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Monotonie (Mathematik)
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In der Mathematik heißt eine Funktion oder Folge, die nur größer wird oder konstant ist (und niemals fällt), monoton steigend (oder monoton wachsend bzw. isoton). Entsprechend heißt eine Funktion oder Folge monoton fallend (antiton), wenn sie nur kleiner wird oder konstant bleibt.
Streng monoton steigend (bzw. streng monoton fallend) sind Funktionen oder Folgen, die nur größer (kleiner) werden, jedoch nicht konstant sind.
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Beispiele
Die Folge
- 1,3,5,7,9,11,...
ist streng monoton steigend.
Die Folge
- 1,3,3,5,6,8,8,9,1000,1200
ist monoton steigend, jedoch nicht streng monoton steigend (3 und 8 kommen doppelt vor).
Die Funktion
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y=x^3
ist über den gesamten Wertebereich streng monoton steigend. Bei x=0 hat sie zwar eine Steigung von 0, jedoch nur an diesem einen Punkt.
Die Funktion
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y=x^2
ist im Bereich von minus unendlich bis Null (einschließlich) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (x \leq 0)
streng monoton fallend. Im Bereich von Null (einschließlich) bis plus unendlich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (x \geq 0) ist sie streng monoton steigend.
Definitionen
Sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{matrix}f: A \rightarrow B\end{matrix}
eine Funktion. Auf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{matrix} A \end{matrix}
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{matrix} B \end{matrix}
sei jeweils eine Ordnungsrelation Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{matrix} \leq \end{matrix}
definiert. Dann heißt die Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{matrix} f \end{matrix}
monoton steigend, wenn:
für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a,b \in A: a < b \Rightarrow f(a) \leq f(b) .
Gilt anstelle von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(a) \leq f(b)
sogar Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{matrix}f(a) < f(b) \end{matrix}
, so heißt die Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{matrix} f \end{matrix}
streng monoton steigend.
Entsprechend gilt natürlich für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{matrix} \geq \end{matrix}
bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{matrix} > \end{matrix}
monoton fallend bzw. streng monoton fallend.
Eine Folge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (a_{n})_{n \in \mathbb{N}}
heißt monoton steigend, wenn für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n \in \mathbb{N}
gilt: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_{n+1} \geq a_n
.
Eine Folge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (a_{n})_{n \in \mathbb{N}}
heißt streng monoton steigend, wenn für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n \in \mathbb{N}
gilt: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{matrix}a_{n+1} > a_n\end{matrix}
.
Weitere Eigenschaften
Für eine reelle monotone Funktion f gilt:
- Sie hat in jedem Häufungspunkt ihres Definitionsbereichs einen linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert.
- Sie kann nur Sprungstellen als Unstetigkeitsstellen haben.
- Die Menge der Sprungstellen in ihrem Definitionsbereich ist abzählbar, muss aber nicht notwendigerweise endlich sein.
- Sie ist fast überall differenzierbar, d. h. die Menge der Stellen, an denen f nicht differenzierbar ist, bildet eine lebesguesche Nullmenge.
- Eine im Intervall [a,b] definierte monotone Funktion ist dort Riemann-integrierbar.
Monotonie differenzierbarer reeller Funktionen
- Eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall ist genau dann monoton wachsend (bzw. monoton fallend), wenn die Ableitung nirgendwo negativ (bzw. nirgendwo positiv) ist.
- Eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall ist genau dann streng monoton wachsend (bzw. streng monoton fallend), wenn die Ableitung
- nirgendwo negativ (bzw. nirgendwo positiv) und
- auf keinem Teilintervall konstant gleich null ist.
Umkehrfunktion
Sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I\subset\mathbb{R}
ein Intervall und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f:I\rightarrow\mathbb{R}
sei streng monoton wachsend/fallend und stetig. Dann ist
- die Bildmenge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I':= f\left(I\right)
ein Intervall
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f:I\rightarrow I'
bijektiv
- die Umkehrfunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f^{-1}:I'\rightarrow I
streng monoton wachsend/fallend und stetig
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f^{-1}\left(a\right)<b\Leftrightarrow a<f\left(b\right)
wenn wachsend und
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f^{-1}\left(a\right)<b\Leftrightarrow a>f\left(b\right)
wenn fallend
Monotoniegesetze
Für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left\{ a,\,b,\,c \right\} \in \mathbb{R}
gilt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left( a \le b \right) \Rightarrow \left[ \left( a + c \right) \le \left( b + c \right) \right]
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left( a \le b \right) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}{a\,c \le b\,c} & \text{ wenn } & {c \ge 0} \\ {a\,c \ge b\,c} & \text{ wenn } & {c \le 0} \end{matrix} \right.
Weblinks
- Monotonie von Funktionen (Das Verhalten der Funktion im Vergleich zur Ableitungsfunktion)
- Die Umkehrfunktion einer stetigen, streng monotonen Funktion
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