Logarithmus

Aus Fotonexus.

(Weitergeleitet von Logarithmisch)

Graph des Logarithmus zur Basis 2 (grün), e (rot) bzw. 1/2 (blau)

Der Logarithmus (griech.: λόγος = Verständnis, αριθμός = Zahl) gehört zu den elementaren mathematischen Funktionen.

Logarithmieren zu einer Basis ist (neben dem Radizieren) eine Umkehrung des Potenzierens einer Basis und entspricht der Suche nach dem Exponenten (der Hochzahl).

Sind beispielsweise zwei positive reelle Zahlen a und b mit b ≠ 1 gegeben und soll a in der Gestalt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \,=\, b^x

dargestellt werden, dann ist x der Logarithmus von a zur Basis b und man schreibt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x \,=\, \log_b a

.

Bezeichnungen

Man schreibt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x = \log_b a\,

und sagt: „x ist der Logarithmus von a zur Basis b“ oder auch „x ist der Logarithmus zur Basis b aus a“. a heißt Logarithmand oder auch Numerus. Das Ergebnis des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten x man die Basis b potenzieren muss, um den Logarithmanden (Numerus) a zu erhalten.

Das Formelzeichen für den Logarithmus ist log. Die Basis wird als Index angehängt. Seltener findet man auch davon abweichende Schreibweisen, oder die Basis wird nicht mitnotiert, wenn sie aus dem Zusammenhang ersichtlich ist und keine Verwechslungsgefahr besteht.

log_b: Logarithmus zur Basis b
ln: logarithmus naturalis bzw. natürlicher Logarithmus, der Logarithmus zur Basis e, der Eulerschen Zahl.
lg: Logarithmus zur Basis 10, auch bezeichnet als Zehnerlogarithmus oder dekadischer Logarithmus. Nützlich wegen des Zehnersystems.
ld: logarithmus dualis, Logarithmus zur Basis 2, auch als Zweierlogarithmus oder dyadischer oder binärer Logarithmus bezeichnet (manchmal auch mit der Abkürzung lb); wird in der Informatik aufgrund des Zweiersystems verwendet.
log: In der Mathematik steht log für den natürlichen Logarithmus, in technischen Anwendungen (so z. B. auf Taschenrechnern) für den dekadischen Logarithmus, in der Informatik für den dyadischen Logarithmus. Gelegentlich wird log auch verwendet, wenn die verwendete Basis keine Rolle spielt.

Im Englischen werden zum Teil andere Notationen verwendet. Ebenso in deutschen Büchern, die aus dem Englischen übersetzt wurden.

log₂ = ld, manchmal auch lb

log_e = ln oder log (auf Taschenrechnern meist ln)

Ein ähnliches Formelsymbol ist li für den Integrallogarithmus. Bei dieser Funktion handelt es sich nicht um eine Logarithmusfunktion.

Logarithmus in Anwendung und Natur

Das Gehäuse eines Nautilus zeigt eine logarithmische Spirale

Anwendungen des Logarithmus finden sich vielfach in der Wissenschaft, wenn der Wertebereich viele Größenordnungen umfasst. Daten werden entweder direkt mit einer logarithmischen Skala dargestellt, oder die Einheiten selbst ausgedrückt, wie zum Beispiel beim pH-Wert, Dezibel oder Bit.

In der belebten Natur: finden sich zahlreiche Beispiele logarithmischer Spiralen, so z. B das Wachstum von Schneckenhäusern oder die Anordnung der Kerne auf der Sonnenblume.
Anzahl der Ziffern einer Zahl: Berechnung der Anzahl der Ziffern, die zur Darstellung einer Zahl benötigt werden. Um eine natürliche Zahl n zur Basis b darzustellen, werden Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1+ \lfloor \log_b n \rfloor

Stellen benötigt. Die Klammern bedeuten dabei Abrunden auf die nächste ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist. Zum Beispiel ist log₂100 ≈ 6,64. Die obige Formel liefert den Wert 7. Man braucht also 7 Binärstellen, um 100 darzustellen, nämlich 100=1100100₂.

