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Mittelwerte treten in der Mathematik und der Statistik in inhaltlich unterschiedlichen Kontexten auf. In der Statistik ist ein Mittelwert ein sog. Lageparameter, also ein aggregierender Parameter einer Stichprobe oder Grundgesamtheit. Ziel solcher aggregierender Parameter ist es, die wesentliche Information in einer längeren Reihe von (z.B.) Messdaten in wenigen Daten zu konzentrieren. In der Mathematik treten Mittelwerte, insbesondere die drei klassischen Mittelwerte (Arithmetisches, Geometrisches und Harmonisches Mittel) bereits in der Antike auf. Pappos von Alexandria kennzeichnet 10 verschiedene Mittelwerte m von 2 Zahlen a und b (a < b) durch spezielle Werte des Streckenverhältnisses (b - m):(m - a). Auch die Ungleichung zwischen harmonischem, geometrischem und arithmetischem Mittel ist in der Antike bereits bekannt und geometrisch interpretiert. Im 19. und 20. Jahrhundert spielen Mittelwerte in der Analysis eine spezielle Rolle, dort im wesentlichen im Zusammenhang mit berühmten Ungleichungen und wichtigen Funktionseigenschaften wie Konvexität (Hölder-Ungleichung, Minkowski-Ungleichung, Jensensche Ungleichung usw.). Dabei wurden die klassischen Mittelwerte in mehreren Schritten verallgemeinert, zunächst zu den Potenzmittelwerten und diese wiederum zu den quasi-arithmetischen Mittelwerten. Die klassische Ungleichung zwischen harmonischem, geometrischem und arithmetischem Mittel geht dabei über in allgemeinere Ungleichungen zwischen Potenmittelwerten bzw. quasi-arithmetischen Mittelwerten. Die wohl umfassendste Diskussion von Mittelwerten und der mit ihnen verbundenen Ungleichungen findet man in ^[1]. Wichtige ältere Texte zu Mittelwerten und ihren Ungleichungen sind: ^[2], ^[3].

Im Folgenden seien Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_1 \ldots x_n

gegebene reelle Zahlen, in der Statistik etwa Messwerte, deren Mittelwert berechnet werden soll.

Inhaltsverzeichnis 1 Arithmetisches Mittel 1.1 Anwendungsbeispiel 1.2 Gewichtetes arithmetisches Mittel 1.2.1 Statistik 1.2.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung 1.3 Beispiele zum gewichteten arithmetischen Mittel 1.4 Der Mittelwert einer Funktion 2 Geometrisches Mittel 2.1 Anwendungsbeispiel 3 Harmonisches Mittel 3.1 Beispiel 4 Gemeinsame Definition der klassischen Mittelwerte 5 Logarithmischer Mittelwert 6 Potenzmittelwert 7 Quasi-arithmetisches Mittelwert (f-Mittel) 8 Winsorisiertes oder gestutztes Mittel 9 Das „a-Mittel“ 10 Gleitende Durchschnitte 11 Sonstige Mittelwerte 12 Weiterführende Literatur 13 Siehe auch 14 Quellen 15 Weblinks

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt) ist der am häufigsten benutzte Mittelwert. Es ist so definiert:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{x}_{\mathrm{arithm}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n{x_i} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}

Beispiel für das arithmetische Mittel von 50 und 100:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{50+100}{2} = 75

Mittelwert in der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Sind Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_1,\dots X_n

Zufallsvariablen, die unabhängig und identisch verteilt mit Mittelwert bzw. Erwartungswert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu
und Varianz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma^2
sind, so hat der Stichprobenmittelwert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i
ebenfalls Mittelwert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu

, aber die kleinere Varianz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma^2/n . Hat also eine Zufallsvariable endlichen Mittelwert und endliche Varianz, so folgt aus der Tschebyschow-Ungleichung, dass das arithmetische Mittel einer Stichprobe gegen den Erwartungswert der Zufallsvariablen stochastisch konvergiert. Das arithmetische Mittel ist daher nach vielen Kriterien eine geeignete Schätzung für den Erwartungswert der Verteilung, aus der die Stichprobe stammt. Es ist allerdings sehr empfindlich gegenüber Ausreißern (siehe Median und Sonstige Mittelwerte).

