Das Fotonexus-Wiki befindet sich im Testbetrieb.

Lorentzoszillator

Aus Fotonexus.

Wechseln zu: Navigation, Suche
Dieser Artikel oder Abschnitt bedarf einer Überarbeitung. Näheres ist auf der Diskussionsseite angegeben. Hilf bitte mit, ihn zu verbessern, und entferne anschließend diese Markierung.


Das Modell des Lorentzoszillators wird zur mathematischen Modellierung der (frequenzabhängigen) elektronischen Polarisation eines Festkörpers und damit von dessen dielektrischer Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \epsilon(\omega) 

verwendet. Die dielektrische Funktion ist von großer Bedeutung, da sie die optischen Eigenschaften eines Stoffes beschreibt.

Inhaltsverzeichnis

Mathematische Modellierung

Bewegungsgleichung

Die Dynamik von Elektronen, Ionen als auch von permanenten Dipolen in einem Festkörper kann vereinfacht durch einen gedämpften harmonischen Oszillator beschrieben werden. Die Betrachtungen im Folgenden seien o.B.d.A. auf die Elektronen bezogen; für Ionen und permanente Dipole lassen sich analoge Bewegungsgleichungen aufstellen. Die Wechselwirkung mit einem elektromagnetischen Wechselfeld, z.B. Licht, Radio- oder Mikrowellen, geht dabei als periodische Antriebskraft in die Bewegungsgleichung ein:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m \frac{d^2 x}{dt^2} + m \beta \frac{dx}{dt} + m \omega_0^2 x = -eE^0_\mathrm{lokal}e^{-i \omega t}


mit

  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m
Masse
  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x
Auslenkung des Gitteratoms
  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t
Zeit
  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \beta
Dämpfung
  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega
Kreisfrequenz des treibenden Feldes
  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega_0
Eigenfrequenz des ungedämpften harmonischem Oszillators
  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -e
Elementarladung
  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E^0_\mathrm{lokal}
lokale Amplitude des treibenden elektrischen Wechselfeldes

Die stationäre Lösung dieser Bewegungsgleichung lautet

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x(t) = -\frac{e}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2 - i \beta \omega}E^0_\mathrm{lokal}e^{-i \omega t}

ihr Graph stellt eine Lorentzkurve dar.

Dielektrische Funktion

Bild:Dielektr-funktion.png
Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion in Abhängigkeit der Frequenz des treibenden Feldes

Mittels des Zusammenhangs zwischen dielektrischer Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \epsilon(\omega) 

und der elektrischen Suszeptibilität, der wie folgt lautet:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \epsilon = 1+N_v \frac{ex(t)}{\epsilon_0 E^0_\mathrm{lokal}e^{-i\omega t}} 

,

erhält man:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \epsilon(\omega) = 1 + \frac{N_v e^2}{\epsilon_0 m} \frac{1}{\omega_1^2 - \omega^2 - i \beta \omega}

mit

  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): N_v
Gitteratome pro Volumeneinheit
  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): i
imaginäre Einheit
  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega_1^2 = \omega_0^2-\frac{1}{3} N_v \frac{e^2}{\epsilon_0 m}
  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \epsilon'(\omega)
Realteil der dielektrischen Funktion
  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \epsilon''(\omega)
Imaginärteil der dielektrischen Funktion

Die dielektrischen Funktion lässt sich wie folgt in Real- und Imaginärteil Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \epsilon' 

bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \epsilon''
formulieren:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \epsilon(\omega) \equiv \epsilon'(\omega) + i \epsilon''(\omega) 
mit

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \epsilon'(\omega) = 1+ \frac{N_v e^2}{\epsilon_0 m} \frac{\omega_1^2 - \omega^2}{(\omega_1^2 - \omega^2)^2 + \beta^2 \omega^2}


Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \epsilon''(\omega) = \frac{N_v e^2}{\epsilon_0 m} \frac{\beta \omega}{(\omega_1^2 - \omega^2)^2 + \beta^2 \omega^2}

Zusammenhang mit der komplexen Brechzahl

Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion sind wie folgt mit der komplexen Brechzahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): N 

verbunden:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): N \equiv n+i\kappa 
mit

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n=\left( \frac{ \sqrt{\epsilon'^2 + \epsilon''^2} + \epsilon'}{2} \right)^\frac{1}{2}


Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \kappa=\left( \frac{ \sqrt{\epsilon'^2 + \epsilon''^2} - \epsilon'}{2} \right)^\frac{1}{2}

Hierbei bezeichnet Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n 

die (reelle) Brechzahl, die die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts im Medium gemäß  Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_\mathrm{medium} = c_0 / n
festlegt.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \kappa 

steht für den (reellen) Absorptionskoeffizienten. Die in das Medium eindingende evaneszente Welle klingt gemäß Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \exp(-2\kappa \omega z /c_0)
exponentiell ab.

Bemerkungen

  • Frequenzabhängigkeit der dielektrischen Funktion, der Brechzahl sowie des Absorptionskoeffizienten werden im Wesentlichen korrekt wiedergegeben
  • Reale Materialen weisen stets mehr als nur eine Resonanzfrequenz auf, da mehrere elektronische Übergänge existieren. Auch die Aufspaltung in Energiebänder im Kristall spielt eine Rolle.
  • jeder elektronischer Übergang liefert gemäß dessen Oszillatorstärke einen Beitrag zur elektronischen Polarisierbarkeit

Siehe auch

  • K. Kopitzki: Einführung in die Festkörperphysik, Teubner Studienbücher 1993, ISBN 3-519-23083-6
[[Hilfe:Cache|Fehler beim Thumbnail-Erstellen]]: convert: unable to open image `/var/www/fotonexus/w/images/c/ca/Wikipedia_lexikon3e.jpg': No such file or directory.
 Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort Lorentzoszillator, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation.
Von „http://www.fotonexus.org/wiki/Lorentzoszillator“
Persönliche Werkzeuge