Informationseinheit: Messung der Informationsmenge; die Informationstheorie sagt, dass wenn etwas mit Wahrscheinlichkeit p auftritt, das Wissen über das tatsächliche Auftreten davon eine Informationsmenge von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \log_2{\tfrac{1}{p}}

Bits ergibt. Z.B. erhält man beim Ergebnis "Kopf" eines fairen Münzwurfs (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p=\tfrac12

) die Informationsmenge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \log_2 2 = 1

bit, beim Auftreten einer "1" beim Würfeln  (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p=\tfrac 16

) dagegen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \log_2 6 = \tfrac{\ln 6}{\ln 2} \approx 2{,}585

Bits.

Kryptographie: Der diskrete Logarithmus (erklärt für endliche Zahlenkörper) ist erheblich aufwendiger zu berechnen als seine Umkehrfunktion, die diskrete Exponentialfunktion, und hilft als sog. Einwegfunktion in der Kryptografie Daten zu verschlüsseln
pH-Wert: Der Säurewert von Lösungen. Anmerkung: In der Chemie kann man logarithmische Skalen i. A. am vorangestellten p erkennen, z. B. beim pKs- oder pKb-Wert.
Dezibel (dB): Messung von Lautstärke, elektronischer Dämpfung, etc
Die Empfindlichkeit der Sinnesorgane: folgt dem logarithmischen Weber-Fechner-Gesetz der Psychophysik, wonach eine Vervielfachung der Reizstärke nur eine lineare Zunahme des wahrgenommenen Reizes bewirkt.
Sternhelligkeiten: werden in astronomischen Größenklassen angegeben, die ein logarithmisches Maß der tatsächlichen Strahlungsstärke darstellt.
Logarithmische Zeitskalen: finden sich in der Geschichte der Technologie ebenso wie in der geologischen Zeitskala.
Zur graphischen Darstellung von Funktionen: werden spezielle mathematische Papiere verwendet, wie z. B. einfachlogarithmisches Papier oder doppeltlogarithmisches Papier.
Lösung von typischen Aufgabenstellungen, die bei Wachstums- oder Zerfallsprozessen: auftreten, da diese durch seine Umkehrfunktion, die Exponentialfunktion, modelliert werden. Siehe Exponentieller Vorgang, Absorption.

Der Logarithmus als Größenmaßstab

Der Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus) ist im Dezimalsystem ein Maß für die Größenordnung einer Zahl, denn die Ungleichung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {10}^k \leq x < {10}^{k+1}

ist gleichwertig mit

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k \leq \log_{10}(x) < k+1

. Gelten diese Ungleichungen für eine ganze Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k , so besitzt die reelle Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x

in ihrer Dezimalbruchentwicklung gerade Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k+1
Stellen vor dem Komma (für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k\geq 0

) bzw. beginnt bei der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |k| -ten Stelle nach dem Komma (für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k<0 ).

Der Logarithmus als Rechenhilfe

Bild:Rechenschieber-Detail.png

Logarithmische Skaleneinteilung eines Rechenschiebers (Detail)

Im Normalfall tauchen beim Logarithmieren auch Nachkommastellen auf, die Mantisse genannt werden. So ist log₁₀(3) ≈ 0,47712. Multipliziert man eine Zahl mit der Basis, dann ändert sich zwar die Kennzahl, nicht aber die Mantisse. Es ist also

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \log_{10}(3\cdot 10) = 1+\log_{10}(3) \approx 1{,}47712

Bevor elektronische Rechenmaschinen zur Verfügung standen, nutzte man dies aus, um Multiplikationen zu Additionen und Divisionen zu Subtraktionen zu vereinfachen. Und die Berechnung der Quadratwurzel vereinfacht sich auf der Ebene des Logarithmus zu einer Division durch 2. Weil der Logarithmus selbst nicht so leicht zu berechnen ist, waren Rechenschieber (John Napier) und Logarithmentafeln weit verbreitete Hilfsmittel.

Siehe dazu auch die Logarithmengesetze weiter unten.