Anwendungsbeispiel

Ein Auto fährt eine Stunde lang 100 km/h und die darauffolgende Stunde 200 km/h. Mit welcher konstanten Geschwindigkeit muss ein anderes Auto fahren, um den selben Weg ebenfalls in 2 Stunden zurückzulegen?

Der Weg Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s_1 , den das erste Auto insgesamt zurückgelegt hat, beträgt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s_1=100\ \mathrm{km/h} \cdot 1\ \mathrm{h}+200\ \mathrm{km/h} \cdot 1\ \mathrm{h}.

und der des zweiten Autos

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s_2=v_2 \cdot 2\ \mathrm{h},

wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_2

die Geschwindigkeit des zweiten Autos ist. 

Aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s_1=s_2

ergibt sich

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_2 \cdot 2\ \mathrm{h}=100\ \mathrm{km/h} \cdot 1\ \mathrm{h}+200\ \mathrm{km/h} \cdot 1\ \mathrm{h}.

und damit

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_2=\frac{100\ \mathrm{km/h}\cdot 1\ \mathrm{h}+200\ \mathrm{km/h} \cdot 1\mathrm{h}}{2\ \mathrm{h}}=\frac{100\ \mathrm{km}+200\ \mathrm{km}}{2\ \mathrm{h}}=150\ \mathrm{km/h}.

Gewichtetes arithmetisches Mittel

Statistik

Das gewichtete Mittel wird beispielsweise verwendet, wenn man Mittelwerte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_i , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): i=1,\dots, n

aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n
Stichproben  der gleichen Grundgesamtheit mit verschiedenen Stichprobenumfängen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w_i
miteinander kombinieren will:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n{w_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^n w_i}

.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Sind die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_i

unabhängig verteilte Zufallsgrößen (d. h. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_1
ist eine Zufallsgröße mit den Zufallsvariablen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_{11},..., X_{1n}
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_2
ist eine Zufallsgröße mit den Zufallsvariablen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_{21},...,X_{2m}
...) mit gemeinsamem Erwartungswert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu
aber unterschiedlichen Varianzen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma_i^2

, so hat der gewichtete Mittelwert ebenfalls Erwartungswert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu

und seine Varianz beträgt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma^2_{\bar{x}} = \frac{\sum_{i=1}^n w_i^2\sigma_i^2}{\left(\sum_{i=1}^n w_i\right)^2}

.

Wählt man

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w_i = \frac{1}{\sigma_{i}^2}

, so vereinfacht sich die Varianz zu

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma^2_{\bar{x}} = \frac{1}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{\sigma_i^2}}

.

Aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left(\sum_{i=1}^n w_i^2\sigma_i^2\right)\cdot\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{\sigma_i^2}\right)\geq \left(\sum_{i=1}^n w_i\right)^2

, die Wahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w_i = 1/\sigma_{i}^2

oder eine Wahl proportional dazu minimiert also die Varianz des gewichteten Mittels.

Mit dieser Formel lassen sich die Gewichte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w_i

abhängig von der Varianz des jeweiligen Wertes, der dementsprechend den Mittelwert mehr oder weniger stark beeinflusst, zweckmäßig wählen. 

Sind die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_i

speziell Stichprobenmittelwerte vom Umfang Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n_i
aus der selben Grundgesamtheit, so hat Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_i
die Varianz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma^2/n_i

, also ist die Wahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w_i=n_i

optimal.

Beispiele zum gewichteten arithmetischen Mittel

Das arithmetische Mittel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{x}_1

der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n_1=3
Zahlen 1, 2 und 3 beträgt 2, das arithmetische Mittel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{x}_2
der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n_2=2
Zahlen 4 und 5 beträgt 4,5. Das arithmetische Mittel aller 5 Zahlen ergibt sich als mit dem Stichprobenumfang gewichteter Mittelwert der Teilmittelwerte:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=\frac{3\frac{1+2+3}{3}+2\frac{4+5}{2}}{3+2}=\frac{n_1\bar{x}_1+n_2\bar{x}_2}{n_1+n_2}=\frac{6+9}{3+2}=3.

