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Die vier maxwellschen Gleichungen beschreiben die Erzeugung von elektrischen und magnetischen Feldern durch Ladungen und Ströme, sowie die Wechselwirkung zwischen diesen beiden Feldern, die bei zeitabhängigen Feldern in Erscheinung tritt. Sie sind die Grundlage der Elektrodynamik und der theoretischen Elektrotechnik und wurden in den Jahren 1861 bis 1864 von James Clerk Maxwell entwickelt. Im Wesentlichen fasste Maxwell die bis zu diesem Zeitpunkt entdeckten Gesetzmäßigkeiten

• das ampèresche Gesetz,
• das Induktionsgesetz von Faraday und
• das gaußsche Gesetz

in einer vereinheitlichten Theorie zusammen und ergänzte sie um

• den maxwellschen Verschiebungsstrom,

um Konsistenz mit der Kontinuitätsgleichung zu erhalten. Somit sind die maxwellschen Gleichungen ein Standardbeispiel für eine vereinheitlichte Theorie, die verschiedene Phänomene, hier magnetische und elektrische, in einer geschlossenen Form erklären kann.

Übersicht

Für das Verständnis der folgenden Gleichungen sind Grundkenntnisse in Vektoranalysis erforderlich. Die maxwellschen Gleichungen lassen sich in differentieller und in integraler Form darstellen. Die Äquivalenz beider Formulierungen beruht auf dem Satz von Stokes und dem Satz von Gauß. Daneben gibt es eine elegante vierdimensionale Formulierung, die sogenannte kovariante Form (s. u.), die z.B. in der Relativitätstheorie und der Quantenelektrodynamik verwendet wird.

eines Volumens V ist gleich der elektrischen Ladung in seinem Inneren.

einer Fläche A ist gleich der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Fläche. Vorsicht – die unten dargestellte Formel gilt nur bei zeitlich konstanter Fläche.

und von der elektrischen Flussdichte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol D
ab. Die zeitliche Änderung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol D
wird auch als Verschiebungsstromdichte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol J_v
bezeichnet und ergibt als Summe mit der Leitungsstromdichte die totale Stromdichte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol J = \boldsymbol J_l + \boldsymbol J_v

Siehe auch: Differentielle und integrierte Form

Erläuterungen

Skalare Felder

Das Symbol ρ steht dabei für die Raumladungsdichte und stellt die über die Raum verteilte elektrische Ladung dar. Die Verteilung der Ladung im Raum ist ein skalares Feld.

Vektorfelder

Oben eingeführte Vektorfelder lassen sich in drei Bereiche einteilen, welche durch ihre jeweiligen Satz von Gleichungen beschrieben werden. Diese drei Bereiche sind das elektrische Strömungsfeld, das elektrische Feld und das magnetische Feld.

Elektrisches Strömungsfeld

Die elektrische Stromdichte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol J

als wesentlicher Bestandteil des Strömungsfeldes gibt an, wieviel Strom pro Fläche in welche Richtung fließt. Darin ist sowohl die Leitungsstromdichte, welcher durch den Fluss von elektrischen Ladungsträgern meist in elektrischen Leitern verursacht wird, und der Verschiebungsstrom enthalten. Die elektrische Stromdichte ist über die Materialgleichungen der Elektrodynamik und der dabei auftretenden elektrischen Leitfähigkeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma
mit der elektrischen Feldstärke Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol E
verknüpft.

Elektrisches Feld

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol D

ist die elektrische Flussdichte, historisch und etwas verwirrend auch als elektrische Verschiebungsdichte oder als elektrische Erregung bezeichnet. Hierbei handelt es sich um die Dichte des elektrischen Flusses welcher von elektrischen Ladungen ausgeht. Die elektrische Flussdichte ist über die Materialgleichungen der Elektrodynamik und der dabei auftretenden dielektrischen Leitfähigkeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varepsilon
mit der elektrischen Feldstärke Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol E
verknüpft.

Magnetisches Feld

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol B

ist die magnetische Flussdichte, auch historisch als Induktion bezeichnet. Hierbei handelt es sich um die Dichte des magnetischen Flusses welcher von bewegten elektrischen Ladungen verursacht wird. Die magnetische Flussdichte ist über die Materialgleichungen der Elektrodynamik und der dabei auftretenden magnetischen Leitfähigkeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu
mit der magnetischen Feldstärke Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol H
verknüpft.

