167 l1 := 13,4000 b2 := 35,7000 l2 := 139,7667
f := 0,003352811 a := 6378,14
F := 44,10833333 G := 8,408333333 l := -63,18333333 S := 0,414982619 C := 0,585017381 w := 0,699965691 R := 0,703918833 D := 8928,958342 H1 := 0,950190999 H2 := 3,749261245
s := 8941,20671 km
siehe auch: Geodätische Linie, Abweitung
Weblinks
- Berechnung der Entfernung zwischen zwei geographischen Koordinaten
- Great Circle Mapper - Great Circle mapper including ETOPS ranges (englisch)
Quellen
Formel zur genaueren Abstandsberechnung:
- Meeus, J.: Astronomical Algorithms, S 85, Willmann-Bell, Richmond 2000 (2nd ed., 2nd printing), ISBN 0-943396-61-1
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