Liegen die Beobachtungen als klassierte Häufigkeit vor, kann man das arithmetische Mittel näherungsweise als gewichtetes Mittel bestimmen, wobei die Klassenmitten als Wert und der Klassenumfang als Gewicht zu wählen sind. Sind beispielsweise in einer Schulklasse ein Kind in der Gewichtsklasse 20 bis 25kg, 7 Kinder in der Gewichtsklasse 25 bis 30kg, 8 Kinder in der Gewichtsklasse 30 bis 35kg und 4 Kinder in der Gewichtsklasse 35 bis 40 kg, so lässt sich das Durchschnittsgewicht als

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{1 \cdot 22{,}5 + 7 \cdot 27{,}5 + 8 \cdot 32{,}5 + 4 \cdot 37{,}5}{1 + 7 + 8 + 4} = \frac{625}{20} = 31{,}25

abschätzen.

Weiteres Beispiel: Ein Bauer stellt im Nebenerwerb 100 kg Butter her. 10 kg kann er für 10 €/kg verkaufen, weitere 10 kg für 6 €/kg und den Rest muss er für 3 €/kg verschleudern. Zu welchem (gewichtetem) Durchschnittspreis hat er seine Butter verkauft? Lösung: (10 kg · 10 €/kg + 10 kg · 6 €/kg + 80 kg · 3 €/kg) / (10 kg + 10 kg + 80 kg) = 400 € / 100 kg = 4 €/kg. Der mit der jeweils verkauften Menge gewichtete Durchschnittspreis entspricht also dem fixen Preis, zu dem die Gesamtmenge verkauft werden müsste, um den gleichen Erlös zu erzielen wie beim Verkauf von Teilmengen zu wechselnden Preisen.

Der Mittelwert einer Funktion

Als Mittelwert der Riemann-integrierbaren Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f:[a,b]\to\R

wird die Zahl

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{f}:=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \mathrm{d}x

definiert.

Die Bezeichnung Mittelwert ist insofern gerechtfertigt, als für eine äquidistante Zerlegung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \{x_0,x_1, x_2,\dots x_n\}

des Intervalls mit der Schrittweite Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): h=\frac{b-a}{n}
das arithmetische Mittel

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m_n(f):=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\dots +f(x_n)}{n}=\frac{1}{b-a}\sum_{k=1}^nf(x_k)h

gegen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{f}\;

konvergiert, vgl. [4].

Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\;

stetig, so besagt der Mittelwertsatz der Integralrechnung, dass es ein Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \xi\in[a,b]
gibt mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(\xi)=\bar{f}\;

, die Funktion nimmt also an mindestens einer Stelle ihren Mittelwert an.

Der Mittelwert der Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)

mit dem Gewicht Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w(x)\;
(wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w(x)>0\;
für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x \in [a,b]

) ist

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{f} = \frac{\int_a^b f(t) w(t) \mathrm{d}t}{\int_a^b w(t) \mathrm{d}t}

.

Für Lebesgue-Integrale im Maßraum Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (\Omega, \mathcal A, \mu)

mit einem endlichen Maß Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu(\Omega)<\infty
lässt sich der Mittelwert einer Lebesgue-integrierbaren Funktion als

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{f}:=\frac{1}{\mu(\Omega)}\int_\Omega f(x)\,\mathrm{d}\mu(x)

definieren. Handelt es sich um einen Wahrscheinlichkeitsraum, gilt also Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu(\Omega)=1\; , so nimmt der Mittelwert die Form

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{f}:=\int_\Omega f(x)\,\mathrm{d}\mu(x)

an; das entspricht genau dem Erwartungswert von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\; .

Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel ist die n-te Wurzel aus dem Produkt der Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_1 \ldots x_n . :Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{x}_\mathrm{geom} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}

Es ist in der Statistik ein geeignetes Lagemaß für Größen, von denen das Produkt anstelle der Summe interpretierbar ist, z. B. von Verhältnissen oder Wachstumsraten.

Äquivalent dazu gilt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \log \bar{x}_\mathrm{geom} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log x_i

,

der Logarithmus des geometrischen Mittels ist also das arithmetische Mittel der Logarithmen, wobei die Basis des Logarithmus beliebig gewählt werden darf, aber auf beiden Seiten natürlich die gleiche sein muss.

