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Lambert-Beersches Gesetz

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Das Lambert-Beer'sche Gesetz ist eine Vereinigung des Bouguer-Lambertschen Gesetzes über die Schwächung der Strahlungsintensität mit der Weglänge beim Durchgang durch eine absorbierende Substanz mit dem Beer'schen Gesetz über den Zusammenhang der Intensitätsschwächung mit der Konzentration der absorbierenden Substanz. Das Gesetz bildet die Grundlage der modernen Photometrie als analytische Methode.

Die einfache Fassung ist für monochromatische Strahlung (Licht) und verdünnte Lösungen bzw. deren optische Entsprechung in Festkörpern oder Gasräumen gültig.

Inhaltsverzeichnis

Extinktion durch Pigmente

Bild:Beer lambert.png
Extinktion eines Lichtstrahls durch eine Küvette der Dicke l.

Die Extinktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E_\lambda 

(Absorbanz des Materials für Licht der Wellenlänge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda

) ist gegeben durch

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E_\lambda = -\ln \! \left(\frac{I}{I_{0}}\right) = c \cdot \alpha_{\lambda} \cdot l


mit

  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I
Intensität des transmittierten Lichtes
  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I_0
Intensität des einfallenden (eingestrahlten) Lichtes
  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c
Konzentration der absorbierenden Substanz in der Flüssigkeit (typische Einheiten: mol/m3 oder mol/L)
  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha_{\lambda}
natürlicher molarer Extinktionskoeffizient bei der Wellenlänge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda

. Dieser kann auch z.B. vom pH-Wert abhängen und hat die Einheit m3/(mol cm) oder l/(mol cm).

  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): l
Weglänge des Lichtes im Material, Einheit: cm.

Wellenlängenabhängigkeit

Die Extinktion ist auch von der Wellenlänge des eingestrahlten Lichtes abhängig. Die Abnahme der Lichtintensität beim Durchqueren einer Probelösung mit der Konzentration Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c 

kann auch durch folgende abfallende Exponentialfunktion beschrieben werden:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I = I_0 \cdot e^{(-\alpha \cdot c \cdot l)}


Dabei ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha 

der natürliche molare Extinktionskoeffizient, in Formulierung der Wellenlängenabhängigkeit mit dem Extinktionskoeffizienten k:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha = \frac{4 \pi k}{\lambda} .

Durch Umstellung dieser Gleichung ergibt sich:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): - \ln \! \left(\frac{I}{I_0}\right) = \alpha \cdot c \cdot l

.

Lichtdämpfung durch Feststoffe

Das gleiche Gesetz gilt auch für die Beschreibung der Lichtausbreitung in festen Stoffen. Es stellt z.B. die fundamentale Beziehung zur Berechnung der Dämpfung optischer Signale in Lichtwellenleitern (LWL) zur Signalübertragung dar. Die Lichtausgangsleistung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(l) 

eines LWLs der Länge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): l
ist damit
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(l) = P_0 \cdot e^{-\alpha^'l}

.

mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P_0 

- in den LWL eingekoppelte Leistung, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha^'
- Dämpfungsfaktor in 1/km und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): l
in km.

Dabei ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha^' 

stark von der Lichtwellenlänge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda
und vom Material des LWLs abhängig. Für das  in Langstrecken-LWLn verwendete Silikatglas verringert sich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha^' (\lambda)
zwischen dem sichtbaren Bereich um 0.6 µm bis etw 1.6 µm mit der vierten Potenz der Wellenlänge; an dieser Stelle erfolgt dann eine steile Erhöhung der Dämpfung durch eine Materialresonanz des Glases. Ein weiterer Dämpfungspol liegt im UV-Bereich. OH-Ionen im Glas, die man durch spezielle Herstellungstechnologien zu vermeiden sucht, verursachen eine (inzwischen geringe) selektive Dämpfungserhöhung bei etwa 1.4 µm. Die Dämpfungswerte für die in LWL-Kurzstrecken eingesetzte Kunststofffasern sind höher und sind ebenfalls stark material- und wellenlängenabhängig; sie sind am geringsten im sichtbaren Bereich.

An Stelle der oben angegebenen Schreibweise wird in der Signalübertragungstechnik die Darstellung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(l) = P_0 \cdot 10^{-(\alpha l)/10}


verwendet ( Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha 

- Dämpfung in dB/km und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): l

- Länge des LWLs in km), weil in der Nachrichtentechnik durchweg das Verhältnis von (elektrischen ebenso wie optischen) Leistungen im dezimal-logarithmischen Maß dB (deziBel) angegeben wird:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha_{/dB}=10 \cdot \log\frac{P_0}{P_1}


Fernerkundung/Atmosphäre

Für die Atmosphäre wird das Lambert-Beersche Gesetz üblicherweise wie folgt formuliert:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I = I_0\,e^{-m(\tau_a+\tau_g+\tau_{NO2}+\tau_w+\tau_{O3}+\tau_r)} 
,

wobei die Transmissionsgrade Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tau_{x} 

enthaltener Stoffe superponiert werden, mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x


  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a 
für Aerosole (absorbierend und streuend)
  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g 
für homogene Gase wie Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): CO_2
und molekularen Sauerstoff (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): O_2

) (ausschließlich absorbierend).

  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): NO_2 
für Stickstoffdioxid (absorbierend)
  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): w 
für Wasserdampf (absorbierend)
  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): O_3 
für Ozon (absorbierend)
  • Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r 
für Rayleigh-Streuung durch molekularen Sauerstoff (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): O_2

) und Stickstoff (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): N_2 ) (himmelblau).

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m


Die Bestimmung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tau_{a} 

ist notwendig für die Korrektur von Satellitenbildern und beispielsweise von Interesse bei der Klimabeobachtung.

Geschichte

Das Lambert-Beersche Gesetz ist nach den beiden Wissenschaftlern Johann Heinrich Lambert (1728 - 1777) (Abhängigkeit von Schichtdicke und transmittiertem Licht) und August Beer (1825 - 1863) (Abhängigkeit der Konzentration des Absorbanten und transmittiertem Licht) benannt.


Links

http://www.biorama.ch/biblio/b40laban/b24meth/m04abs/abs030.htm

http://dc2.uni-bielefeld.de/dc2/rk/rk-lbg.htm

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