Geschichte

Bild:Jost Bürgis Logarithmentafel.jpg

Titelblatt zu Jost Bürgis Logarithmentafel von 1620

Indische Mathematiker im 2. Jahrhundert v. Chr. haben als Erste Logarithmen erwähnt. Schon in der Antike nutzen sie Logarithmen für ihre Berechnungen zur Basis der Zahl zwei. Im 8. Jahrhundert beschrieb Virasena (Indischer Mathematiker) Logarithmen zur Basis drei und vier. Ab dem 13. Jahrhundert wurden dann ganze logarithmische Tabellenwerke von muslimischen Mathematikern erstellt.

Im 17. Jahrhundert entwickelte der Schweizer Uhrmacher Jost Bürgi das erste bekannte System zur Berechnung von Logarithmen. Veröffentlicht hat er dieses aber erst 1620. Schon vorher im Jahre 1614 veröffentlichte der schottische Denker John Napier ein Buch über Logarithmen, dessen Grundlagen er unabhängig von denen Jost Bürgis entwickelte.

Definition

Der Logarithmus über den positiven reellen Zahlen kann auf verschiedene Art und Weisen eingeführt werden. Je nach Hintergrund und Intention wird man den einen oder anderen Zugang wählen.

Die einzelnen Definitionen sind untereinander äquivalent und erfolgen mit besonderem Fokus auf den natürlichen Logarithmus, der aus Sicht des Mathematikers auf natürliche Art auftritt, wie bei dem Zugang über die Funktionalgleichung oder über die Stammfunktion von 1/t erkennbar wird.

als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

Der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion zur Basis b

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x \mapsto b^x

Die Funktionen b^x und log_b(x) sind also Umkehrfunktionen voneinander, d.h. Logarithmieren macht Exponenzieren rückgängig und umgekehrt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b^{\log_b x} = x \quad \mbox{und} \quad \log_b(b^x) = x

Der natürliche Logarithmus ergibt sich mit der Basis b = e, wobei e die Eulersche Zahl ist.

als Lösung einer Funktionalgleichung

Die Logarithmusfunktionen sind die nicht-trivialen, stetigen Lösungen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L

der Funktionalgleichung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L(x \cdot y) = L(x) + L(y)

Diese Lösungen erweisen sich sogar als differenzierbar. Den natürlichen Logarithmus erhält man dann zusammen mit der Zusatzbedingung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L'(1) = 1\,

Die Zusatzbedingung ist einer der Gründe dafür, den so erhaltenen Logarithmus als natürlich zu bezeichnen. Wollte man den Logarithmus zu einer anderen Basis Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b

über die Zusatzbedingung erhalten, dann müsste man fordern

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L'(1) = \frac{1}{\ln b}\,

und würde wieder den natürlichen Logarithmus benötigen.

Die triviale Lösung obiger Funktionalgleichung ist die Nullfunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L(x) = 0 , welche nicht als Logarithmusfunktion angesehen wird.

als Stammfunktion von 1/t

Die Funktion

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L:x \mapsto \int_1^x \frac{1}{t}\,\mathrm{d}t

mit x > 0 ist gerade der natürliche Logarithmus: Es ist L = ln. Zum Logarithmus mit der Basis b gelangt man durch Division der Funktion L durch die Konstante L(b) = ln b.

als Potenzreihe

Der natürliche Logarithmus kann als Potenzreihe gemäß

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{\,x^k}{k} = x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4} \pm \cdots

eingeführt werden. Diese Reihe hat den Konvergenzradius 1. Durch analytische Fortsetzung oder durch Anwendung der Funktionalgleichung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ln \frac 1 x = - \ln x

erhält man den natürlichen Logarithmus auf den positiven reellen Zahlen.

Anmerkung

Diese Definitionen können auch herangezogen werden, um Logarithmen auf anderen mathematischen Strukturen zu erhalten, wie z. B. auf den komplexen Zahlen. Das setzt voraus, dass in der betreffenden Struktur die zur Definition verwendeten Konzepte existieren.