Beispiel für das geometrische Mittel von 3 und 300:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt{3 \cdot 300} = 30

Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel ist das geometrische Mittel offensichtlich nur für nichtnegative Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_i\;

definiert und meist nur für echt positive Zahlen sinnvoll. 

Beispiel: Das Mittel aus einer Verdopplung und nachfolgender Verachtfachung einer Bakterienkultur ist eine Vervierfachung (nicht eine Vermehrung um den Faktor 5).

Analog zum gewichteten arithmetischen Mittel lässt sich ein mit den Gewichten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w_i>0

gewichtetes geometrisches Mittel definieren:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{x}_\mathrm{geom} = \sqrt[w]{\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}}

wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w=\sum_{i=1}^{n}w_i

Anwendungsbeispiel

Ein Guthaben G wird im ersten Jahr mit zwei Prozent, im zweiten Jahr mit sieben und im dritten Jahr mit fünf Prozent verzinst. Welcher über die drei Jahre konstante Zinssatz p hätte zum Schluss das gleiche Kapital ergeben?

Guthaben Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G_\mathrm{Ende}

am Ende des dritten Jahres:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G_\mathrm{Ende}=\left(1+\frac{2\%}{100\%}\right)\left(1+\frac{7\%}{100\%}\right)\left(1+\frac{5\%}{100\%}\right) G

oder mit Zinsfaktoren geschrieben

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G_\mathrm{Ende} = 1{,}02 \cdot 1{,}07 \cdot 1{,}05 \cdot G

Mit konstantem Zinsatz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p

und zugehörigen Zinsfaktor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1+p
ergibt sich am Ende ein Guthaben von

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G_\mathrm{konst} = (1 + p)^3\; G

Mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G_\mathrm{konst} = G_\mathrm{Ende}

ergibt sich

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (1+p)^3 G = 1{,}02 \cdot 1{,}07 \cdot 1{,}05 \cdot G

und damit berechnet sich der durchschnittliche Zinsfaktor 1+p zu

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1+p=\sqrt[3]{1{,}02 \cdot 1{,}07 \cdot 1{,}05}\approx 1{,}04646

Der durchschnittliche Zinsatz beträgt also ca 4,646%. Allgemein berechnet sich der durchschnittliche Zinsfaktor also aus dem geometrischen Mittel der Zinsfaktoren der einzelnen Jahre. Wegen der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist der durchschnittliche Zinssatz kleiner oder bestenfalls gleich dem arithmetischen Mittel der Zinssätze, welches in diesem Beispiel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tfrac{14}{3}\%\approx 4{,}667\%

beträgt.

Harmonisches Mittel

Das harmonische Mittel ist definiert als

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{x}_\mathrm{harm} = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}

Viele merken sich die Definition leichter in der äquivalenten Form

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{1}{\bar{x}_\mathrm{harm}} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}{n}

,

der Kehrwert des harmonischen Mittels ist also das arithmetische Mittel der Kehrwerte.

Für zwei Werte a und b ergibt sich

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{x}_\mathrm{harm} = \frac{2ab}{a +b}

Beispiel für das harmonische Mittel von 5 und 20:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{2}{\frac{1}{5}+\frac{1}{20}} = \frac{2}{\frac{1}{4}} = 8

oder

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{2 \cdot 5 \cdot 20}{5 + 20} = 8

Mit dieser Formel ist das harmonische Mittel zunächst nur für von Null verschiedene Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_i

definiert. Geht aber einer der Werte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_i
gegen Null, so existiert der Grenzwert des harmonischen Mittels und ist ebenfalls gleich Null. Daher ist es sinnvoll, das harmonische Mittel als Null zu definieren, wenn mindestens eine der zu mittelnden Größen gleich Null ist.

