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Moment (Physik)

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Physikalische Größe
Name Moment
Größenart Moment
Formelzeichen der Größe M
Größen- und
Einheitensystem 		Einheit Dimension
SI
M·L2·T−2
Siehe auch: Kraftmoment, Drehmoment, Torsionsmoment (MT, T)
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In der Mechanik bezeichnet man als Moment die drehende Wirkung, die von einem entgegengesetzt gerichteten, gegeneinander in der Wirkungslinie versetzten, gleich großen Paar gleich großer Kräfte ausgeübt wird. Den senkrechten Abstand der Wirkungslinien der beiden Kräfte bezeichnet man als Hebelarm.

Im technischen Bereich existiert eine Nomenklatur, in der das Drehmoment eine spezielle Momentart bezeichnet. Im allgemeinen Gebrauch des Begriffs Drehmoment umfasst dieser Begriff auch das, was hier unter Moment definiert wird.

Die Größe des Moments ist das Produkt aus einer der beiden Kräfte und dem senkrechten Abstand der Wirkungslinien der Kräfte. Diesen Abstand bezeichnet man als Hebelarm. Das Moment ist als Vektor darstellbar, der mit der Ebene, die von beiden Wirkungslinien gebildet wird, einen rechten Winkel bildet. (s. Kreuzprodukt). Die Richtung des Momentenvektors ist per Definition diejenige Richtung, in der eine Schraube mit Rechtsgewinde fortschreiten würde. Man bezeichnet dies auch als Rechte-Hand-Regel: die gekrümmten Finger zeigen in Drehrichtung, und der Daumen in Richtung des Momentenvektors. Der Momentenvektor wird im Unterschied zum Kraftvektor, der eine "Spitze" hat, mit zwei übereinander angeordneten Spitzen dargestellt.

Die physikalische Dimension des Moments ist demnach das Produkt aus Kraft und Hebelarm. Im SI-System hat ein Moment die abgeleitete Maßeinheit Newtonmeter (Nm), gleichbedeutend mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{\frac{kg \cdot m^{2}}{s^{2}}} .

Anmerkung: Die Einheit des Momentes ist auch die der physikalischen Arbeit. Allerdings muss das Moment um einen Winkel drehen, um Arbeit zu leisten, das Moment ist also mit dem dimensionslosen Winkel (in der dimensionslosen SI-Einheit Radiant) zu multiplizieren. Es werden also zwei verschiedene physikalische Größen mit der Einheit Newton mal Meter beschrieben.

Eine Kraft Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{P} , die in einem Punkt A angreift, kann man mit einer gleichen Kraft Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{Q} 

und entgegengesetzt gleicher Kraft Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{R}
ergänzen, die beide im Punkt B angreifen und sich dort gegenseitig aufheben. Betrachtet man nun Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{Q}
als eine von A nach B verschobene Version der Kraft Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{P}

, ergibt sich, dass zusätzlich ein Moment aus dem Kräftepaar Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{P} 

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{R}
entsteht. Das Moment ist in der folgenden Skizze ein Vektor, der in die Ebene hineinzeigt, und beträgt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \overrightarrow{BA} \times \vec{P}

, also das Kreuzprodukt aus dem Ortsvektor des Kraftangriffspunktes und dem Kraftvektor. (Vektoren in der folgenden Skizze durch Fettdruck gekennzeichnet.) 

        A                  A                   A
 P ---->o                  o            P ---->o    
        |                  |                   |
        |        =         |      +            |
        |                  |                   |
        o           Q ---->o                   o<---- R
        B                  B                   B

Wenn an einem Körper sehr viele Kräfte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{F}_1,\vec{F}_2,\vec{F}_3,\ldots

in den Punkten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{r}_1,\vec{r}_2,\vec{r}_3,\ldots

wirken, rechnet man sie in diesem Sinne auf einen gemeinsamen Bezugspunkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{r}_0 

um, indem man sie alle dorthin verschiebt und gleichzeitig die Momente
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{M}_1 = (\vec{r}_1-\vec{r}_0)\times\vec{F}_1
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{M}_2 = (\vec{r}_2-\vec{r}_0)\times\vec{F}_2
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{M}_3 = (\vec{r}_3-\vec{r}_0)\times\vec{F}_3
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ldots

einführt.