Um etwa den diskreten Logarithmus auf einer Gruppe zu definieren, können Konzepte wie Differentiation/Integration sowie Multiplikation/Division nicht herangezogen werden, weil sie dort gar nicht existieren. (In einer Gruppe gibt es eine Verknüpfung und nicht zwei, die zudem noch durch ein Distributivgesetz miteinander verknüpft sind).

Rechenregeln und grundlegende Eigenschaften

Logarithmengesetze

Produkte

Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht eine hilfreiche Rechenregel zur Verfügung:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \log_a (x \cdot y) = \log_a (x) + \log_a (y)

Oder allgemeiner:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \log_a \left( x_1 \cdot x_2 \cdot\ldots\cdot x_n \right) = \log_a \left(x_1 \right) +\log_a \left(x_2 \right) + \cdots + \log_a \left( x_n \right)

Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren.

Quotienten

Diese leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall angegeben:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \log_a \bigg(\frac{x}{y} \bigg) = \log_a (x) - \log_a (y)

Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers (x) minus den Logarithmus des Nenners (y).

Potenzen

Für Potenzen mit reellem Exponent Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r

gilt die Regel:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \log_a \left( x^r \right) = r \cdot \log_a (x)

Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis.

Daraus lässt sich für r= -1 ermitteln:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \log_a \left( 1/x \right) = - \log_a (x)

Der Logarithmus eines Stammbruchs (1/x) ist der negative Logarithmus des Nenners (x).

Diese Rechenregeln lassen sich von den Potenzgesetzen ableiten.

Wurzeln

Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus folgende Rechenregel:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \log_a \!\left( \sqrt[n]{x} \right) = \log_a \!\left( x^\frac{1}{n} \right) = \frac{1}{n}\log_a(x)

Basisumrechnung

Um Logarithmen zur Basis Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b

mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a
zu berechnen,

verwendet man den Zusammenhang

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \log_b(r) = \frac{\log_a(r)}{\log_a(b)}

Beweis:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{align} & \log_b(r) \cdot \log_a(b) = \log_a(r) \\ & a^{\log_a(b)\cdot\log_b(r)}= a^{\log_a(r)} \\ & (a^{\log_a(b)})^{\log_b(r)} = r \\ & b^{\log_b(r)}= r \\ & r = r \end{align}

Tabellenwerke oder Taschenrechner stellen i. A. Logarithmen zur Basis 10 und natürliche Logarithmen zur Verfügung. Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen.

Beispiel 1:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \log_{10}(8) = \frac{\log_2(8)}{\log_2(10)} \approx \frac{3}{3{,}32} \approx 0{,}90

Alternative mit Hilfe des natürlichen Logarithmus:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \log_{10}(8) = \frac{\ln(8)}{\ln(10)} \approx 0{,}90

Beispiel 2:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \log_{2}(1024) = \frac{\ln(1024)}{\ln(2)} = 10,\ \mathsf{denn}\ 2^{10} = 1024

Null und die negativen Zahlen

In den reellen Zahlen ist der Logarithmus für Null und negative Zahlen nicht definiert.

Begründungen:

x = log_a(0) müsste dann 0 = a^x bedeuten. Was aber nicht der Fall ist, wenn a ungleich Null ist.
(als Beispiel die negative Zahl -1) x = log_a(-1) müsste dann -1 = a^x bedeuten. Was aber nicht sein kann, wenn a größer Null ist.

In der Funktionentheorie, in der Funktionen von komplexen Zahlen betrachtet werden, kann man den Logarithmus auch für negative Zahlen definieren (siehe Komplexer Logarithmus), allerdings gelten dann einige der Rechenregeln nicht mehr.

Ableitung und Integral

Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Daher erhält man die Ableitung des natürlichen Logarithmus einfach durch Anwendung der Umkehrregel (siehe Beispiel dort).

Es ergibt sich

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ln'(x) = \frac{1}{x}

Für allgemeine Logarithmen gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (\log_b{x})' = \frac{1}{x\ln{b}}

Das unbestimmte Integral des natürlichen Logarithmus erhält man mit partieller Integration:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int{\ln{x}\,\mathrm{d}x} = \int{1\cdot\ln{x}\,\mathrm{d}x} = x\cdot\ln{x}-\int{x\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x} = x\ln{x}-x+C

Ist bei einem bestimmten Integral des natürlichen Logarithmus eine der Grenzen Null, so kann die Regel von L'Hospital angewendet werden.