Auch hier lässt sich ein mit den Gewichten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w_i>0

gewichtetes harmonisches Mittel definieren:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{x}_\mathrm{harm} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n w_i}{\sum\limits_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}}

Beispiel

Fährt man eine Stunde mit 50 km/h und dann eine Stunde mit 100 km/h, so legt man insgesamt 150 km in 2 Stunden zurück; die Durchschnittsgeschwindigkeit ist 75 km/h, also das arithmetische Mittel von 50 und 100. Bezieht man sich hingegen nicht auf die benötigte Zeit, sondern auf die durchfahrene Strecke, so wird die Durchschnittsgeschwindigkeit durch das harmonische Mittel beschrieben: fährt man 100 km mit 50 km/h und dann 100 km mit 100 km/h, so legt man 200 km in 3 Stunden zurück, die Durchschnittsgeschwindigkeit ist 66 2/3 km/h, also das harmonische Mittel von 50 und 100.

Allgemein gilt: Benötigt man für die Teilstrecke Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s_1

die Zeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t_1
(also Durchschnittsgeschwindigkeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_1=s_1/t_1

) und für die Teilstrecke Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s_2

die Zeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t_2
(also Durchschnittsgeschwindigkeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_2=s_2/t_2

, so gilt für die Durchschnittsgeschwindigeit über die gesamte Strecke

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}=\frac{s_1+s_2}{\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}}=\frac{t_1v_1+t_2v_2}{t_1+t_2}

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist also das mit den Wegstrecken gewichtete harmonische Mittel der Teilgeschwindigkeiten oder das mit der benötigten Zeit gewichtete arithmetische Mittel der Teilgeschwindigkeiten.

Gemeinsame Definition der klassischen Mittelwerte

Die Idee, die den drei klassischen Mittelwerten zugrunde liegt, läßt sich auf folgende Weise allgemein formulieren:

Beim arithmetischen Mittel sucht man die Zahl m für die gilt:

m + m + ... + m = Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_1 + \cdots + x_n

,

wobei sich die Summe links über n Summanden erstreckt. Das arithmetische Mittel mittelt also bzgl. der arithmetischen Verknüpfung "Summe". Beim geometrischen Mittel sucht man die Zahl m, für die gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m \cdot m \cdot \cdots \cdot m = x_1 \cdot \cdots \cdot x_n

, wobei sich das Produkt links über n Faktoren erstreckt. Das geometrische Mittel mittelt also bzgl. der arithetischen Verknüpfung "Produkt".

Auch das harmonische Mittel läßt sich so interpretieren. Dazu ersetzt man die Verknüpfungen "Summe" bzw. "Produkt" durch die folgende neue Verknüpfung:

a * b = Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}

Nun löst das harmonische Mittel m die Gleichung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m * \cdots * m = x_1 * \cdots * x_n

. Man kann also allgemein einen Mittelwert bzgl einer (assoziativen und kommutativen) arithmetischen Verknüpfung definieren.

Logarithmischer Mittelwert

Der logarithmische Mittelwert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{x}_{a,b,ln}

zwischen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_a
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_b
ist definiert als:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{x}_{a,b,\ln} = \frac{x_b - x_a}{\ln (\frac{x_b}{x_a})} = \frac{x_b - x_a}{\ln(x_b)- \ln(x_a)}

Der logarithmische Mittelwert wird beispielsweise bei der verfahrenstechnischen Auslegung von Packungskolonnen genutzt. Er dient dort zur Mittelung der molaren Zusammensetzungen an Kopf und Boden der Kolonne .

Für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_a\neq x_b

liegt der logarithmische Mittelwert zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittelwert:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt{x_ax_b}<\frac{x_b - x_a}{\ln(x_b)- \ln(x_a)}< \frac{x_a+x_b}{2}

Eine Verallgemeinerung des logarithmischen Mittelwerts auf mehr als zwei Variablen findet sich beispielsweise in ^[5].

Potenzmittelwert

Für positive Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_i

definiert man den k-Potenzmittelwert (engl.: k-th power mean) als 

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{x}(k) = \sqrt[k]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i^k}}

Die Notation ist nicht einheitlich, alternativ sind auch Schreibweisen wie Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M_k(x) , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m_k(x)

oder Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu_k(x)
üblich. Genauso wie die Schreibweise ist auch die Bezeichnungsweise uneinheitlich; möglich sind Varianten wie Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k

-tes Mittel, Mittel der Ordnung oder vom Grad Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k

oder Mittel mit Exponent Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k

.