Zusammenhang

Die in allen drei Bereichen auftretenden Materialgleichungen werden nicht direkt zu den Maxwellschen Gleichungen gezählt, sondern die drei Gleichungssätze:

• Maxwellsche Gleichungen
• Materialgleichungen der Elektrodynamik
• Kontinuitätsgleichungen der Elektrodynamik

stellen gemeinsam und unter gegenseitiger Ergänzung das Fundament der elektrodynamischen Feldtheorie dar. Die Materialgleichungen gelten in der allgemeinen Form sowohl für den leeren Raum als auch für mit Materie ausgefüllte Raumbereiche.

Aus historischen Gründen, manchmal auch um bestimmte Berechnungsvorgänge spezifisch darzustellen, werden die Materiegleichungen und die darin auftreten drei Leitfähigkeiten jeweils in den Anteil des leeren Raumes Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varepsilon_0

bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu_0
und den Anteil der Leitfähigkeit welcher durch die Materie verursacht wird Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varepsilon_r
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu_r
aufgespalten. Das elektrische Strömungsfeld existiert nicht im leeren Raum und ist immer an Materie gebunden, wodurch bei der elektrischen Leitfähigkeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma
als Stoffkonstante diese Aufspaltung nicht erfolgen kann. 

Für das elektrische Feld ergibt sich durch die Aufspaltung der dieelektrischen Leitfähigkeit die Möglichkeit zur Einführung eines weiteren Vektorfeldes, der elektrischen Polarisation Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol P . Hinweis: In der Fachliteratur wird manchmal die dielektrische Polarisation auch als elektrische Polarisation bezeichnet, da es dabei um das elektrische Feld geht. Da das Strömungsfeld keine Polarisation in diesem Kontext aufweist, ist diese Polarisation somit immer eindeutig dem elektrischen Feld zugewiesen. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol P

beschreibt getrennt von den Eigenschaften des leeren Raumes die geänderten Verhältnisse in Materie für das elektrische Feld. 

Analog dazu beschreibt die magnetische Polarisation Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol I

die von den Eigenschaften des leeren Raumes losgelösten Verhältnisse in Materie für das magnetische Feld. Aus der magnetischen Polarisation ergibt sich die Magnetisierung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol M

.

Grundsätzlich kann ohne Verlust auf die Einführung der Vektorfelder der elektrischen Polarisation Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol P

und der magnetischen Polarisation Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol I
und der fix verknüpften Magnetisierung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol M
verzichtet werden. Statt dessen werden die Abhängigkeiten in den Materialgleichungen und den entsprechend allgemein gefassten Leitfähigkeiten in Form von Tensoren höherer Ordnung berücksichtigt. Weiters können die Leitfähigkeiten auch Funktionen darstellen um nichtlineare Eigenschaften der Materie erfassen zu können. Diese Vorgangsweise empfiehlt sich auch für einen systematischen Zugang, wenn dieser über das SI-Einheitensystem erfolgt. Aus historischen Gründen, aber auch in bestimmten Teilbereichen der Physik, wird allerdings manchmal sehr intensiv von den P-, I- und M-Vektorfeldern Gebrauch gemacht, weshalb im Folgenden dieser Sachverhalt näher dargestellt wird.

Maxwellgleichungen in Materie

In isotroper Materie folgen aus den Materialgeichungen folgende Beziehungen:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol D := \varepsilon \boldsymbol E = \varepsilon_0 \varepsilon_r \boldsymbol E = \varepsilon_0 \boldsymbol E + \boldsymbol P

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol H := \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol B - \boldsymbol M

oder 

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol B := \mu \boldsymbol H = \mu_0 \mu_r \boldsymbol H =\mu_0 (\boldsymbol H + \boldsymbol M) = \mu_0 \boldsymbol H + \boldsymbol I

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol I = \mu_0 \boldsymbol M

In anisotroper Materie werden die Skalare Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varepsilon_r

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu_r
zu Tensoren 2. Stufe wobei die Beziehungen weiterhin Gültigkeit behalten. In nichtlinearen Materialien, deren Leitfähigkeiten beispielsweise von den jeweiligen Momentanwerten der Feldstärken abhängen, sind Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varepsilon_r
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu_r
als Funktionen aufzufassen. Die P und M-Felder verschwinden außerhalb der Materie was gleichwertig mit der Aussage ist, dass Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varepsilon_r=\mu_r=1
wird. 

