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Beim optischen Doppler-Effekt handelt es sich um die Frequenzverschiebung von elektromagnetischer Strahlung, die durch die Relativgeschwindigkeit zwischen Lichtquelle und Empfänger bewirkt wird.

Bei sich verringerndem Abstand erhöht sich die Frequenz der Strahlung, wobei das Farbspektrum ins Blaue verschoben wird. Man spricht von der sogenannten Blauverschiebung. Bei sich vergrößerndem Abstand verringert sich die Frequenz der Strahlung, und es kommt zu einer Rotverschiebung. Letztere hat in der Astronomie eine große Bedeutung erlangt.

Inhaltsverzeichnis 1 Funktionsweise 2 1. Fall: Lichtquelle Q in S' 3 2. Fall: Lichtquelle Q in S 4 3. Fall: Lichtquelle Q bewegt sich quer zum Empfänger E 5 4. Fall: Lichtquelle Q bewegt sich im Winkel α zum Empfänger E 6 Weblinks

Funktionsweise

Im Folgenden wird gezeigt, wie sich der optische Doppler-Effekt mit Hilfe des Minkowski-Raumes (siehe Lorentz-Transformation und Minkowski-Raum) veranschaulichen lässt und wie sich die einschlägigen Gesetze herleiten lassen.

Wir betrachten zwei relativ zueinander mit der Geschwindigkeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v

bewegte Bezugssysteme Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S
(schwarz) und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S'
(rot) im Minkowski-Raum. Irgendeines der beiden Systeme (hier Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S

) stellen wir rechtwinklig dar. Wie üblich ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w=c t .

Bild:Optdo01.png

Ein kontinuierlicher monochromatischer Lichtstrahl bewege sich längs der X-Achse nach rechts. Aus dem Lichtstrahl greife ich einen Wellenzug von gerade einer Wellenlänge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda

heraus. Das Ende dieses Wellenzuges befinde sich zur Zeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t=0
gerade in O. 

Im Minkowski-Raum bewegt sich der Wellenzug auf der Winkelhalbierenden der Achsen der Bezugssysteme, also unter dem Winkel 45° nach rechts oben. Die Punkte am Anfang, in der Mitte und am Ende des Wellenzuges sind durch hellblaue Punkte dargestellt. Ihre Weltlinien sind hellblaue Linien; die Weltlinien der übrigen Punkte des Wellenzuges bilden einen hellblauen Doppelstreifen.

Im System Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S

(schwarz) stellt sich die Wellenlänge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda
als die Strecke OA dar, im System Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S'
(rot) als die Strecke OB. Es ist also Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x(A) = \lambda
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x'(B) = \lambda'

. Offensichtlich ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda' > \lambda . Die Koordinaten des Punktes B im System Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S

sind 

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (\lambda + c \Delta t; c \Delta t) . Daraus kann Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x'(B) = \lambda'

berechnet werden:

Aus der Gleichung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x' = \frac {x - v t} {\sqrt{1 - \beta^2}}

der Lorentz-Transformationen ergibt sich mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x' = x'(B) = \lambda', x = \lambda + c \Delta t

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t = \Delta t

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda' = \frac {\lambda + c \Delta t - v \Delta t} {\sqrt{1 - \beta^2}} = \frac {\lambda + (c - v) \Delta t} {\sqrt{1 - \beta^2}}

Gemäß Abbildung ist

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac {c \Delta t} {\lambda + c \Delta t} = \tan \alpha = \frac {v} {c} =: \beta

und folglich

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c \Delta t = \frac {v} {c} (\lambda + c \Delta t)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (c - v) \Delta t = \frac {v} {c} \lambda = \beta \lambda

Oben eingesetzt ergibt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda' = \lambda \frac {1 + \beta} {\sqrt{1 - \beta^2}} = \lambda \sqrt { \frac { (1 + \beta)^2 } { (1 + \beta)(1 - \beta)} } = \lambda \sqrt { \frac {1 + \beta} {1 - \beta} }

Mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda' = c/f'

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda = c/f
ergibt sich:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac {c} {f'} = \frac {c} {f} \sqrt { \frac {1 + \beta} {1 - \beta} }

und schließlich

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f = f' \sqrt { \frac {1 + \beta} {1 - \beta} }

Bewegt sich das System Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S'

gegenüber dem System Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S
nach links, dann ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v
durch 

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (-v)

bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \beta
durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (-\beta)
zu ersetzen.

Damit ist die grundlegende Formel für den optischen Doppler-Effekt hergeleitet, und zwar unabhängig davon, in welchen Systemen sich die Lichtquelle Q bzw. der Empfänger E befinden. Darüber kann beliebig verfügt werden, woraus sich dann die verschiedenen Fälle ergeben.

1. Fall: Lichtquelle Q in S'

E befindet sich dann in S (allgemein: immer im jeweils anderen System). Da der betrachtete Wellenzug von links kommt, liegt auch Q links und bewegt sich auf E zu. Die Frequenz f' ist dann identisch mit der Quellenfrequenz f_Q, die Frequenz f identisch mit der vom Empfänger wahrgenommenen Frequenz f_E. Also gilt für den Fall, dass sich Q auf E (oder E auf Q) zu bewegt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_E = f_Q \sqrt { \frac {1 + \beta} {1 - \beta} }

2. Fall: Lichtquelle Q in S

In diesem Fall bewegt sich E von Q (oder Q von E) weg. Die Quellenfrequenz f_Q ist dann identisch mit f, und die empfangene Frequenz f_E ist identisch mit f'. Also ist:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_Q = f_E \sqrt { \frac {1 + \beta} {1 - \beta} }

und

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_E = f_Q \sqrt { \frac {1 - \beta} {1 + \beta} }

Dieses Ergebnis erweist sich als gleichwertig mit der Formel für den 1. Fall, wenn man bedenkt, dass sich S gegenüber S' nach links bewegt und daher v durch (-v) bzw. β durch (-β) ersetzt werden muss.