Mittels geeigneter Wahl des Parameters k können unter anderem die drei obigen Mittelwerte erzeugt werden:

• k → Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -\infty

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \min(x_1, x_2, \dots, x_n)

,

• k = -1: Harmonisches Mittel,
• k → 0: Geometrisches Mittel,
• k = 1: Arithmetisches Mittel,
• k = 2: Quadratisches Mittel oder Effektivwert (in der Elektrotechnik),
• k → Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \infty

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \max(x_1, x_2, \dots, x_n)

,

• k → -Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \infty

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \min(x_1, x_2, \dots, x_n)

. Für n=2 lässt sich das harmonische Mittel auch indirekt berechnen als Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{x}_{harm}=\frac{\bar{x}_{geom}^2}{\bar{x}_{arithm}} .

Die Potenzmittelwerte stehen über die einfache Formel

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{x}(k)=\sqrt[k]{m_k}

mit den Stichprobenmomenten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m_k

um Null in Beziehung. Außerdem wird in der Stochastik die Konvergenz im p-ten Mittel über diese Potenzmittelwerte definiert.

In der Mathematik spielen diese Potenzmittelwerte vor allem wegen der Ungleichung der verallgemeinerten Mittelwerte eine Rolle: Für -∞ ≤ s ≤ t ≤ ∞ gilt die Ungleichung:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{x} (s)\leq \bar{x} (t)

Diese Ungleichung lässt sich z.B. beweisen, indem man Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u_i:=x_i^s, v_i:=1

setzt und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u_i
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_i
in die Hölder-Ungleichung mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p=t/s
einsetzt.

Für die Spezialwerte -1, 0, 1, 2 gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{x}_\mathrm{min} \leq \bar{x}_\mathrm{harm} \leq \bar{x}_\mathrm{geom} \leq \bar{x}_\mathrm{arithm} \leq \bar{x}_\mathrm{quadr} \leq \bar{x}_\mathrm{max} .

Dieser Spezialfall lässt sich auch mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung, die ein Spezialfall der Hölder-Ungleichung ist, beweisen.

Quasi-arithmetisches Mittelwert (f-Mittel)

Sei f eine auf einem reellen Intervall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I

streng monotone stetige (und daher invertierbare) Funktion und seien

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w_i, 0\leq w_i\leq 1, \sum_i w_i =1

Gewichtsfaktoren. Dann ist für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_i\in I

das mit den Gewichten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w_i
gewichtete quasi-arithmetische Mittel definiert als

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{x}_f = f^{-1}\left(\sum_{i=1}^n w_i f(x_i)\right)

.

Offensichtlich gilt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \min(x_i)\leq \bar{x}_f \leq\max(x_i).

Für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)=x

erhält man das arithmetische, für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)=\log(x)
das geometrische Mittel, und für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)=x^k
das k-Potenzmittel.

Dieser Mittelwert lässt sich auf das gewichtete quasi-arithmetische Mittel einer Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\;

verallgemeinern, wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\;
in einem die Bildmenge von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x
umfassenden Intervall streng monoton und stetig sei, verallgemeinern:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{x}_f = f^{-1}\left(\frac{\int f(x(t)) w(t) \mathrm{d}t}{\int w(t) \mathrm{d}t}\right)

Winsorisiertes oder gestutztes Mittel

Kann man davon ausgehen, dass die Daten durch „Ausreißer“, d. h. einige wenige zu hohe oder zu niedrige Werte kontaminiert sind, so sortiert man die Beobachtungswerte nach aufsteigender Größe, schneidet eine gleiche Anzahl von Werten am Anfang und am Ende der Folge ab und berechnet von den übrig bleibenden Werten den Mittelwert. Ein 10% winsorisiertes Mittel erhält man, wenn man 5% der Gesamtzahl aller Werte am unteren und 5% am oberen Ende auslässt.

Das „a-Mittel“

Für einen gegebenen reellen Vektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a=(a_1,\dots,a_n)

mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sum_{i=1}^n a_i = 1 
wird der Ausdruck 

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [a]={1 \over n!}\sum_\sigma x_{\sigma_1}^{a_1}\cdots x_{\sigma_n}^{a_n},

wobei über alle Permutationen σ von { 1, ..., n } summiert wird, als „a-Mittel“ [a] der nichtnegativen reellen Zahlen x₁, ..., x_n bezeichnet.

