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Loxodrome
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Die Loxodrome (loxos <griech.> „schief“, dromos <griech.> „Lauf“) ist eine Kurve auf einer Kugeloberfläche, die immer unter dem gleichen Winkel die Meridiane im Geographischen Koordinatensystem schneidet und daher auch Kursgleiche, Winkelgleiche oder Kurve konstanten Kurses genannt wird.
Bei Schnittwinkeln größer 0° und kleiner 90° ist die Loxodrome nicht geschlossen; sie windet sich unendlich oft spiralförmig um die Erde herum und nähert sich dabei den Polen an, ohne sie zu erreichen. Beim Schnittwinkel 0° ist die Loxodrome selbst ein Meridian und somit Großkreis, geht also durch die Pole. Beim Schnittwinkel 90° ist die Loxodrome ebenfalls geschlossen, bildet einen Breitenparallel, also im Allgemeinen keinen Großkreis. Das ist nur im Spezialfall des Äquators der Fall, wenn also auf der Loxodrome die geographische Breite konstant 0° beträgt.
Früher wurde in der See- und Luftfahrt oft mit dem Kompass navigiert. Es war günstig, entlang einer Loxodrome zu reisen, da man dann immer nur einer Kompassrichtung folgen musste. Zwar ist die Strecke der Loxodrome immer länger als die der Orthodrome (nur wenn die Loxodrome auf einem Großkreis liegt, können sie gleich lang sein) – dafür muss man aber nicht ständig einen neuen Kurswinkel berechnen.
In der Kartografie sind auf Karten in der Mercator-Projektion die Loxodrome als gerade Linien abgebildet. Deshalb eignen sich diese besonders für die Navigation in der Schifffahrt.
Im Flugverkehr hingegen werden Lambertsche Schnittkegelprojektionen verwendet.
Berechnung
Die Formel für den Richtungswinkel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \eta
der Loxodrome leitet sich aus der erwähnten Eigenschaft der Mercatorprojektion her, Loxodrome als Geraden abzubilden.
Die Länge wird mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \lambda , die Breite mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \phi
bezeichnet.
In Richtung Westen ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \lambda
negativ, Richtung Osten positiv; Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \phi ist positiv für Breiten der Nordhemisphäre und negativ auf der Südhalbkugel.
Die Mercatorprojektion bildet einen Punkt mit den Koordinaten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, (\phi,\lambda)
auf die ebenen Koordintaen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \,(X,Y) ab, wobei:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, X = M_X(\lambda) = \lambda
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, Y = M_Y(\phi) = \ln \tan (\frac {\phi} {2} + \frac {\pi} {4})
Durch die Mercatorprojektion zweier Punkte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, A = (\phi_A, \lambda_A)
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, B = (\phi_B, \lambda_B)
entsteht in der Projektionsebene ein rechtwinkliges Dreieck mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \overline{(X_A,Y_A),(X_B,Y_B)}
als Hypotenuse und dem rechten Winkel bei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \,(X_B,Y_A)
. Für den Winkel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \varphi
bei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, (X_A,Y_A) ergibt sich:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tan \varphi = \frac{Y_B-Y_A}{X_B-X_A} = \frac{M_Y(\phi_B)-M_Y(\phi_A)}{\lambda_B-\lambda_A}
Unter Verwendung der zweistelligen Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, \varphi(y,x)
die zu den kartesischen Koordinaten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, x und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \, y den Winkel der Polarkoordinatendarstellung liefert und als Atan2-Funktion in den meisten Programmiersprachen zur Verfügung steht, erhält man:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varphi = \varphi\,(M_Y(\phi_B)-M_Y(\phi_A),\; \lambda_B-\lambda_A) = \varphi\,\left(\ln \frac{\tan (\frac {\phi_B} {2} + \frac {\pi} {4})}{\tan (\frac {\phi_A} {2} + \frac {\pi} {4})},\; \lambda_B-\lambda_A\right)
Der Richtungswinkel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \,\eta
der Loxodromo, der von Nord über Ost im Uhrzeigersinn berechnet wird, ist dann:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \eta = \frac{\pi}{2} - \varphi
Die Strecke, die man zwischen Punkt A und B auf der Loxodrome zurücklegt, beträgt:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): l = \sqrt { (\phi_B - \phi_A)^2 + (M_Y(\phi_B)-M_Y(\phi_A))^2 \cdot (\lambda_B - \lambda_A)^2 }
Weblinks
- Escher-Bild (M. C. Escher, 1958)
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