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Moment (Statistik)

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In der Statistik sind Momente Kenngrößen einer Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen. Sie entsprechen den Parametern der deskriptiven Statistik. Die Begriffe Erwartungswert, Varianz, Schiefe und Wölbung zur Beschreibung einer Funktion ergeben sich aus den sogenannten zentralen Momenten (siehe dort). Eine Verteilungsfunktion ist durch Angabe aller ihrer Momente bestimmt, falls diese existieren. Es gibt auch Verteilungen, deren Momente nicht existieren, wie z. B. die Lévy-Verteilung. Man unterscheidet gewöhnliche Momente, absolute, zentrale und das Moment um c.

Beispiel: Eine Normalverteilung ist beispielsweise durch ihren Erwartungswert und ihr zweites Moment festgelegt, da alle ungeradzahligen Momente verschwinden und die höheren geradzahligen Momente im direkten Zusammenhang zum zweiten Moment stehen.

Inhaltsverzeichnis

Gewöhnliche Momente

Es seien Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X 

Zufallsgröße, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k
eine natürliche und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r
eine reelle Zahl. Dann bezeichnet man als gewöhnliches Moment der Ordnung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k
bezüglich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r
(oder einfach als Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k

-tes gewöhnliches Moment) den Erwartungswert der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k -ten Potenz der auf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r 

"zentrierten" abgeleiteten Zufallsgröße:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m_k(r)=\operatorname{E}\left(\left(X - r\right)^k\right)


Stetige Zufallsvariable

Bei einer stetigen reellen Zufallsgröße mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_X 

ergibt sich damit:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m_k(r) := \int_{-\infty}^{\infty} \left(x - r\right)^{k} f_X(x)\;\mathrm{d} x


Diskrete Zufallsvariable

Bei einer diskreten reellen Zufallsvariable mit den Wahrscheinlichkeiten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p_i 

ergibt sich damit:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m_k(r)=\sum_{i=1}^\infty (x_i-r)^k p_i


gewöhnliche Momente (k-ter Ordnung)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m_1 = \operatorname{E}(x)
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m_2 = \operatorname{E}(x^2) = \operatorname{Var}(x)+(\operatorname{E}(x))^2


Absolute Momente

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M_k(r)=\operatorname{E}(|(X - r)|^k)


bezeichnet man als k-tes absolutes Moment von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x 

in Bezug auf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r

.

Zentrale Momente

Die zentralen Momente setzen für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r 

den Erwartungswert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \operatorname{E}(X)
selbst ein.
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu_k:=\operatorname{E}((X-m_1)^k)


Das zentrale Moment erster Ordnung ist gleich 0.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu_1=0


Das zentrale Moment zweiter Ordnung entspricht der Varianz.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu_2(\mu)=\operatorname{E}((X - m_1)^2)


Das zentrale Moment dritter Ordnung entspricht nach Normierung (geteilt durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma^3 ) der Schiefe.

Das zentrale Moment vierter Ordnung entspricht nach Normierung der Wölbung oder Kurtosis. Schiefe und Wölbung werden oft als Maß der Abweichung von der Normalverteilung benutzt.

Moment und die charakteristische Funktion

Durch mehrfaches Ableiten der Formel für die charakteristische Funktion erhält man eine Darstellung der gewöhnlichen Momente durch die charakteristische Funktion als:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \operatorname{E}(X^{k}) = \frac{\varphi_{X}^{(k)}(0)}{i^{k}} \quad (k=1,2,\dots)


Moment um eine Konstante Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c

  • das Moment um Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c 
(Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c
: Konstante, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k

-ter Ordnung): Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \operatorname{E}(x-c)^k


Momente um Null

Wird Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r=0 

angenommen, so spricht man von Momenten um Null, oder bezeichnet
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m_k=m_k(0)=\operatorname{E}((X-0)^k) = \operatorname{E}(X^k)


schlichtweg als das Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k -te Moment. Das Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k -te Moment kann mit der momenterzeugenden Funktion ermittelt werden.

Verbundmomente

Der Momentenbegriff lässt sich auch erweitern auf mehrere Zufallsvariablen. Im Falle z.B. zweier Zufallsvariablen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X 

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Y
sind die zentralen gemeinsamen Momente (engl. joint moments) von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X-\eta_X
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Y-\eta_Y
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu_{kr} = \operatorname E\left((X-\eta_X)^k(Y-\eta_Y)^r\right) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} (x-\eta_X)^k(y-\eta_Y)^rf_{xy}(x,y)\,dxdy


Es wäre dann Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu_{11} 

die Covarianz von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Y

.

Literatur

  • Athanasios Papoulis, S. Unnikrishna Pillai: Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. McGraw-Hill Publishing Co.; 4Rev Ed edition (2002), ISBN 0-07-366011-6.
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