Für den Fall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a=(1, 0, \dots,0) , ergibt das genau das arithmetische Mittel der Zahlen x₁, ..., x_n; für den Fall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a=(\tfrac 1 n, \dots, \tfrac 1 n)

ergibt sich genau das geometrische Mittel.

Für die a-Mittel gilt die Muirhead-Ungleichung.

Gleitende Durchschnitte

Gleitende Durchschnitte werden in der dynamischen Analyse von Messwerten angewandt. Sie sind außerdem ein gängiges Mittel der technischen Analyse in der Finanzmathematik. Mit gleitenden Durchschnitten kann das stochastische Rauschen aus zeitlich voranschreitenden Signalen herausgefiltert werden. Häufig handelt es sich dabei um FIR-Filter. Jedoch muss beachtet werden, dass die meisten gleitenden Durchschnitte dem echten Signal hinterherlaufen. Für vorausschauende Filter siehe z. B. Kalman-Filter.

Gleitende Durchschnitte benötigen normalerweise eine unabhängige Variable, die die Größe der nachlaufenden Stichprobe bezeichnet, bzw. das Gewicht des vorangehenden Wertes für die exponentiellen gleitenden Durchschnitte.

Gängige gleitende Durchschnitte sind:

• Arithmetische gleitende Durchschnitte (Simple Moving Average, SMA)
• Exponentiell gleitende Durchschnitte (Exponential Moving Average, EMA)
• Doppelt exponentiell gleitende Durchschnitte (Double EMA, DEMA)
• Dreifach, n-fach exponentiell gleitende Durchschnitte (Triple EMA, TEMA)
• Linear gewichtete gleitende Durchschnitte (linear abfallende Gewichtung)
• Quadratisch gewichtete gleitende Durchschnitte
• Weitere Gewichtungen: Sinus, Triangular, ...

In der Finanzliteratur können außerdem sogenannte adaptive gleitende Durchschnitte gefunden werden, die sich automatisch einer sich ändernden Umgebung (andere Volatilität/Streuung etc.) anpassen:

• Kaufmann's adaptive moving average (KAMA)
• Variable Index Dynamic Average (VIDYA)

Für die Anwendung von gleitenden Durchschnitten siehe auch Chartanalyse#Gleitende_Durchschnitte und ARMA-Modell#MA-Modell.

Sonstige Mittelwerte

Sonstige Mittelwerte, die in einem eigenen Artikel beschrieben werden sind der Modus (eigentlich kein Mittelwert, sondern der häufigste Wert) und der Median, der robust gegenüber extremen Abweichungen, sogenannten Ausreißern, ist.

Ein anderer Mittelwert ist das arithmetisch-geometrische Mittel, das zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel liegt.

Weiterführende Literatur

Die wohl umfassendste Diskussion von Mittelwerten und der mit ihnen verbundenen Ungleichungen findet man in ^[1]. Wichtige ältere Texte zu Mittelwerten und ihren Ungleichungen sind: ^[2], ^[3].

Siehe auch

• Median, Modus, Stochastik, Varianz, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Stage migration, Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, Effektivwert

Quellen

1. . ^{a b} P.S.Bullen: Handbook of Means an Their Inequalities, Kluwer Acad. Pub. 2003, ISBN 1-4020-1522-4.
2. . ^{a b} G.H.Hardy, J.E.Littlewood, G.Polya: Inequalities, Cambridge Univ. Press 1964.
3. . ^{a b} E.Beckenbach, R.Bellman: Inequalities, Springer, Berlin 1961.
4. ↑ H. Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1, 8. Auflage, Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6
5. ↑ A.O.Pittenger: The logarithmic mean in n variables. In: Amer. Math. Monthly, 92 (1985), S 99–104.

Weblinks

• Berechnung: 'geometrisches Mittel' zweier Werte und Vergleich dazu: 'arithmetisches Mittel'
• Mittelwerte mit eigenen Werten berechnen um die Formeln direkt auszuprobieren
• Mittelwert Mittelwert, Median und Modalwert in der Statistik

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