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Lineare Funktion

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Im mathematischen Sprachgebrauch werden Funktion und Abbildung heute weitgehend synonym verwendet. Traditionell findet der Begriff der Abbildung sich eher im Bereich der Linearen Algebra, während in der Analysis der Begriff der Funktion verbreiteter ist.

Der Begriff lineare Funktion wird nicht einheitlich gebraucht. Zum einen bedeutet lineare Funktion dasselbe wie eine lineare Abbildung. Lineare Funktionen in diesem Sinne findet man z.B. in der Differentialgeometrie, wobei es sich um lineare Abbildungen von einem (Tangential-)Vektorraum in die reellen Zahlen handelt.

Andererseits wird mit dem Begriff lineare Funktion oft (besonders in der Schule) eine Abbildung der Form

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f:\quad\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\quad\mbox{mit}\quad x\mapsto f(x)=m\;x+n \; ; \quad m,n \in \mathbb{R}

, also ein Polynom erster Ordnung, bezeichnet. Eine solche Funktion wird auch allgemeine lineare Funktion oder linear-inhomogene Funktion genannt. Im mathematisch strengen Sinn handelt es sich dabei jedoch um eine affine Abbildung. Für den Spezialfall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n=0

wird daraus eine lineare Funktion im eigentlichen Sinne, auch als homogene lineare Funktion oder Proportionalität bezeichnet.

Lineare Funktionen sind die einfachsten Funktionen in der Mathematik. Sie sind stetig und differenzierbar. Viele Probleme lassen sich für lineare Funktionen leicht lösen; daher versucht man oft, komplizierte Problemstellungen durch lineare Zusammenhänge zu approximieren.

Inhaltsverzeichnis

1 Graph
2 Bestimmung des Funktionsterms aus zwei Punkten
3 Zusammenfassung
4 Ableitung und Stammfunktion
5 Weblinks

Graph

Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade (umgangssprachlich eine Linie). In kartesischen Koordinaten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (x,y)

erfüllen solche Geraden also die Gleichung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y = m\;x + b

, (manchmal auch als "f(x)=ax+b", "f(x)=mx+c", "f(x)=mx+n" oder "f(x)=mx+t" oder sogar "y=ax+b" zu finden. In Österreich wird häufig "y=kx+d" verwendet.) wobei x (die Abszisse) unabhängige und y (die Ordinate) abhängige Variablen sind. Diese Form bezeichnet man auch als die Normalform einer linearen Funktion. Ihre Komponenten lassen sich wie folgt interpretieren:

Die Zahl m gibt den linearen Faktor oder die Steigung der Geraden an.
Die Zahl b ist die Inhomogenität, der Ordinatenabschnitt, die Verschiebungskonstante oder der y-Achsenabschnitt.

Bild:Lineare Funktion.PNG

Übrigens kann der Graph einer linearen Funktion niemals parallel zur y-Achse verlaufen, da sonst einem x-Wert mehrere y-Werte zugeordnet wären. Dies würde der Definition einer Funktion als eindeutige Zuordnung widersprechen. In einem solchen Fall wäre die Steigung mx = 1/0, ein in den reellen Zahlen undefinierbarer Term.

Bestimmung des Funktionsterms aus zwei Punkten

Es wird vorausgesetzt, dass die Punkte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (x_1|y_1)

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (x_2|y_2)
auf dem Graphen der linearen Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
liegen und voneinander verschieden sind.

Die Steigung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m

lässt sich errechnen aus

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Der y-Achsenabschnitt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b

ergibt sich aus

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b = y_1 - m \cdot x_1

Der gesuchte Funktionsterm Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)

ist also gegeben durch

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot x + \left(y_1 - \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot x_1\right)

oder einfacher durch

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1) + y_1

Zusammenfassung

Funktionsgleichung

Eine Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\,

mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)=a_1x+a_0\,
heißt ganzrationale Funktion 1. Grades oder lineare Funktion.

Der Funktiongraph stellt eine Gerade dar.

Achsenschnittpunkte

Schnittpunkt mit der y - Achse: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P_y(0|y_s)\Rightarrow y_s=f(0)\,

Schnittpunkt mit der x - Achse: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P_x(x_s|0)\Rightarrow f(x_s)=0\,

Hintergrundinformation

Steigung

Bild:Zlinfkt 01.gif

Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion mit der Funktionsgleichung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)\,

mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)=a_1x+a_0\,
lässt sich am Koeffizienten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_1\,
ablesen.

Berechnet wird sie mit:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_1=\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=\frac{y_2-y_1} {x_2-x_1}=\frac{\Delta y} {\Delta x}=\tan\alpha\,

In Kurzform: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_1=\frac{y_2-y_1} {x_2-x_1}\,

Hintergrundinformation

Funktionsgleichung aufstellen

Die Steigung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_1=a\,

und ein Punkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P_1(x_1|y_1)\,
der auf der Geraden liegt seien bekannt.

Ansatz: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)=ax+a_0\,

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P_1(x_1|y_1):\Rightarrow f(x_1)=y_1\Leftrightarrow ax_1+a_0=y_1 \Leftrightarrow a_0=y_1-ax_1\,

Die Koordinaten zweier Punkte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P_1(x_1|y_1)\,

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P_2(x_2|y_2)\,
die auf der Geraden liegen, seien bekannt.

Zuerst wird der Steigungsfaktor berechnet: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_1=\frac{y_2-y_1} {x_2-x_1}\Rightarrow f(x)=a_1x+a_0\,

oder

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P_2(x_2|y_2):\Rightarrow f(x_2)=y_2\Leftrightarrow ax_2+a_0=y_2 \Leftrightarrow a_0=y_2-ax_2\,

Schnittpunkt zweier Geraden

Ansatz: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)-g(x)=0 \Rightarrow x_s\,

x - Wert vom Schnittpunkt der beiden Geraden.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y_s=f(x_s)=g(x_s) \Rightarrow S(x_s|y_s)\,

als Schnittpunkt der beiden Geraden.

Hintergrundinformation

Orthogonale Geraden

Für die Steigung zweier senkrecht aufeinanderstehender Geraden Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g_1

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g_2
gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_1 \cdot a_2=-1\,

bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_1=-\frac{1} {a_2}\,
bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_2=-\frac{1} {a_1}\,

Hintergrundinformation

Beispiel

Zwei verschiedene Telefongesellschaften (z.B. Arcor ((A)) und Vodafone ((B)) bieten für das gleiche Handy (z.B. Nokia 3210) verschiedene Tarife an. Gesellschaft A bietet den folgenden Vertrag: 20 €uro monatliche Grundgebühr und jede angefangene Minute 0,07 €uro an Telefonie. Gesellschaft B jedoch: 10 €uro Grundgebühr und dafür aber 0,10 €uro pro angefangener Minute.

Jetzt ist es klug, jedes Angebot in eine lineare Gleichung einzubringen: für A: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y = 0,07x + 20

und

für B: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y = 0,10x + 10

x sind die jeweiligen abtelefonierten Minuten und y ist der zu zahlende Rechnungsbetrag am Ende eines Monats. Anhand der Gleichungen würden erfahrene Menschen sofort sehen, welche ab wann günstiger ist. Doch am klügsten wäre es jetzt, die Gleichungen gleichzusetzen.

Wir nennen die Gleichung von A f(x) und die Gleichung von B g(x). Daraus folgt, dass Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)=g(x ) ist und so können wir die Gleichungen gleichsetzen und erhalten das Folgende:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0,07x + 20 = 0,10x + 10