Beispiel:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_0^1{\ln{x}\,\mathrm{d}x} = [x\ln{x}-x]_{0}^{1} = -1

, da

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lim_{x \to 0^+} x\ln{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln{x}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0

Kurvendiskussion

Definitionsmenge: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D = ]0,\infty[

Wertemenge: alle reellen Zahlen
Nullstellen bzw. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: {1} bzw. (1|0)
Gebräuchliche Limiten / Verhalten im Unendlichen:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lim_{x \to 0^+} \log_b x = \begin{cases} -\infty, & \mbox{wenn } b>1 \\ +\infty, & \mbox{wenn } b<1 \end{cases}

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lim_{x \to \infty} \log_b x = \begin{cases} +\infty, & \mbox{wenn } b>1 \\ -\infty, & \mbox{wenn } b<1 \end{cases}

Erste Ableitung:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (\log_b x)' = \frac{1}{\ln b\cdot x}

Extrempunkte: keine
Wendepunkte: keine

Natürlicher Logarithmus und andere spezielle Logarithmen

Der Logarithmus zur Basis e (der Eulerschen Zahl) wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet und mit „ln“ oder einfach „log“ (ohne Subskript) abgekürzt:

Wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y = e^x

dann ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x = log_e(y) = ln(y)

. Die Zahl e ist z.B. dadurch ausgezeichnet (und könnte auch so definiert werden), dass die Exponentialfunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e^x

sich bei Ableitung wieder selbst reproduziert, als Formel:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{d}{d x} e^x = e^x

Der Begriff natürlicher Logarithmus wurde gewählt, weil sowohl die Exponentialfunktion als auch der Logarithmus zur Basis e in vielen Zusammenhängen (Integralrechnung, Differentialrechnung, Komplexe Zahlen, Trigonometrie) auftreten. Zudem lässt sich der natürliche Logarithmus sehr einfach integrieren und differenzieren.

Der natürliche Logarithmus vom Betrag von x, also f(x)=ln|x| ist die Stammfunktion der Potenzfunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f'(x)=x^{(-1)}

bzw. 1/x.

Der Logarithmus zur Basis Zehn wird oft mit „lg“ (bei Taschenrechnern oft mit „LOG“) abgekürzt; er heißt dekadischer Logarithmus oder auch Briggscher Logarithmus, benannt nach dem Mathematiker Henry Briggs.

Der Logarithmus zur Basis Zwei – abgekürzt mit „lb“ oder „ld“ – heißt binärer, dualer oder dyadischer Logarithmus.

Berechnung des Logarithmus, Potenzreihe

Die Potenzreihenentwicklung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ln(1+x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k} \frac{x^{k+1}}{k+1} = x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4} \pm \cdots , \qquad -1 < x \le 1

des natürlichen Logarithmus um den Entwicklungspunkt 1 konvergiert nicht sonderlich schnell.

Zur Berechnung verwendet man besser folgende Reihendarstellung, die auf der Potenzreihenentwicklung des Areatangens Hyperbolicus beruht:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ln(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{2}{2k+1} \cdot \left( \frac{x-1}{x+1}\right)^{2k+1} + \; R_{n+1}(x) , \qquad x > 0

mit der Restgliedabschätzung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |R_{n+1}(x)| \le \frac{(x-1)^2}{2\,|x|} \left( \frac{x-1}{x+1}\right)^{2n}.

Die Reihe zeigt für x und 1/x ähnliches Konvergenzverhalten und konvergiert um so besser, je näher x bei 1 liegt. Um dies zu erreichen, verwendet man

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ln(x) = m \ln (2) + \ln(2^{-m} x).\quad

Durch Wahl einer geeigneten ganzen Zahl m kann man immer erreichen, dass gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1 / \sqrt{2} \le 2^{-m}x \le \sqrt{2}

und erhöht damit die Konvergenzgeschwindigkeit

der Reihe, die man jetzt für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2^{-m} \cdot x

berechnet.