Die elektrische Polarisierbarkeit oder dielektrische Polarisation ist dann mit der elektrischen Suszeptibilität Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {\chi_e} , bzw. der relativen Permittivität Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varepsilon_r

und der Vakuum-Permittivität (Dielektrizitätskonstante) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varepsilon_0
in As/Vm:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol P := \varepsilon_0 \chi_e \boldsymbol E = \varepsilon_0 ({\varepsilon_r}-1) \boldsymbol E

, mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {\varepsilon_r}=1+{\chi_e}

Die magnetische Polarisierbarkeit oder Magnetisierung ist, mit der magnetischen Suszeptibilität Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {\chi_m} , bzw. der relativen Permeabilität Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {\mu_r}

und der Vakuum-Permeabilität (magnetische Feldkonstante) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu_0
in Vs/Am:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol M := \chi_m \boldsymbol H = ({\mu_r} - 1) \boldsymbol H

, mit :Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {\mu_r}=1+{\chi_m}

Weiter ergibt sich die Definition der Brechzahl mit

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n:= \sqrt{{\varepsilon_r \mu_r}}

und der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c_0:= 1/ \sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}

was die Lichtgeschwindigkeit im Material mit den entsprechenden Konstanten in Verbindung bringt. So ist die Phasengeschwindigkeit im Medium

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c_p:=c_0 /n = 1 / \sqrt{\varepsilon_0 \mu_0 {\varepsilon_r \mu_r}}

,

die bei frequenzunabhängiger Brechzahl (ohne Dispersion) gleich der Gruppengeschwindigkeit im Medium ist.

Maxwellgleichungen in komplexer Schreibweise

Die in den Maxwellschen Gleichungen auftretenden Feldvektoren sind im allgemeinen nicht nur Funktionen des Ortes sondern auch der Zeit, beispielsweise Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol H(x,y,z,t) . In den partiellen Differantialgleichungen tritt dann neben den Ortsvariablen auch die Zeitvariable auf. Zur vereinfachten Lösung dieser Differentalgleichungen beschränkt man sich in Praxis oft auf harmonische (sinusförmige) Vorgänge. Diese Darstellung ist für die praktische Feldberechnung, beispielsweise bei der Berechnung von elektromagnetischen Schirmen oder für die Antennentechnik von wesentlicher Bedeutung.

Mit Hilfe der komplexen Schreibweise lässt sich die Zeitabhängigkeit bei harmonischen Vorgängen vermeiden, da sich der komplexe Zeitfaktor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e^{j\omega t}

dabei heraushebt. Die in den Maxwellschen Gleichungen auftretenden Feldgrößen sind dann komplexe Amplituden und nur noch Funktionen des Ortes. An Stelle der partiellen Differentation nach der Zeit tritt die Multiplikation mit dem imaginären Faktor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): j\omega

. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega

wird auch als Kreisfrequenz bezeichnet.

In komplexer Form, komplexe Größen sind zur Unterscheidung unterstrichen, lauten die Maxwellschen Gleichungen in Differentialform:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol \nabla \cdot \underline{\boldsymbol D} = \underline{\rho}

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol \nabla \cdot \underline{\boldsymbol B} = 0

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol \nabla \times \underline{\boldsymbol E} = -j\omega \underline{\boldsymbol B}

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol \nabla \times \underline{\boldsymbol H} = \underline{\boldsymbol J} = (\sigma + j \omega \varepsilon) \underline{\boldsymbol E}

Kovariante Formulierung der Maxwellgleichungen

In diesem Absatz wird, wie im übrigen Artikel, das SI-Einheitensystem verwendet. Dieses und die damit verbundenen Faktoren Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu_0

etc. empfinden viele Theoretiker gerade bei der kovarianten Formulierung der Elektrodynamik als unnatürlich und verwenden andere Systeme, etwa Gauß-Einheiten oder Heaviside-Lorentz-Einheiten, in denen die Grundgrößen der Elektrodynamik anders definiert werden. In der Literatur können deshalb verglichen mit dieser Darstellung Vorfaktoren wegfallen, hinzukommen oder an andere Stellen rücken.

