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Mittlere Krümmung
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In der Theorie der Flächen im dreidimensionalen Raum (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}^3 ), einem Gebiet der Differentialgeometrie, ist neben der gaußschen Krümmung und anderen Krümmungen die mittlere Krümmung ein wichtiger Begriff. Es gibt eber auch eine Verallgemeinerung in höhere Raumdimensionen, wir sprechen dann von einem mittleren Krümmungsvektor.
Definition
Gegeben seien eine reguläre Fläche im Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}^3
und ein Punkt dieser Fläche. Die mittlere Krümmung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H der Fläche in diesem Punkt ist das arithmetische Mittel der beiden Hauptkrümmungen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k_1 und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k_2
.
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H \, = \, \frac{1}{2} (k_1 + k_2)
- Von besonderem mathematischen Interesse sind sogenannte Minimalflächen, für welche Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H=0
bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k_1=-k_2 gilt.
Beispiele
- Im Falle einer Kugel(oberfläche) mit Radius Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r
ist die mittlere Krümmung gegeben durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H = 1 /r^2
.
- In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders mit Radius Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r
ist die mittlere Krümmung gleich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H = 1/r
.
- Sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X = X(u,v) = (u,v,f(u,v))
ein Graph über der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u-v Ebene. Dann berechnet sich die mittlere Krümmung durch die Formel:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H = \frac{(1+f_v^2)f_{uu} - 2f_uf_vf_{uv} + (1+f_u^2)f_{vv}}{\sqrt{1+f_u^2+f_v^2}^{3}}
.
- Diese Gleichung nennt man auch nicht-parametrische Gleichung vorgeschriebener mittlerer Krümmung.
Eigenschaften
- Sind Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E
, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G
bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L
, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): N
die Koeffizienten der ersten bzw. zweiten Fundamentalform, so gilt folgende Formel:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H = \frac{LG - 2MF + NE}{2(EG - F^2)}
- Wenn die erste Fundamentalform isotherm parametrisiert ist, d.h. es gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0<E=G
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F=0
, dann schreibt sich
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H = \frac{L+N}{2E}.
- Für eine Fläche Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X = X(u,v)
gilt die Gleichung
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H\vec{n} = g^{ij}\nabla_i\nabla_j X,
- mit der Einheitsnormale Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{n}
, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g_{ij}
als erster Fundamentalform und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nabla_i der kovarianten Ableitung.
- Wenn eine Fläche Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X = X(u,v)
isotherm parametrisiert ist, so genügt sie dem Rellichschen H-Flächensystem
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta X = 2H X_u\times X_v.
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