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Ohmsches Gesetz
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Als ohmsches Gesetz – benannt nach seinem Entdecker Georg Simon Ohm – wird die Tatsache bezeichnet, dass der Spannungsabfall U über bestimmte elektrische Leiter, sogenannte ohmsche Widerstände, direkt proportional zu dem hindurchfließenden elektrischen Strom der Stromstärke I ist, also
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U \sim I \,
.
Die Proportionalitätskonstante wird dabei als elektrischer Widerstand des Bauteils bezeichnet und mit R notiert, womit sich die Gleichung
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U = R \cdot I \,
ergibt. Als Einheit von R wird 1 Ohm = 1 Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Omega
= 1 V/A benutzt.
Um die Proportionalität von Spannung und Stromstärke bei konstantem Widerstand zu betonen, schreibt man auch
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R = \frac{U}{I} = \mathrm{const.} \,
.
Durch diese Gleichung wird der ohmsche Widerstand definiert.
Inhaltsverzeichnis |
Hintergründe
Mikroskopische Betrachtungsweise / maxwellsche Materialgleichung
In einer mikroskopischen Betrachtung wird das ohmsche Gesetz durch die lineare Abhängigkeit zwischen dem Stromdichte-Vektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbf{\vec j}_m
und dem elektrischen Feldstärke-Vektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbf{\vec E}_n
beschrieben, also
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbf{\vec{j}}_m = \mathbf{\sigma}_{mn} \cdot \mathbf{\vec{E}}_n \,
.
In isotropen Materialien ist der Tensor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma_{mn}
durch einen Skalar approximierbar und es gilt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbf{j} = \mathbf\sigma \cdot \mathbf{E} \,
.
Hierbei ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma
die elektrische Leitfähigkeit.
Wenn man die Bewegung freier Elektronen wie die ungeordnete Molekülbewegung eines Gases betrachtet, kann man Konstanz der elektrischen Leitfähigkeit plausibel machen. Die Zähldichte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n
der Elektronen ist dann innerhalb des Leiters konstant. Die mittlere Geschwindigkeit der Elektronen ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar v = 10,6 \cdot 10^6 m/s
. Die mittlere Wegstrecke Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda
zwischen zwei Stößen an Ionen im Metall wird in einer typischen Zeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tau_s zurückgelegt, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda = \bar v \tau_s
. In dieser Zeit erfahren die Elektronen eine Beschleunigung durch das angelegte E-Feld, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a = eE/m , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e
- Elementarladung, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m
- Elektronenmasse, und erreichen somit eine Driftgeschwindigkeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_d = a \tau_s
. Setzt man dieses in die Gleichung für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma
ein, erhält man:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma = \frac{j}{E} = \frac{ne v_d}{E} = \frac{nea\tau_s}{E} = \frac{ne^2\tau_s}{m} = \frac{ne^2\lambda}{m\bar v} \,
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar v hängen nur von der Geschwindigkeitsverteilung innerhalb der „Elektronenwolke“ ab. Da die Driftgeschwindkeit aber ca. 10 Größenordnungen kleiner ist als die mittlere Geschwindkeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar v
, ändert sich die Geschwindkeitsverteilung durch das Anlegen eines E-Feldes nicht und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tau_s sind konstant und somit der ganze Ausdruck für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma
.
Mathematische Betrachtung
Prinzipiell gilt für jedes Bauteil, dessen Spannungsfall nur vom Strom abhängt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U = f (I) \,
Wenn diese Funktion keine Sprungstellen aufweist, kann man sie in eine Potenzreihe entwickeln:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U = x_0 + x_1 \cdot I + x_2 \cdot I^2 + x_3 \cdot I^3 + \ldots \,
Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_0 = 0
(keine Spannungsquelle) und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_2, x_3, \ldots vernachlässigbar, bezeichnet man Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_1 als ohmschen Widerstand und bezeichnet ihn als Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R
.
Gültigkeitsbereich
Im Allgemeinen ist der Widerstand von mehreren Faktoren wie z. B. der Temperatur oder Stärke eines äußeren Magnetfeld abhängig. Obige Herleitung zeigt auch, dass das Gesetz wahrscheinlich nicht mehr gilt, wenn die Frequenz eines angelegten E-Feldes in die Nähe der Größe gelangt oder größer wird als das Inverse der mittleren Zeit zwischen zwei Stößen (siehe Plasmafrequenz).
Spezielle Legierungen, z. B. Konstantan. haben einen in weiten Bereichen nahezu temperaturunabhängigen Widerstand.
Nicht erfüllt ist das ohmsche Gesetz z. B. für Halbleitermaterialien, bei denen gerade dieses ausgenutzt wird.
Weblinks
- Übungsaufgaben zum ohmschen Gesetz
- Berechnungen - Das ohmsche Gesetz und das magische Dreieck
- Zusammenhang von Leistung Spannung Stromstärke Widerstand
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