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Mittelpunkt
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Der Begriff Mittelpunkt wird in der Geometrie in folgenden Zusammenhängen gebraucht:
- Bei einer Strecke, einem Kreis, einer Kugel oder allgemein bei einer n-dimensionalen Sphäre ist der Mittelpunkt der Punkt, der von allen Punkten dieser Sphäre den gleichen (minimalen) Abstand besitzt. Diese Definition kann man allgemein in (vollständigen) metrischen Räumen vornehmen.
- Bei durch Quadriken beschriebenen Flächen zweiter Ordnung (z.B. Ellipsoide oder Kegel) sind die Mittelpunkte der Quadrik die Fixelemente einer Spiegelung, welche die vorgegebene Fläche in sich selbst überführt . Eine Quadrik kann keinen, genau einen oder eine ganze Gerade oder Ebene von Mittelpunkten haben. Hat sie genau einen Mittelpunkt, wird sie als Mittelpunktsquadrik bezeichnet.
Umgangssprachlich wird der Begriff Mittelpunkt auch häufig im Sinne von Schwerpunkt benutzt.
Siehe auch: Ausgezeichnete Punkte im Dreieck, Zentrum, Optischer Mittelpunkt
Beschreibung durch Koordinaten
Strecke
Ist der Endpunkt und der Anfangspunkt einer Strecke bekannt, so kann man die Koordinaten des Mittelpunktes über die Beziehungen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{x_m = \frac{x_1+x_2}{2}} , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{y_m = \frac{y_1+y_2}{2}}
bzw. zusätzlich bei einer Strecke im Raum mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{z_m = \frac{z_1+z_2}{2}}
ermitteln.
Kreis/Kugel
Ist eine Kreisgleichung der Form Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{r^2 = (x-a)^2+(y-b)^2}\,
gegeben, so kann man
die Koordinaten des Mittelpunktes direkt angeben über Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{M(a,b)}\, . Bei einer Kugel wird die Gleichung um die Z-Achse erweitert: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{r^2 = (x-a)^2+(y-b)^2}+(z-c)^2\, . Der Mittelpunkt ist somit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{M(a,b,c)}\, .
Literatur
- Grotemeyer, K. P.: Analytische Geometrie, Berlin: Sammlung Göschen/de Gruyter (4. Auflage 1969)
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