Die Elektrodynamik, wie sie durch die Maxwellgleichungen beschrieben wird, ist verträglich mit der speziellen Relativitätstheorie. Dazu gehört, dass die Maxwellgleichungen in jedem Inertialsystem gelten, ohne dass sich beim Wechsel des Bezugssystems ihre Form ändert. Dies spielte historisch für die Entwicklung der Relativitätstheorie durch Albert Einstein eine wichtige Rolle.

Technischer formuliert sind die Maxwellgleichungen relativistisch kovariant oder forminvariant, das heißt, dass sie ihre Gestalt unter Lorentz-Transformationen nicht ändern.

Diese Eigenschaft ist den Maxwellgleichungen in der oben beschriebenen Form jedoch nicht ohne weiteres anzusehen. Es kann deshalb nützlich sein, durch eine Umformulierung der Theorie die Forminvarianz herauszuarbeiten, anders ausgedrückt: die Theorie „manifest kovariant“ zu schreiben.

Hierzu muss man die oben auftretenden Größen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol{E} , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol{B}

usw. durch Größen ausdrücken, die ein klar definiertes, einfaches Transformationsverhalten unter Lorentz-Transformationen haben, also durch Lorentz-Skalare, Vierervektoren und Vierer-Tensoren höherer Stufen.

Ausgangspunkt für diese Umformulierung bilden die elektromagnetischen Potentiale Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \phi

(skalares Potential) und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol{A}
(Vektorpotential), aus denen man die elektrischen und magnetischen Felder durch

• Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol{E} = -\boldsymbol{\nabla} \phi - \partial_t \boldsymbol{A}

• Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol{B} = \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A}

erhält (siehe auch Elektrodynamik). Diese Größen lassen sich zu einem Vierervektor, dem Viererpotential

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A^\mu = \left(\frac{\phi}{c}, \boldsymbol{A} \right)

zusammenfassen. Ebenso kann man aus Ladungsdichte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \rho

und Stromdichte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol{J}
die Viererstromdichte zusammensetzen, mit

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): j^\mu = (c \rho, \boldsymbol{J})

.

Aus dem Viererpotential wird der elektrodynamische Feldstärketensor abgeleitet, dessen Komponenten bis auf Vorzeichen und konstante Vorfaktoren, die vom Einheitensystem abhängen, gerade die der elektrischen und magnetischen Felder sind. Er hat die Form

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F^{\alpha\beta} = \partial^\alpha A^\beta - \partial^\beta A^\alpha = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} & -\frac{E_z}{c} \\ \frac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \\ \end{pmatrix}

. Man definiert den Vierergradienten, die relativistische Form der Ableitung, als

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \partial^\alpha=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, -\nabla \right)

.

Mit diesen Größen geschrieben kann man die beiden inhomogenen Maxwellgleichungen im Vakuum durch die kovariante Gleichung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \partial_{\alpha} F^{\alpha\beta} = \mu_0 j^{\beta}

ersetzen. Dabei wird, wie üblich, die Einsteinsche Summenkonvention benutzt, das heißt, über doppelt auftretende Indizes in Produkten (hier Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha ) wird summiert.

Man beachte, dass wegen der Antisymmetrie des Feldstärketensors auch die Kontinuitätsgleichung (Verschwinden der 4er-Divergenz) folgt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c \partial_t \rho + \mbox{div}\,\boldsymbol{J} = \mu_0 \partial_{\beta} j^{\beta} = \partial_{\alpha} \partial_{\beta} F^{\alpha\beta} = - \partial_{\alpha} \partial_{\beta} F^{\beta\alpha} = - \partial_{\beta} \partial_{\alpha} F^{\beta\alpha} = 0

.

