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Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort Modulo_%28Rest%29, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation.

Modulo (mit Betonung auf der ersten Silbe) oder mod ist eine insbesondere in der Informatik verbreitete Funktion, die den Rest aus der Division zweier Ganzzahlen angibt: (a mod m) bezeichnet also den (ganzzahligen) Rest aus der Division a:m. (In Programmiersprachen wird diese Funktion häufig durch den Operator % gekennzeichnet).

Einfaches Beispiel: 7 mod 2 = 1 (7:2 = 3 Rest 1; ebenso ist 7 mod 3 = 1)

Es gibt zwei Varianten der Modulo-Funktion, die für negative Argumente unterschiedliche Ergebnisse liefern:

• "Mathematische Variante":

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (a\;\bmod\;m)= a - \left \lfloor \frac{a}{m} \right \rfloor \cdot m

Die Gaußklammer Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lfloor \cdot \rfloor

bezeichnet den ganzzahligen Wert der Division a:m, also ohne den Rest. Für diese Variante gilt stets

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (a + km)\;\bmod\;m = a\;\bmod\;m\quad(k\in\mathbb Z),

aber im Allgemeinen ist

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (-a)\;\bmod\;m \ne-(a\;\bmod\;m),

z. B. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (-2)\;\bmod3=1\ne-2=-(2\;\bmod\;3)

.

Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m

positiv, so ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\;\bmod\;m\geq0
für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

.

• "Symmetrische Variante":

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (a\;\bmod\;m) = a - m\cdot (a\,\operatorname{div}\,m);

dabei bezeichnet Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\,\operatorname{div}\,m

den zur Null hin gerundeten Quotienten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a/m

. Für diese Variante gilt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (-a)\bmod m = -(a\bmod m)

,

aber im Allgemeinen

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (a + km)\;\bmod\;m\ne a\;\bmod\;m

, z. B. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (1 - 3)\;\bmod\;3=(-2)\;\bmod\;3=-2\ne 1=1\;\bmod\;3 .

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\;\bmod\;m

hat stets dasselbe Vorzeichen wie Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

, oder es gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\;\bmod\;m = 0 .

In Programmiersprachen ist üblicherweise die zweite Variante implementiert. Gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\geq 0

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m>0

, so ergeben beide Varianten dasselbe Ergebnis.

Beispiele:

• 17 mod 3 = 2, da 17 = 5×3 + 2 („drei passt fünf mal in 17 und es bleiben zwei übrig“ – der Rest ist also zwei)
• 2 mod 3 = 2, da 2 = 0×3 + 2
• 3 mod 3 = 0, da 3 = 1×3 + 0

Wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (a\;\bmod\;n) = (b\;\bmod\;n) , dann folgt nicht daraus, dass Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a = b

ist, sondern nur, dass sich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b
um ein ganzzahliges Vielfaches von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n
unterscheiden. Eine derartige Gleichung kann auch einfacher mit Hilfe der in der Zahlentheorie verbreiteten Kongruenzrelation geschrieben werden.

Praktische Anwendungen

• In der Kalenderberechnung (z. B. die relativ komplizierte Berechnung des Osterdatums)
• IBAN
• In der Kryptografie, z.B. beim Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch

Literatur

• "Basiswissen Zahlentheorie - Eine Einführung in Zahlen und Zahlenbereiche" - K. Reiss, G. Schmieder, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-21248-5

Siehe auch

• Berechnung der Ganzzahl einer Division mittels div
• Kongruenz (Zahlentheorie)
• Hash-Funktion und die dort genannten Verfahren
• Kleiner fermatscher Satz
• Satz von Euler
• Dualsystem (Umrechnen vom Dezimalsystem ins Dualsystem)

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