Das Fotonexus-Wiki befindet sich im Testbetrieb.
Normalenvektor
Aus Fotonexus.
Ein Normalenvektor einer Ebene ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf dieser Ebene steht. Er schließt also mit den die Ebene aufspannenden Vektoren jeweils einen rechten Winkel ein. Ein Normalenvektor ist zwangsläufig verschieden vom Nullvektor.
Ein Normaleneinheitsvektor ist ein Normalenvektor der Länge 1 (normiert). Im dreidimensionalen Vektorraum hat jede Ebene genau zwei Normaleneinheitsvektoren.
Einen Normaleneinheitsvektor findet man am einfachsten, indem man das Kreuzprodukt zweier Vektoren bildet, die die Ebene aufspannen (Richtungsvektoren), und dieses durch den Betrag dieses Kreuzprodukts dividiert. Den zweiten findet man (im dreidimensionalen Raum) durch Multiplikation des ersten mit dem Faktor -1, alle weiteren Normalenvektoren durch Multiplikation mit einem beliebigen anderen Faktor t≠0.
Eine Ebene wird durch einen Normalenvektor sowie einen auf der Ebene liegenden Punkt eindeutig bestimmt, siehe Normalform und Hessesche Normalform.
Normalenvektoren von Kurven und Flächen
In der Analysis ist der Normalenvektor zu einer ebenen Kurve (in einem bestimmten Punkt) ein Vektor, der auf der Tangente in diesem Punkt orthogonal (senkrecht) steht. Die Gerade in Richtung des Normalenvektors durch diesen Punkt heißt Normale. Um die Normale in der xy-Ebene zu bestimmen, benutzt man folgende Gleichung:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m_t \cdot m_n = -1\,.
Dabei ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m_t\,
die Steigung der Tangente, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m_n\, die Steigung der Normalen.
Dadurch ergibt sich: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m_n = - \frac{1}{m_t}\,.
Entsprechend ist der Normalenvektor einer gekrümmten Fläche in einem Punkt der Normalenvektor der Tangentialebene in diesem Punkt. Der Normalenvektor einer Ebene, ist der Vektor, der auf ihr senkrecht steht. Wenn Vektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \overrightarrow{a}
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \overrightarrow{b}
die Fläche bilden, so ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Normalenvektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \overrightarrow{n}=\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \begin{pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end{pmatrix}
Anwendungen
Im Bereich der Computergrafik werden Normalenvektoren genutzt, um festzustellen, ob eine Fläche dem Benutzer zugewandt ist oder nicht. Der Einsatz von Normalenvektoren erlaubt dadurch Back Face Culling.
Siehe auch
| Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort Normalenvektor, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. |