Wenn der Körper irgendwo befestigt ist, schneidet man ihn (in Gedanken) frei und bezieht die Schnittlasten in die Betrachtung mit ein. Schnittlasten sind die von der weggeschnittenen Umgebung auf den Körper ausgeübten Kräfte und Momente. Der Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn nicht nur alle (in den gemeinsamen Bezugspunkt umgerechneten) Kräfte in der Summe null sind, sondern auch alle Momente (die beim Verschieben der Kräfte in den Bezugspunkt hinzukommen):

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sum_{(i)} \vec{F}_i = 0\;,\quad \sum_{(i)}\vec{M}_i = \sum_{(i)}(\vec{r}_i-\vec{r}_0)\times\vec{F}_i = 0


Anderenfalls wird der Körper durch die Kräfte und Momente translatorisch und/oder rotatorisch beschleunigt. Hierbei wählt man als körperfesten Bezugspunkt am zweckmäßigsten den Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) am Ort Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{r}_G . Ein beliebiger Punkt des Körpers hat die Geschwindigkeit

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\partial r}{\partial t}= \frac{\partial r_G}{\partial t} +\vec{\omega} \times (\vec{r}-\vec{r}_G)\,,

wobei der Drehgeschwindigkeitsvektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{\omega} 

nach der Rechte-Hand-Regel in Richtung des Daumens zeigt, wenn die Fingerspitzen in Drehrichtung zeigen.

Aus dem zweiten newtonschen Gesetz („Kraft = Masse mal Beschleunigung“) ergibt sich der Schwerpunktsatz

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m \frac{\partial^2 \vec{r}_G}{\partial t^2} = \sum_{(i)} \vec{F}_i.

Der Drallsatz

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\partial}{\partial t}(\Theta \cdot \vec{\omega}) = \Theta \cdot \frac{\partial \vec{\omega}}{\partial t} + \vec{\omega} \times (\Theta \cdot \vec{\omega})= \sum_{(i)} \vec{M}_i\,.

kann unter der Annahme, dass zwischen den Punktmassen nur zentrale Kräfte wirken (d.h. die Kräfte zwischen den Punktmassen wirken entlang der Verbindungslinie) durch Integration über alle Punktmassen hergeleitet werden. Es sei deshalb angemerkt, daß der Drallsatz nicht bewiesen werden kann.

Darin ist m die Masse des Körpers. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {\Theta\,} 

ist der Massenträgheitstensor, im Allgemeinen ein Tensor zweiter Stufe, darstellbar als 3×3 Matrix. Seine Komponenten sind die im körperfesten System zeitlich konstanten Massenträgheits- und Deviationsmomente.

Im einfachsten Fall, wenn der Körper sich um eine raumfeste Achse dreht, die doppelt symmetrisch ist (d.h. beide Symmetrieebenen schneiden sich in der Drehachse), vereinfacht sich der Drallsatz zu „Massenträgheitsmoment mal Drehbeschleunigung = Momentensumme“ in Analogie zu „Masse mal Beschleunigung = Kräftesumme“.

In Wellen, Trägern und anderen Balken unterscheidet man die Schnittmomente

  • Biegemoment, Momentenvektor quer zur Achse, Balken wird gekrümmt
  • Torsionsmoment, Momentenvektor in Achsrichtung, Balken wird verdrillt

Man betrachtet dabei einen Teil des Balkens, von dem der restliche Balken (in Gedanken) weggeschnitten wurde, und definiert die Schnittkräfte und Schnittmomente als Komponenten des Kraftvektors und des Momentenvektors, den der weggeschnittene Teil auf das Schnittufer ausübt.

Literatur

Siehe auch

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