Allerdings braucht man dann auch eine gute Näherung für ln 2.

Wenn man aus obiger Formel die Restgliedabschätzung entfernt, erhält man:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ln(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{2k+1} \cdot \left( \frac{x-1}{x+1}\right)^{2k+1} \qquad x > 0

Für den natürlichen Logarithmus gilt zudem:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ln(x) = \lim_{n \to \infty} n \, \left(\!\sqrt[n]{x} -1 \right)

sowie

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ln(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^h-1}{h}.

Für eine praktische Berechnung von ln x sind die beiden letzten Formeln jedoch nicht sonderlich gut geeignet.

==Komplexer Logarithmus

[[Hilfe:Cache|Fehler beim Thumbnail-Erstellen]]: convert: unable to open image `/var/www/fotonexus/w/images/c/ca/Wikipedia_lexikon3e.jpg': No such file or directory.

Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort Logarithmus, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation.

==

Bild:Ln abs.png

Betrag von ln(z)

Bild:Ln re.png

Realanteil von ln(z)

Bild:Ln im.png

Imaginäranteil von ln(z)

Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w , die die Gleichung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e^{w} = z \,

erfüllt, ein natürlicher Logarithmus von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z . Dies ist im Unterschied zum reellen Logarithmus jedoch nicht eindeutig, da gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e^{2k\pi i} = 1, \ k \in \mathbb{Z}

Hat man also einen Logarithmus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w_{0}

von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z
gefunden, so ist auch

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w = w_{0} + 2k\pi i \,

ein Logarithmus von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z , da gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e^{w} = e^{w_{0} + 2k\pi i} = e^{w_{0}} \cdot e^{2k\pi i} = e^{w_{0}} \cdot 1 = e^{w_{0}} = z

Um Eindeutigkeit zu erreichen, schränkt man Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w

auf einen Streifen in der komplexen Zahlenebene ein. Man kann z.B. den Streifen

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \mathrm{Im}\,w \leq \pi \right\}

verwenden. Ein Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w

aus diesem Streifen heißt Hauptwert des Logarithmus und man schreibt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w = \ln{(z)}

. Stellt man Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z

in Polarkoordinaten dar, so erhält man eine einfache Darstellung des k-ten Zweigs der Logarithmusfunktion:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w = \ln{|z|} + i\left(\arg{(z)} + 2k\pi\right), \ k \in \mathbb{Z}

Für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k = 0

hat man dann den Hauptzweig des Logarithmus:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ln{(z)} = \ln{|z|} + i\arg{(z)}

ln(z) ist nicht stetig auf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{C} \setminus \{0\} . Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist ln(z) auf dem Gebiet

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{C} \setminus \{x \in \mathbb{R}: x \leq 0\}

stetig und sogar holomorph.

Mit dem Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus von negativen, reellen Zahlen bestimmen:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ln{(-x)} = \ln{|-x|} + i\arg{(-x)} = \ln{(x)} + i\pi, \ x \in \mathbb{R}^{+}

Man muss jedoch beachten, dass im Komplexen die Rechenregeln für Logarithmen nicht immer gelten, sondern nur noch modulo Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2 \pi i

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ln{x} + \ln{y} \neq \ln{(x \cdot y)}

Beispiel: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ln{(-1)} + \ln{(-1)} = 2\pi i \neq 0 = \ln{1} = \ln{((-1) \cdot (-1))}

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y \cdot \ln{x} \neq \ln{x^y}

Beispiel: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2\pi i \cdot \ln{(e)} = 2\pi i \neq 0 = \ln{1} = \ln{(e^{2\pi i})}

Literatur

Walter, Wolfgang: Analysis I, Grundwissen Mathematik Band 3, Springer-Verlag (1985), ISBN 3-540-12780-1 und ISBN 0-387-12780-1
Jänich, Klaus: Funktionentheorie, Eine Einführung, Springer-Verlag, ISBN 3-540-20392-3

Siehe auch

Weblinks