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Matrizenoptik
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Die Matrizenoptik ist eine Rechenmethode in der geometrischen Optik, bei der die Veränderung von Lichtstrahlen durch optische Bauelemente mit Hilfe von Matrizen bestimmt wird. Diese nennt man (Strahl-)Transfermatrizen oder auch, nach ihren vier Einträgen, ABCD-Matrizen.
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Grundlagen
Man betrachtet die Lichtausbreitung entlang der optischen Achse, üblicherweise als z-Achse definiert. Für die Zwecke der geometrischen Optik kann der Zustand eines Lichtstrahles an einem Punkt (also bei einem bestimmten z) durch zwei Werte beschrieben werden: seinen Abstand r zur optischen Achse und den Winkel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha , den er mit ihr einschließt. Man kann den Strahl also mit einem z-abhängigen Vektor aus diesen beiden Komponenten darstellen: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec r (z)= \begin{pmatrix} r(z) \\ \alpha(z) \end{pmatrix}
Der Winkel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha
gibt dabei, da er die Neigung des Strahls darstellt, die Änderung von r mit z an. Im Rahmen der paraxialen Näherung, sprich mit nur geringen Abständen r zur optischen Achse und kleinen Neigungen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha
, gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin \alpha \approx \tan \alpha \approx \alpha . Somit besteht zwischen zwei Zustandsvektoren Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec r (z_1) , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec r (z_2)
desselben Strahls bei verschiedenen z-Werten ein linearer Zusammenhang, der mit einer Matrix beschrieben werden kann. Man multipliziert dazu die durch die Eigenschaften eines optischen Elementes bestimmte Transformationsmatrix an den ersten Vektor und erhält den zweiten, also die Eigenschaften des Strahles nach Durchgang durch das Element:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ \alpha_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}r_2 \\ \alpha_2 \end{pmatrix}
Die übliche Konvention ist, dass die Strahlrichtung (also die positive z-Achse) von links nach rechts verläuft. r wird oberhalb der Achse positiv, unterhalb negativ gezählt. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha
ist positiv, wenn der Strahl von der Achse weg zeigt, negativ, wenn er zu ihr hin zeigt.
Transfermatrizen wichtiger Elemente
Translation
Breitet sich ein Lichtstrahl ungehindert über die Distanz d entlang der optischen Achse aus, wird dies mit der folgenden Matrix des optischen Weges beschrieben:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T = \begin{bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
Die Translationsmatrix ist unabhängig von dem Medium, durch das der Strahl propagiert.
Es folgt der Vektor:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{pmatrix} r_2 \\ \alpha_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}r_1 + d \alpha_1 \\ \alpha_1 \end{pmatrix}
Ein sich einfach ausbreitender Strahl ändert also seine Neigung zur Achse nicht, sondern nur gemäß seiner Anfangsneigung seinen Abstand zu ihr.
Brechung an ebener Fläche
Wird ein Strahl an einer ebenen Fläche gebrochen, lautet die Transfermatrix gemäß dem Brechungsgesetz wie folgt:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac {n_1}{n_2} \end{bmatrix} ,
wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathit{n_1,\;n_2}
der Brechzahl der optischen Medien vor und nach der Grenzfläche entsprechen.
Brechung an gekrümmter Fläche
Wird ein Lichtstrahl an einer gekrümmten Fläche gebrochen, so lautet die Transfermatrix
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \left(\frac {n_1}{n_2} - 1 \right) \cdot \frac {1}{r} & \frac {n_1}{n_2} \end{bmatrix} ,
wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathit{r}
der Krümmungsradius und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathit{n_1,\;n_2} wiederum die Brechzahlen der optischen Medien vor und nach der Grenzfläche sind.
Dünne Linse
Aus der Linsengleichung oder durch Multiplikation zweier Kugelflächen-Brechungsmatrizen erhält man für den Durchgang durch eine dünne Linse
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac {1}{-f} & 1 \end{bmatrix} ,
wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathit{f}
der Brennweite der Linse entspricht. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathit{f}
ist größer 0, wenn die Linse fokussierend wirkt, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathit{f}
ist kleiner 0, wenn die Linse defokussierend wirkt.
Kombination von Elementen
Durchläuft ein Strahl mehrere optische Elemente hintereinander, so werden nacheinander die entsprechenden Transfermatrizen auf den Strahlvektor angewandt, was äquivalent dazu ist, sie zu multiplizieren und dann die Produktmatrix auf den Vektor anzuwenden. Dabei gelten die Regeln der Matrizenmultiplikation: durchläuft der Strahl drei Elemente in der Reihenfolge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T_1,T_2,T_3 , so wird das Produkt in der Reihenfolge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T_3*T_2*T_1
geschrieben und in der Reihenfolge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T_3*(T_2*T_1) ausmultipliziert.
So ergeben sich die Matrizen komplizierterer Bauteile aus den elementaren, etwa die einer dicken Linse aus denen einer gekrümmten Grenzfläche, einer Translation durch das Linsenglas und einer gegenläufig gekrümmten Grenzfläche; oder die eines Linsensystems aus Linse, Translation, Linse.
Alternative Konvention
Von einigen Autoren wird abweichend zur hier verwendeten Konvention der Strahlvektor definiert als Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec r (z)= \begin{pmatrix} r(z) \\ n \alpha(z) \end{pmatrix} , wobei n die Brechzahl des Mediums am Ort Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (r,z)
ist. Dies hat zur Folge, dass etwa in der Matrix für Translation durch ein Medium für dieses zusätzliche n korrigiert werden muss, sie lautet in dieser Konvention
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T = \begin{bmatrix} 1 & \frac {d}{n} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
und ist somit selbst explizit vom Medium abhängig.
Weitere Anwendungen
Gaußstrahlen
Die Anwendung der Matrizenoptik ist nicht auf die geometrische Optik beschränkt, sie lässt sich auch auf das Konzept der Gaußstrahlen übertragen. Hierzu bleiben die ABCD-Matrizen und ihre Multiplikationsregeln komplett erhalten, man wendet sie aber nicht mehr per Multiplikation auf einen Strahlvektor an, sondern auf den Strahlparameter q gemäß folgender Vorschrift:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): q_1(z) = \frac{Aq_0+B}{Cq_0+D}
.
Der Strahlparameter berechnet sich hierbei nach Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {1\over q}={1\over R}-{i\lambda\over \pi w^2}
mit R dem Krümmungsradius des Gaußschen Strahls, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda
der Wellenlänge und 2w dem Strahldurchmesser.
Polarisation
Ein zur geometrischen Matrizenoptik analoges Verfahren wird verwendet, um die Veränderung der Polarisation beim Durchgang durch optische Elemente zu berechnen. Der Polarisationszustand wird durch Jones-Vektoren ausgedrückt und mit Jones-Matrizen manipuliert.
Literatur
- D. Meschede: Optik, Licht und Laser. B.G. Teubner; Stuttgart, Leipzig ISBN 3-5191-3248-6
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