Die beiden homogenen Maxwellgleichungen erhalten im Vakuum die manifest kovariante Form

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \partial_\alpha F_{\beta\gamma} + \partial_\beta F_{\gamma\alpha} + \partial_\gamma F_{\alpha\beta} = 0

Dies wird auch häufig mit dem Levi-Civita-Symbol kompakter geschrieben als

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \partial_\alpha F_{\gamma\delta} = 0

oder

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \partial_\alpha \mathcal{F}^{\alpha\beta} = 0

mit dem dualen Feldstärketensor

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathcal{F}^{\alpha\beta} = \frac{1}{2} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} F_{\gamma\delta},

dessen Komponenten man auch aus denen von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F^{\alpha\beta}

erhalten kann, indem man Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol{E}/c
durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol{B}
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol{B}
durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -\boldsymbol{E}/c
ersetzt. Also

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathcal{F}^{\alpha\beta} = \begin{pmatrix} 0 & -B_x & -B_y & -B_z \\ B_x & 0 & \frac{E_z}{c} & -\frac{E_y}{c} \\ B_y & -\frac{E_z}{c} & 0 & \frac{E_x}{c} \\ B_z & \frac{E_y}{c} & -\frac{E_x}{c} & 0 \\ \end{pmatrix}

.

Differentialformen ermöglichen eine besonders übersichtliche Darstellung der Maxwellgleichungen, die zudem automatisch kovariant ist. Dabei werden Viererpotential und Viererstromdichte durch die 1-Formen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): j
dargestellt, der Feldstärketensor durch die 2-Form Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F=dA
und sein Dual durch die 2-Form Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): *F
(das Symbol Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): d
steht bei Differentialformen für eine Ableitung und nicht etwa für ein unendlich kleines Differential). Die Maxwellgleichungen im Vakuum lauten dann (in Heaviside-Lorentz-Einheiten) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): *d*F=j
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): dF=0

.

Maxwell-Gleichungen bei Berücksichtigung von hypothetischen magnetischen Monopolen

Magnetische Monopole treten in einigen GUT-Theorien als mögliche oder notwendige Bestandteile auf. Mit ihnen ließe sich die Quantelung der elektrischen Ladung erklären, wie Paul Dirac schon 1931 erkannte. Bislang ist allerdings kein magnetischer Monopol beobachtet worden. Daher wird in den oben genannten Maxwell-Gleichungen auch angenommen, dass keine magnetischen Monopole (magnetische Ladungen) existieren.

Sollten in der Zukunft dennoch solche magnetischen Ladungen gefunden werden, so lassen sich diese in den Maxwell-Gleichungen problemlos berücksichtigen.

Setzt man Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \rho_m

für die Monopolladungsdichte, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol{J}_m=\rho_m \boldsymbol{v}_m
für die Stromdichte und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \boldsymbol{v}_m
für die Geschwindigkeit der sich bewegenden magnetischen Monopolladungen, so ändern sich nur zwei der vier oben genannten Gleichungen in differentieller Form zu

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mbox{div}\,\boldsymbol{B}=\rho_m

Interpretation: Die Feldlinien der magnetischen Flussdichte beginnen und enden in einer magnetischen Ladung.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mbox{rot}\,\boldsymbol{E}=-\left(\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{B}+\boldsymbol{J}_m\right)

Interpretation: Sich zeitlich ändernde magnetische Flussdichten oder das Vorhandensein von magnetischen Stromdichten führen zu elektrischen Wirbelfeldern.

Die anderen beiden differentiellen Gleichungen bleiben unverändert, während sich aber natürlich für die beiden neuen Gleichungen auch neue integrale (d. h. globalen) Darstellungen ergeben, die dann aber ohne weiteres mit den Integralsätzen von Gauß und Stokes berechnet werden können.

Der Fall der verschwindenden Monopole Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \rho_m=0

führt wieder auf die bekannten, oben angegebenen Gleichungen zurück.

Literatur

• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Springer-Verlag Berlin 2002. ISBN 3-540-42018-5

Weblinks

• Strukturierte, kompakte Zusammenstellung der Maxwellgleichungen (PDF-Datei)

Videos

• Anderthalbminütige Erklärung über Spulen und Magnetfelder (schnelle Verbindung) (langsame Verbindung)